1.8江苏省南京市2010届高三上学期期末考试(数学)

南京市 2010 届高三上学期期末考试

数 学 试 题
注意事项: 1.本试卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟。 2.答卷前,请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内,试题的 答案写在答题纸上对应题目的答案空格内。考试结束后,交回答题纸。 ... 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.集合 A = {0,2} , B = {1, a 2 } ,若 A ∪ B = {0,1,2,4} ,则实数 a 的值为 2.已知角 a 的终边经过点 P( x , ? 6 ) ,且 tan α = ? 。 。 。

3 ,则 x 的值为 5

3.经过点(2,-1) ,且与直线 x + y ? 5 = 0 垂直的直线方程是 4.若复数 z1 = a ? i , z 2 = 1 + i ( i 为虚数单位) ,且

z1 · z 2 为纯虚数,则实数 a 的值为
x ≥ 0, 5.已知实数 x 、 y 满足约束条件 y ≥ 0, x + y ≤ 2,
z = 2 x + 4 y 的最大值为




,则

6.某学校有两个食堂,甲、乙、丙三名学生各自随机选 择其中的一个食堂用餐,则他们在同一个食堂用餐的 概率为 。 7.设等差数列 {a n } 的公差 d ≠0, a1 = 4d ,若 a k 是 a1 与 a 24 的等比中项,则 k 的值为 。 。

8.根据如图所示的算法流程图,可知输出的结果 i 为 9.右图是一次考试结果的频率分布直方图, 若规定 60 分以上(含 60)为考试合格, 则这次考试的合格率为 。 a 、 b 、 c 是单位向量,且 a + b = c , 10.设 则 a · c 的值为 。 11.如图,已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底 面边长为 2cm,高为 5cm,一质点自 A 点

出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 A1 点的最短路线的长为 cm。

12.若不等式 x 2 + 2+ | x 3 ? 2 x | ≥ ax 对 x ∈ (0,4)恒成立,则实数 a 的取值范围是 。 13.五位同学围成一圈依次循环报数,规定: 第一位同学首次报出的数为 2,第二位同学 首次报出的数为 3,之后每位同学所报出的 数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数 字,则第 2010 个被报出的数为 。 14.设 M 是由满足下列性质的函数 f (x ) 构成的集合: 在定义域内存在 x 0 ,使得 f ( x0 + 1) = f ( x 0 ) + f (1) 成立。已知下列函数: ① f ( x) =

1 ; x

② f ( x) = 2 x ;

③ f ( x ) = lg( x 2 + 2) ;④ f ( x ) = cos πx ,

其中属于集合 M 的函数是 。 (写出所有满足要求的函数的序号) 。 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤) 15. (本题满分 14 分,第 1 小题 5 分,第 2 小题 9 分) 已知 a = (sin α ,1) , b = (cos α ,2) , α ∈ (0, (1)若 a ∥ b ,求 tan α 的值; (2)若 a · b =

π
4

)

17 π ,求 sin(2α + ) 的值。 8 4

16. (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 如图,在四棱锥 E-ABCD 中,四边形 ABCD 为平行四边形,BE=BC,AE⊥BE,M 为 CE 上一点,且 BM⊥平面 ACE。 (1)求证:AE⊥BC; (2)如果点 N 为线段 AB 的中点,求证:MN∥平面 ADE.

17. (本题满分 14 分) 如图,矩形 ABCD 是机器人踢球的场地,AB=170cm,AD=80cm,机器人先从 AD 中 点 E 进入场地到点 F 处,EF=40cm,EF⊥AD。场地内有一小球从 B 点向 A 点运动, 机器人从 F 点出发去截小球。现机器人和小球同时出发,它们均作直线运动,并且小 球运动的速度是机器人行走速度的 2 倍。 若忽略机器人圆底旋转所需的时间, 则机器人 最快可在何处截住小球?

