广东省湛江师范学院附属中学、湛江附中东方实验学校联考2014-2015学年高一上学期期中考试数学试卷

2014-2015 学年广东省湛江师范学院附属中学、湛江附中东方实 验学校联考高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.设集合 A={1,3},集合 B={1,2,4,5},则集合 A∪B=( ) A. {1,3,1,2,4,5} B. {1} C. {1,2,3,4,5} D. {2,3,4,5} 2.下列函数中,与函数 y=x 相等的是( A. y= B. y= )

C. y=

D. y=

3.函数 y=

的定义域是(



A. {x|﹣1<x<1} B. {x|x≤﹣1} C. {x|x≥1} D. {x|﹣1≤x≤1} 4.函数 y=x ﹣4x+3,x∈[0,3]的值域为( ) A. [0,3] B. [﹣1,0] C. [﹣1,3] D. [0,2] 5.指数函数 y=a 的反函数的图象经过点(16,2) ,则 a 的值是( A. B. 4 C. ﹣4 D. ﹣4 或 4
x 2



6.下列函数中既是偶函数又在(0,+∞)上是增函数的是( A. y=x B. y=|x|+1 C. y=﹣x +1 D. y=2x+1
3 2



7.已知 f(x)=2x ﹣2 ,f(x)的零点在哪个区间( ) A. (﹣3,﹣2) B. (﹣1,0) C. (2,3) D. (4,5)

2

x

8.设

,则 a,b,c 的大小关系是(



A. a<b<c B. b<a<c C. c<a<b D. b<c<a 9.若函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(2)=0,则不 等式 xf(x)<0 的解集为( ) A. (﹣2,0)∪(2,+∞) B. (﹣∞,﹣2)∪(0,2) C. (﹣∞,﹣2)∪(2, +∞) D. (﹣2,0)∪(0,2)

10.在同一坐标系中画出函数 y=a ,y=x+a 的图象,可能正确的是(

x



A.

B.

C.

D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11. = .

12.已知 f(x)=x +x+1,则 f(
2

2

)=

. .

13.若函数 f(x)=(a﹣2)x +(a﹣1)x+3 是偶函数,则 a= 14.若 ,则 a 的取值范围是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.设 A={x|x≥1 或 x≤﹣3},B={x|﹣4<x<0}求: (1)A∩B; (2)A∪(? RB) ; (3) (? RA)∩B.

16. (1)若 a>0,b>0,化简:

﹣(4a﹣1)

(2)若 log23=a,log52=b,试用 a,b 表示 log245. 17.求函数 y=x+ 的定义域和值域.

18.已知函数 f(x)=kx +(3+k)x+3,其中 k 为常数,且满足 f(2)=3 (1)求函数 f(x)的表达式; (2)求函数 f(x)在[﹣1,4]上的最大值和最小值;

2

(3)设函数 g(x)=f(x)﹣mx,若 g(x)在区间[﹣2,2]上是单调函数,求实数 m 的取 值范围.

19.已知函数函数 f(x)=x+ (1)判断并证明函数 f(x)的奇偶性; (2)证明函数 f(x)在 x∈[1,+∞)上是增函数. (3)若 f(a)>2,求 a 的取值范围. 20.某商品在近 30 天内,每件的销售价格 P(元)与时间 t(天)的函数关系是: P= ,该商品的日销售量 Q(件)与时间 t(天)的函数关

系是 Q=﹣t+40 (0<t≤30,t∈N) ,求这种商品日销售金额的最大值,并指出日销售金额 最大的一天是 30 天中的哪一天?

2014-2015 学年广东省湛江师范学院附属中学、 湛江附中 东方实验学校联考高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.设集合 A={1,3},集合 B={1,2,4,5},则集合 A∪B=( ) A. {1,3,1,2,4,5} B. {1} C. {1,2,3,4,5} D. {2,3,4,5} 考点: 并集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 集合 A 的所有元素和集合 B 的所有元素合并到一起,构成集合 A∪B,由此利用集合 A={1,3},集合 B={1,2,4,5},能求出集合 A∪B. 解答: 解:∵集合 A={1,3},集合 B={1,2,4,5}, ∴集合 A∪B={1,2,3,4,5}. 故选 C. 点评: 本题考查集合的并集及其运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 2.下列函数中,与函数 y=x 相等的是( A. y= B. y= )

C. y=

D. y=

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 分析: 由题意,要验证对应关系与定义域是否都相同. 解答: 解:函数 y=x 的定义域为 R; y= y= 的定义域为[0,+∞) ; =|x|,对应关系不同;

y=

,对应关系不同;

y=

=x,且定义域为 R.

故选 D. 点评: 本题考查了函数相等的判断,属于基础题.

