概率论第一章复习_图文

概率论 样本空间(必然事件) Ω 不可能事件 Φ 子事件 A?B 和事件 A∪B 积事件 A∩B 差事件 A-B
对立事件 A

集合论 全集 空集Φ 子集A?B 并集A∪B 交集A∩B 差集A-B
补集 A

事件之间的运算律
? 交换律 A B ? B A AB ? BA
? 结合律 (A B) C ? A (B C) ? 分配律 A(B C) ? (AB) (AC)
A ? (BC) ? (A ? B)(A ? C)
? 摩根律 AB ? A ? B A ? B ? A B
Venn图演示集合的关系与运算

古典概型的概率计算
? 确定试验的基本事件总数 设试验结果共有n个基本事件ω1,ω2,...,ωn ,
而且这些事件的发生具有相同的可能性
? 确定事件A包含的基本事件数 事件A由其中的m个基本事件组成

P( A)

?

事件A包含的基本事件数 试验的基本事件总数

?

m n

概率的公理 化定义
给定一个随机试验,Ω是它的样本空间,对于 任意一个事件A,赋予一个实数
P( A) ,如果 P(?)满足下列三条公理,
那么,称 P( A) 为事件A的概率.

? 非负性: ? 规范性:

P(A)≥0 P(Ω)=1

? 可列可加性: A1, A2 ,? 两两互不相容时
P(A1 ∪A2 ∪…)=P(A1)+P(A2)+…

P(?) ? 0

n

n

? P( Ai ) ?

P(

Ai

),

各Ai,A

互不相容
j

i ?1

i ?1

P(A ? B) ? P(A) ? P(B) ? P(AB)

若 A ? B,则 P (B - A) = P(B) - P(A)

P( A) ? 1 ? P( A)

P(A B C) ? P(A) ? P(B) ? P(C) ? P(AB) ? P(BC) ? P(AC) ? P(ABC)

条件概率 Conditional Probability
? 定义 设A,B为同一个随机试验中的两个随机事件 ,
且P(B)>0, 则称
P( A B) ? P( AB) P(B)
为在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率.

乘法法则

P( AB) ? P( A)P(B A) ? P(B)P(A B)
? 推广

P(B A) ? P( AB) P( A)
P( A B) ? P( AB) P(B)

P(ABC) ? P(A)P(B A) P(C | AB)

P( A1A2 An ) ? P( A1)P( A2 A1)P( A3 ( A1A2 )) P( An ( A1 A2 An?1))

全概率公式

设A1 ,A2 ,...,An 构成一个完备事件组,且 P(Ai )>0 ,i=1,2,...,n,则对任一随机事件B, 有

n
? P(B) ? P( Ai )P(B | Ai ) i ?1

A1 P( A1) P(B | A1)

?

A2 P( A2 ) P(B | A2 )

A3 P( A3) P(B | A3)

P(B)

贝叶斯公式 Bayes’ Theorem
设A1,A2,…, An构成完备事件组,且诸P(Ai)>0) B为样本空间的任意事件,P( B) >0 , 则有

P( Ak | B) ?

P( Ak )P(B | Ak )
n

? P( Ai)P(B | Ai)

i ?1

证明

( k =1 , 2 , … , n)

? P( Ak

B) ?

P( Ak B) P(B)

P(Ak )P(B

A) k

n

? P( Ai )P(B

A) i

i ?1

事件的独立性

? 定义 设A、B为任意两个随机事件,如果 P(B|A)=P(B)
即事件B发生的可能性不受事件A的影响,则称事件B

对于事件A独立.

显然,B对于A独立,则A对于B也独立,故称 A与B相互独立.

P(A B) ? P(AB) P(B)

? P(AB) P(B | A)

? P(AB) P(AB) / P(A)

? P(A)

事件的独立性 判别
? 事件A与事件B独立的充分必要条件是
P(AB) ? P(A)P(B)
证明 由乘法公式 P(AB) ? P(A)P(B | A) 和 独立性定义P(B | A) ? P(B)可得
? 实际问题中,事件的独立性可根据问题的实 际意义来判断
如甲乙两人射击,“甲击中”与“乙击中” 可以 认为相互之间没有影响,即可以认为相互独立

贝努利试验 Bernoulli trials

? 相互独立的试验
将试验E重复进行n次,若各次试验的

结果互不影响,则称这n次试验是相互独

? 贝努利试验

立的.

设随机试验E只有两种可能的结果:A及A ,
且P(A)=p,在相同的条件下将E重复进行n次独 立试验,则称这一串试验为n重贝努利试验,简 称贝努利试验(Bernoulli trials).

贝努利定理
? 定理
设在一次试验中事件A发生的概率为 p (0<p<1) , 则A在n次贝努里试验中恰好发生 k次的概率为

Pn

(k)

?

C

k n

pk

q

n?k

其中 q ? 1? p

( k= 0,1,2,...,n )


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