18. (本题满分 16 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 10 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 1 + 2 = 1(a > b > 0) 的楼离心率为 , F1 、 F2 分别为椭圆 C 的左、 2 2 a b

右焦点,若椭圆 C 的焦距为 2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 M 为椭圆上任意一点,以 M 为圆心, MF1 为半径作圆 M,当圆 M 于椭圆的右 准线 l 有公共点,求△ MF1 F2 面积的最大值。

19. (本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 4 分,第 3 小题 8 分) 已知函数 f ( x) = ax 3 + bx 2 ? 3 x( a, b ∈ R) 在点 (1, f (1) ) 处的切线方程为 y + 2 = 0 . (1)求函数 f (x ) 的解析式; (2)若对于区间 [?2,2] 上任意两个自变量的值 x1 , x 2 ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) | ≤ c ,求 实数 c 的最小值。 (3)若果点 M ( 2, m) ( m ≠2)可作曲线 y = f (x ) 的三条切线,求实数 m 的取值范围。

20. (本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分) 设函数 f ( x ) = 2) 。 (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)设 Tn = a1 a 2 ? a 2 a 3 + a 3 a 4 ? a 4 a 5 + ... + (?1) n ?1 a n a n +1 ,若 Tn ≥ tn 对 n ∈N*恒
2

2x + 3 1 ( x > 0) ,数列 {a n } 满足 a1 = 1 , a n = f ( ) ( n ∈N*,且 n ≥ +x a n ?1

成立,求实数 t 的取值范围; (3)是否存在以 a1 为首项,公比为 q ( 0 < q < 5, q ∈ N )的数列 {a nk } , k ∈ N ,
*
*

使得数列 {a nk } 中的每一项都是数列 {a n } 中不同的项,若存在,求出所有满足条件 的数列 {n k } 的通项公式;若不存在,说明理由。

参考答案
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1. ±2 8.7 2.10 9.72% 3. x ? y ? 3 = 0 10. 4.-1 5.8 6.

1 2

7.3 14.②④

1 2

11.13

12. (?∞, 2 2]

13.4

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本题满分 14 分,第 1 小题 5 分,第 2 小题 9 分) 解:⑴因为 a ∥ b ,所以 2sin α = cos α .………………… ………………………3 分

1 .…………………………………………………………………………5 分 2 17 17 ,……………………………………7 分 ⑵因为 a · b = ,所以 sin α cos α + 2 = 8 8 1 即 sin 2α = .…………………………………………………………………………9 分 4
则 tan α = 因为 α ∈ ? 0 , 分

? ?

π?

15 ? π? .…………………………11 ? ,所以 2α ∈ ? 0, ? ,则 cos 2α = 4 4? ? 2?

π? 2 2 ? 所以 sin ? 2α + ? = sin 2α + cos 2α 4? 2 2 ?
= 2 1 2 15 × + × = 2 4 2 4 2 + 30 …………………………………………………14 分 8

16. (本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分) 证明:⑴因为 BM⊥平面 ACE, AE ? 平面 ACE , 所以 BM ⊥ AE .……………2 分

因为 AE ⊥ BE ,且 BE ∩ BM = B , BE、BM ? 平面 EBC, 所以 AE ⊥ 平面 EBC. ……………………………………………………………………4 分 因为 BC ? 平面 EBC,所以 AE ⊥ BC .………………………………………………6 分 ⑵取 DE 中点 H,连结 MH、AH. 因为 BM⊥平面 ACE, EC ? 平面 ACE ,所以 BM ⊥ EC . 因为 BE = BC ,所以 M 为 CE 的中点.………………………………………………8 分

1 DC ,…………10 分 2 1 因为四边形 ABCD 为平行四边形,所以 DC∥AB,故 MH ∥ AB . 2
所以 MH 为△ EDC 的中位线.所以 MH ∥ 因为 N 为 AB 中点,所以 MH∥AN. 所以四边形 ANMH 为平行四边形,所以 MN∥AH.………………………………12 分 因为 MN ? 平面 ADE, AH ? 平面 ADE,所以 MN∥平面 ADE.………………14 分

法二:取 EB 中点 F,连接 MF、NF 同法意,可得 M 为 CE 中点。 因为 N 为 AB 中点,所以 NF∥AE,MF∥BC………………………………………8 分 因为四边形 ABCD 为平行四边形,所以 AD∥BC,所以 MF∥AD。 因为 NF、MF ? 平面 ADE,AD、AE ? 平面 MNF, 所以平面 MNF∥平面 ADE……10 分 因为 MF ∩ NF=F,MF、NF ? 平面 MNF,所以平面 MNF∥平面 ADE…………12 分 因为 MN ? 平面 MNF,所以 MN∥平面 ADE………………………………14 分 17. (本题满分 14 分) 解:设该机器人最快可在 G 点处截住小球 ,点 G 在线段 AB 上. 设 FG = xcm .根据题意,得 BG = 2 xcm . 则 AG = AB ? BG = (170 ? 2 x )( cm ) .………………………………………………1 分 连接 AF,在△AEF 中,EF=AE=40cm,EF⊥AD, 所以 ∠EAF = 45° , AF = 40 2cm .………………………………………………2 分 于是 ∠FAG = 45° .在△ AFG 中,由余弦定理, 得 FG 2 = AF 2 + AG 2 ? 2 AF i AG cos ∠FAG . 所以 x = 40 2
2