3.函数 y=

的定义域是(



A. {x|﹣1<x<1} B. {x|x≤﹣1} C. {x|x≥1} D. {x|﹣1≤x≤1} 考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由根式内部的代数式大于等于零,然后求解二次不等式得函数的定义域. 解答: 解:要使函数有意义,必须 1﹣x ≥0,解得﹣1≤x≤1 故函数的定义域为:{x|﹣1≤x≤1}. 故选:D. 点评: 本题考查了函数的定义域及其求法,考查了不等式的解法,是基础题. 4.函数 y=x ﹣4x+3,x∈[0,3]的值域为( ) A. [0,3] B. [﹣1,0] C. [﹣1,3] D. [0,2] 考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数 y=x ﹣4x+3=(x﹣2) ﹣1,x∈[0,3]可得,当 x=2 时,函数取得最小值为 ﹣1,当 x=0 时,函数取得最大值 3,由此求得函数的值域. 解答: 解:∵函数 y=x ﹣4x+3=(x﹣2) ﹣1,x∈[0,3], 故当 x=2 时,函数取得最小值为﹣1,当 x=0 时,函数取得最大值 3, 故函数的值域为[﹣1,3], 故选 C. 点评: 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质的应用,属于中档题. 5.指数函数 y=a 的反函数的图象经过点(16,2) ,则 a 的值是( A. B. 4 C. ﹣4 D. ﹣4 或 4
x 2 2 2 2 2 2



考点: 反函数. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 指数函数 y=a 的反函数的图象经过点(16,2)可化转化为指数函数 y=a 的图象经 过点(2,16) .从而求解. 解答: 解:∵指数函数 y=a 的反函数的图象经过点(16,2) , x ∴指数函数 y=a 的图象经过点(2,16) , 2 ∴16=a ; 解得,a=4; 故选 B. 点评: 本题考查了反函数的性质应用,属于基础题. 6.下列函数中既是偶函数又在(0,+∞)上是增函数的是( A. y=x B. y=|x|+1 C. y=﹣x +1 D. y=2x+1 考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 对四个选项分别利用函数奇偶性的定义判断 f(﹣x)与 f(x)的关系.
3 2 x x x



解答: 解:四个选项的函数定义域都是 R; 对于选项 A, (﹣x) =﹣x ,是奇函数; 对于选项 B,|﹣x|+1=|x|+1;在(0,+∞)是增函数; 对于选项 C,﹣(﹣x) +1=﹣x +1,是偶函数,但是在(0,+∞)是减函数; 对于选项 D,﹣2x+1≠2x+1,﹣2x+≠2x+1,是非奇非偶的函数; 故选 B. 点评: 本题考查了函数奇偶性的判断;如果函数的定义域关于原点对称,只要再判断 f(﹣ x)与 f(x)的关系即可. 7.已知 f(x)=2x ﹣2 ,f(x)的零点在哪个区间( ) A. (﹣3,﹣2) B. (﹣1,0) C. (2,3) D. (4,5) 考点: 函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数零点的判断定理即可找出零点所在的区间. 解答: 解:∵f(﹣1)=2×1﹣2 =2﹣ = >0,f(0)=0﹣2 =﹣1<0. ∴f(﹣1)f(0)<0, ∴函数 f(x)=2x ﹣2 ,在区间(﹣1,0)内有零点. 故选 B. 点评: 熟练掌握函数零点的判断方法是解题的关键.
2 x ﹣1 0 2 x 2 2 3 3

8.设

,则 a,b,c 的大小关系是(



A. a<b<c B. b<a<c C. c<a<b D. b<c<a 考点: 不等式比较大小. 专题: 计算题. 分析: 利用指数函数的单调性和特殊点可得 b<a,再利用幂函数的单调性 a<c,由此求 得 a,b,c 的大小关系. 解答: 解: 由于函数 y= >0. 由于函数 y= 在它的定义域 R 上是增函数,且 ,故有 > 在它的定义域 R 上是减函数, ∴

, 故 a,b,c 的大小关系是 b<a<c, 故选 B. 点评: 本题主要考查指数函数的单调性和特殊点,幂函数的单调性,属于基础题.

9.若函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又 f(2)=0,则不 等式 xf(x)<0 的解集为( ) A. (﹣2,0)∪(2,+∞) B. (﹣∞,﹣2)∪(0,2) C. (﹣∞,﹣2)∪(2, +∞) D. (﹣2,0)∪(0,2) 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 根据函数的奇偶性求出 f(﹣2)=0,xf(x)<0 分成两类,分别利用函数的单调性 进行求解. 解答: 解:∵f(x)为奇函数,且满足 f(2)=0,且在(0,+∞)上是增函数, ∴f(﹣2)=﹣f(2)=0,f(x)在(﹣∞,0)内是增函数 ∵xf(x)<0, ∴ 或

根据在(﹣∞,0)内是增函数,在(0,+∞)内是增函数 解得:x∈(0,2)∪(﹣2,0) . 故选:D. 点评: 本题主要考查了函数的奇偶性的性质,以及函数单调性的应用等有关知识,属于基 础题. 10.在同一坐标系中画出函数 y=a ,y=x+a 的图象,可能正确的是(
x