(

)

2

+ (170 ? 2 x ) ? 2 × 40 2 × (170 ? 2 x ) cos 45° .………………8
2

分 解得 x1 = 50 分 所以 AG = 170 ? 2 x = 70 ( cm ) , 或 AG = ?

x2 =

370 .………………………………………………………………12 3

370 .………13 分 ( cm ) (不合题意,舍去) 3

答:该机器人最快可在线段 AB 上离 A 点 70cm 处截住小球.……………………14 分 解法二:设该机器人最快可在 G 处截住小球,点 G 在线段 AB 上。 设 FG = x cm,根据题意,得 BG = 2 x cm 过 F 作 FH⊥AB,垂足为 H。 ∵AE=EF=40cm,EF⊥AD,∠A=90°, 所以四边形 AHFE 是正方形。 则 FH=40cm,GH=AB-AH-BG=(130-2x) (cm)……………………2 分 在 Rt△FHG 中,由勾股定理,得 FG 2 = FH 2 + GH 2 . 所以 x 2 = 402 + (130 ? 2 x ) 2 ……………………………………………………8 分 解得 x1 = 50

x2 =

370 3

………………………………………………………………12 分 所以 AG = 170 ? 2 x = 70 ( cm ) ,

或 AG = ?

230 .………13 分 ( cm ) (不合题意,舍去) 3

答:该机器人最快可在线段 AB 上离 A 点 70cm 处截住小球.……………………14 分 18. (本题满分 16 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 10 分) 解:⑴因为 2c = 2 ,且
2

c 1 = ,所以 c = 1 , a = 2 .…………………………2 分 a 2

所以 b = 3 . ………………………………………………………………………………4 分

x2 y 2 所以椭圆 C 的方程为 + = 1 .……………………………………………………6 分 4 3
⑵设点 M 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 因为 F1 ( ?1, 0 ) , 分 由于圆 M 与 l 由公共点,所以 M 到 l 的距离 4 ? x0 小于或等于圆的半径 R.
2 因为 R 2 = MF12 = ( x0 + 1) + y0 , 2 2 所以 ( 4 ? x0 ) ≤ ( x0 + 1) + y0 ,………………10 分 2 2
2 即 y0 + 10 x0 ? 15 ≥ 0 .

2 2 x0 y0 + = 1. 4 3

a2 = 4 ,所以直线 l 的方程为 x = 4 .………………………………8 c

2 2 ? x0 ? 3 x0 又因为 y = 3 ?1 ? + 10 x0 ? 15 ≥ 0 .…………………………12 分 ? ,所以 3 ? 4 ? 4 ? 2 0

解得

4 ≤ x0 ≤ 2 .……………………………………………………………………14 分 3 4 15 时, y0 = ,所以 S△ MF1F2 3 3

当 x0 =

(

)

max

=

1 15 15 .…………16 分 × 2× = 2 3 3

19. (本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 4 分,第 3 小题 8 分)
2 解:⑴ f ′ ( x ) = 3ax + 2bx ? 3 .……………………………………………………2 分

根据题意,得 ?
3

? f (1) = ?2, ?a + b ? 3 = ?2, ?a = 1 ? 即? 解得 ? ……………………3 分 ?3a + 2b ? 3 = 0, ?b = 0 ? f ′ (1) = 0, ?

所以 f ( x ) = x ? 3x .………………………………………………………………4 分 ⑵令 f ′ ( x ) = 0 ,即 3 x 2 ? 3 = 0 .得 x = ±1 .

x
f '( x ) f ( x)

?2

( ?2 , ? 1 ) +

-1

(-1,1) -

1

(1,2) +

2

-2



极大值



极小值



2

因为 f ( ?1) = 2 , f (1) = ?2 , 所以当 x ∈ [ ?2, 2] 时, f ( x )max = 2 , f ( x )min = ?2 .………………………………6 分 则对于区间 [ ?2, 2] 上任意两个自变量的值 x1 , x2 ,都有

f ( x 1 ) ? f ( x2 ) ≤ f ( x ) max ? f ( x )min = 4 ,所以 c ≥ 4 .
所以 c 的最小值为 4.……………………………………………………………………8 分 ⑶因为点 M ( 2, m )( m ≠ 2 ) 不在曲线 y = f ( x ) 上,所以可设切点为 ( x0 , y0 ) .
3 则 y0 = x0 ? 3 x0 . 2 因为 f ′ ( x0 ) = 3x0 ? 3 ,所以切线的斜率为 3 x0 ? 3 .………………………………9 分

2

3 x0 ? 3 x0 ? m 则 3x ? 3 = ,……………………………………………………………11 分 x0 ? 2
2 0 3 2 即 2 x0 ? 6 x0 + 6 + m = 0 .

因为 M ( 2, m )( m ≠ 2 ) 过点可作曲线 y = f ( x ) 的三条切线,
3 2 所以方程 2 x0 ? 6 x0 + 6 + m = 0 有三个不同的实数解.

所以函数 g ( x ) = 2 x ? 6 x + 6 + m 有三个不同的零点.
3 2

则 g ′ ( x ) = 6 x ? 12 x .令 g ′ ( x ) = 0 ,则 x = 0 或 x = 2 .
2

x
g '( x ) g ( x)
则?

(-∞,0) + 增

0

(0,2) -

2

(2,+∞) +

极大值



极小值



? g ( 0) > 0 ?6 + m > 0 ? ,即 ? ,解得 ?6 < m < 2 .………………………………16 分 ??2 + m < 0 ?g ( 2) < 2 ?

20. (本题满分 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分)

解:⑴因为, an = f ?

? 1 ? ?= ? an?1 ?



1 +3 an?1 2 = an ?1 + , ( n ∈ N * , 且n ≥ 2 ) 1 3 3× an?1

所以 an ? an ?1 = 分

2 .………………………………………………………………………2 3

因为 a1 = 1 ,所以数列 {an } 是以 1 为首项,公差为 所以 an = 分 ⑵①当 n = 2m, m ∈ N * 时,

2n + 1 .…………………………………………………………………………4 3

2 的等差数列. 3

Tn = T2 m = a1 a2 ? a2 a3 + a3 a4 ? a4 a5 + ? ? ? + ( ?1)

2 m ?1

a2 m a2 m +1

= a2 ( a1 ? a3 ) + a4 ( a3 ? a5 ) + ? ? ? + a2 m ( a 2 m?1 ?a2 m+1 )
=? =?

4 a +a 1 4 ( a2 + a4 + ? + a2 m ) = ? × 2 2m × m = ? ( 8m2 + 12m ) 3 3 2 9
1 ( 2n2 + 6n ) .……………………………………………………………………6 分 9

②当 n = 2 m ? 1, m ∈ N * 时,

Tn = T2 m ?1 = T2 m ? ( ?1)

2 m ?1

a2 m a2 m +1

1 (8m2 + 12m ) + 1 (16m2 + 16m + 3) 9 9 1 1 = ( 8m 2 + 4m + 3) = ( 2n 2 + 6n + 7 ) .…………………………………………8 分 9 9 =? ? 1 2 ?? 9 ( 2n + 6n ) , n为偶数, ? 所以 Tn = ? ? 1 ( 2n 2 + 6n + 7 ),n为奇数 ?9 ?
要使 Tn ≥ tn 2 对 n ∈ N * 恒成立, 只要使 ?

1 ( 2n2 + 6n ) ≥ tn2 , (n为偶数)恒成立 . 9
1? 9? 6? ? ≥ t , 对n为偶数恒成立 , n?

只要使 ? ? 2 +

故实数 t 的取值范围为 ? ? ∞, ? .……………………………………………………10 ? 9

? ?

5? ?

分 ⑶由 an =

2n + 1 ,知数列 {an } 中每一项都不可能是偶数. 3

①如存在以 a1 为首项,公比 q 为 2 或 4 的数列 a n k , k ∈ N ,
*

{ }

此时 a n k 中每一项除第一项外都是偶数,故不存在以为首项, 公比为偶数的数列 a n k .………………………………………12 分 ②当 q = 1 时,显然不存在这样的数列 a n k . 当 q = 3 时,若存在以 a1 为首项,公比为 3 的数列, . 则 an 1 = 1 , n1 = 1 , a n k = 3
k ?1

{ }

{ }

{ }

=

2nk + 1 3k ? 1 , nk = . 3 2

3k ? 1 所以满足条件的数列 {nk } 的通项公式为 nk = .…………………………16 分 2

附 加 题
注意事项: 1.附加题供选修物理的考生使用。 2.本试卷共 40 分,考试时间 30 分钟。 3.答卷前,考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内。试题 的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内。考试结束后,交回答题纸。 解答题(本大题满分 40 分,1—4 题为选做题,每题 10 分,考生只需选做其中 2 题,多选 做的以前两题计分,5—6 题为必做题,每题 10 分) 1. (集合证明选讲选做题) · · 如图 AB 是○O 的直径,点 P 在 AB 的延长线上,PC 与○O 相切于点 C,PC=AC=1, · 求○O 的半径。

2. (矩阵与变换选做题) 求直线 2 x + y ? 1 = 0 在矩阵 ?

?1 ?2

2? 作用下变换得到的直线的方程。 2? ?

3. (坐标系与参数方程选做题)
· · 已知○ O1 与○ O2 的极坐标方程分别是 ρ = 2 cos θ 和 ρ = 2a sin θ ( a 是非零常数) 。

(1)将两圆的极坐标方程化为只交坐标方程; (2)若两圆的原形距为 5 ,求 a 的值。

4. (不等式选讲选做题) 设函数 f ( x ) =| x ? 1 | + | x + 2 | . (1)解不等式 f ( x ) > 3 ; (2)若 f ( x ) > a 对 x ∈ R 恒成立,求实数 a 的取值范围。

5. 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ACB = 90°, BAC = 30°, ∠ ∠ BC=1,AA1 =

6,

M 是棱 CC1 的中点。
(1)求证: A1 B ⊥ AM ; (2)求直线 AM 与平面 AA1 B1 B 所成角的正弦值。

6.袋中装有大小相同的黑球和白球共 9 个,从中任取 2 个都是白球的概率为

5 。现甲、乙 12

两人从袋中轮流摸球,甲先取,乙后取,然后甲再取…,每次摸取 1 个球,取出的球部 放回,直到其中有一人去的白球时终止。用 X 表示取球终止时取球的总次数。 (1)求袋中原有白球的个数; (2)求随机变量 X 的概率分布及数学期望 E ( X ) 。

附加题参考答案
1. (本题满分 10 分) 解:连接 OC。 设∠PAC=θ。因为 PC=AC,所以∠CPA=θ,∠COP=2θ。 · 又因为 PC 与○O 相切于点 C,所以 OC⊥PC。 所以 3θ=90°,所以θ=30°………………………………5 分 又设圆的半径为 r,在 Rt△POC 中,r=CP·tan30°= 1 × 分 2. (本题满分 10 分) 解法一:任意选取直线 2 x + y ? 1 = 0 上的一点 P ( x0 , y0 ) , 它在矩阵 ?

3 3 …………………10 = 3 3

?1 ?0

2? 作用下变换得到的点为 P '( x, y ) 2? ?

则有 ?

?1 ?0

2 ? ? x0 ? ? x ? , ? ?= 2 ? ? y0 ? ? y ? ? ? ?

故?

? x = x0 + 2 y0 , ………………………………………………………………5 分 ? y = 2 y0 ,
? x0 = x ? y, ? 1 ? y0 = 2 y. ?

解得 ?

又因为点 P 在直线 2 x + y ? 1 = 0 上,所以 2 x0 + y0 ? 1 = 0 , 即 2( x ? y ) +

1 y ? 1 = 0 。化简得 4 x ? 3 y ? 2 = 0 。 2

所以所求直线方程 4 x ? 3 y ? 2 = 0. 解法二:在直线 2 x + y ? 1 = 0 上取两点(

1 ,0)(0,1) , 2

?1? ?1? ?1 2 ? ? ? ? ? ?1 2 ? ?0 ? ? 2? 因为 ? ? 2 = 2 ,? ? ? ? = ? ? ,………………………………………5 分 ?0 2 ? ?0 ? ?0 ? ?0 2? ?1 ? ? 2? ? ? ? ?
所以变换后对应的点的坐标分别为(

1 ,0)(2,2) , 2

所以所求直线方程为 4 x ? 3 y ? 2 = 0 。…………………………………………10 分 3. (本题满分 10 分) 解: (1)由 ρ = 2 cos θ ,得 ρ cos θ .
· 所以○ O1 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 = 2 x.

即 ( x ? 1) 2 + y 2 = 1. …………………………………………………………3 分 由 ρ = 2a sin θ ,得 ρ = 2a ρ sin θ 。
2 2 2 2 2 2 · 所以○ O2 的直角坐标方程为 x + y = 2ay ,即 x + ( y ? a ) = a . ………………6 分

· · (2)○ O1 与○ O2 的圆心之间的距离为 1 + a =

2

2

5 ,解得 a = ±2 .…………10 分

4. (本题满分 10 分) 解: (1)当 x < 1 时, f ( x ) = 1 ? x + 2 ? x = 3 ? 2 x. 由 f ( x ) > 3 ,得 3 ? 2 x > 3 ,解得 x < 0 ; 当 1≤ x ≤2 时,有 f ( x ) = x ? 1 + 2 ? x = 1 . 此时不等式 f ( x ) > 3 无解; 当 x > 2 时,有 f ( x ) = x ? 1 + x ? 2 = 2 x ? 3 . 由 f ( x ) > 3 ,得 2 x ? 3 > 3 ,解得 x > 3 故不等式 f ( x ) > 3 的解集为(-∞,0)∪(3,+∞)…………………………5 分 (2)因为 f ( x ) =| x ? 1 | + | x ? 2 | ≥ | ( x ? 1) ? ( x ? 2) |= 1 , 当且仅当 1≤ x ≤2 时取等号。 所以当 a < 1 时,不等式 f ( x ) > a 恒成立。…………………………10 分 5. (本题满分 10 分) 解法一: (1)如图,以 B 为原点,BA、

BB1 所在直线为 y 轴、 z 轴建立空间直角

坐标系。则 B(0,0,0) A1 (0,2, 6 ) , , A(0,2,0) M ( ,

3 1 6 , , ) 2 2 2

所以 A1 B = (0, ?2, 6) ,

AM = (

3 3 6 ,? , ). 2 2 2

所以 A1 B · AM =0+3-3=0, 即 A1 B ⊥ AM . 所以 A1 B ⊥ AM …………………………………………………………5 分 (2)因为 x 轴⊥面 AA1 B1 B ,所以面 AA1 B1 B 的发向量取 n = (1, 0, 0) . 设直线 AM 与平面 AA1 B1 B 所成角为θ, 所以 sin θ =| cos < AM , n >|=|

AM ? n | AM | ? | n |

|=

6 . 6 6 …………………………10 分 6

所以直线 AM 与平面 AA1 B1 B 所成角的正弦值为

解法二: (1)因为 C1C ⊥平面 ABC,BC⊥AC,所以分别以 CA,CB, CC1 , 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系。 则 B(0,1,0) A1 ( 3, 0, 6) ,A( 3 ,0,0) ,

M (0, 0,

6 ), 2

所以 A1 B =( ? 3 ,1, ? 6 )

AM = ( ? 3 ,0,

6 ) , 2

所以 A1 B · AM =0+3-3=0, 所以 A1 B ⊥ AM . 所以 A1 B ⊥ AM …………………………………………………………5 分

(2)由(1)知 AB = ( ? 3,1, 0) , A1 A =(0,0, 6 ) , 设面 AA1 B1 B 的法向量为 n = ( x, y, z ) , 则?

?? 3 x + y = 0, ? ? 6 z = 0. ?

不妨取 n = ( 3,3, 0).

设直线 AM 与平面 AA1 B1 B 所成角度为θ。 所以 sin θ =| cos < AM , n >|=|

AM ? n | AM | ? | n |

|=

6 . 6
6 …………………………10 分 6

所以直线 AM 与平面 AA1 B1 B 所成角的正弦值为 6. (本题满分 10 分) 解: (1)设袋中原有 n 个白球, 则从 9 个球中任取 2 个球都是白球的概率为
2 Cn 5 = , C92 12

2 Cn , C92

由题意知

n(n ? 1) 5 2 2 即 = ,化简得 n ? n ? 30 = 0 。 9×8 12 2 解得 n = 6 或 n = ?5 (舍去)
故袋中原有白球的个数为 6.…………………………………………………………4 分 (2)由题意,X 的可能取值为 1,2,3,4.

6 2 = ; 9 3 3× 6 1 P ( X = 2) = = ; 9×8 4 3× 2 × 6 1 ; P ( X = 3) = = 9 × 8 × 7 14 3 × 2 ×1× 6 1 .………………………………………………8 分 P ( X = 4) = = 9 × 8 × 7 × 6 84 P ( X = 1) =
所以取球次数 X 的概率分布列为: X 1 2 3 4

1 1 1 4 14 84 2 1 1 1 10 所求数学期望为 E(X)=1 × +2 × +3 × +4 × = . ………………10 分 3 4 14 84 7
P

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