A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 把 a 看做直线 y=x+a 在 y 轴上的截距,对应函数 y=x+a 单调递增,而函数 y=a 当 a x >1 时单调递增,当 0<a<1 时,函数 y=a 单调递减, 用以上两条选出答案. 解答: 解:∵a 为直线 y=x+a 在 y 轴上的截距,对应函数 y=x+a 单调递增, 又∵当 a>1 时,函数 y=a 单调递增,当 0<a<1 时,函数 y=a 单调递减, x A 中,从图象上看,y=a 的 a 满足 a>1,而直线 y=x+a 的截距 a<1,不符合以上两条, x B 中,从图象上看,y=a 的 a 满足 0<a<1,而直线 y=x+a 的截距 a>1,不符合以上两条, x C 中,从图象上看,y=a 的 a 满足 a>1,而函数 y=x+a 单调递减,不符合以上两条,
x x x

∴只有选项 D 的图象符合以上两条, 故选:D 点评: 本题主要考查函数的单调性及函数的图象,特别是我们常见函数的性质与图象要熟 记,是基础题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11. = π﹣3 .

考点: 方根与根式及根式的化简运算. 专题: 计算题. 分析: 由 = ,我们易化简 得到结果.

解答: 解: =|3﹣π| =π﹣3 故答案为:π﹣3 点评: 本题考查的知识点是根式的化简运算, 其中掌握根式的性质 是解答本题的关键. 12.已知 f(x)=x +x+1,则 f( 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数的性质求解. 解答: 解:∵f(x)=x +x+1, 2 ∴f( )=( ) + =3+ . 故答案为:3+ . 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用. 13.若函数 f(x)=(a﹣2)x +(a﹣1)x+3 是偶函数,则 a= 1 . 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 依据偶函数的定义列出 f(x)=f(﹣x) ,即可求出 a 的值. 解答: 解:∵f(x)=(a﹣2)x +(a﹣1)x+3 为偶函数 ∴f(x)=f(﹣x) , 即(a﹣2)x +(a﹣1)x+3=f(x)=(a﹣2) (﹣x) +(a﹣1) (﹣x)+3, 得 a=1 故答案为:1
2 2 2 2 2 2

=

)= 3+



点评: 本题主要考查函数的奇偶性的运用.属基础题.

14.若

,则 a 的取值范围是



考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 分析: 当 a>1 时, 由 求得 a 的取值范围,然后把 这两个 a 的取值范围取并集. 解答: 解:当 a>1 时, 当 1>a>0 时,∵ 综上可得,a 的取值范围是 故答案为: . , 成立. , 可得原不等式成立. 当 1>a>0 时, 由 ,

,∴0<a< . .

点评: 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点,体现了分类讨论的数学思想. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.设 A={x|x≥1 或 x≤﹣3},B={x|﹣4<x<0}求: (1)A∩B; (2)A∪(? RB) ; (3) (? RA)∩B. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的基本运算分别进行计算即可. 解答: 解: (1)∵A={x|x≥1 或 x≤﹣3},B={x|﹣4<x<0}, ∴A∩B={x|﹣4<x≤﹣3}. (2)由题意 可得? RB={x|x≥0 或 x≤4} ∴A∪(? RB)={x|x≥0 或 x≤﹣3}. (3)∵? RA={x|﹣3<x<1},B={x|﹣4<x<0}, ∴(? RA)∩B={x|﹣3<x<0}. 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础.

16. (1)若 a>0,b>0,化简:

﹣(4a﹣1)

(2)若 log23=a,log52=b,试用 a,b 表示 log245.

考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用分数指数幂的运算法则求解. (2)利用对数的性质和运算法则化简求值. 解答: 解: (1)∵a>0,b>0, ∴

=



(2)∵log245=log2(5×9)=log25+log29=log25+2log23, 而 log52=b,则 ∴ , .

点评: 本题考查对数式和指数式的化简求值,是基础题,解题时要认真审题,注意分类指 数幂和对数的运算法则的合理运用. 17.求函数 y=x+ 的定义域和值域.

考点: 函数的值域;函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题先根据无理式有意义,得到 x 的取值范围,得到函数定义域,再利用换元法将 无理式 t= 将原函数转化为二次函数在区间[0,+∞)上的值域,结合二次函数的图

象,求出其做值域,得到本题结论. 解答: 解:∵函数 y=x+ ∴1﹣2x≥0, ∴x , 的定义域为{x|x }. ,

∴函数 y=x+

令 t=

(t≥0) ,则



∴y=



∴y= ∵t≥0,

=﹣ (t﹣1) +1,

2

∴当 t=1 即 x=0 时,函数取得最大值 ymax=1, ∴函数 y= 的值域为(﹣∞,1].

点评: 本题考查了函数的定义域、值域,还考查了换元法和化归转化思想,本题难度不大, 属于基础题. 18.已知函数 f(x)=kx +(3+k)x+3,其中 k 为常数,且满足 f(2)=3 (1)求函数 f(x)的表达式; (2)求函数 f(x)在[﹣1,4]上的最大值和最小值; (3)设函数 g(x)=f(x)﹣mx,若 g(x)在区间[﹣2,2]上是单调函数,求实数 m 的取 值范围. 考点: 二次函数在闭区间上的最值;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由函数 f(x)满足 f(2)=6k+9=3,求得 k=﹣1,从而得到 f(x)的解析式. (2)根据 f(x)=﹣(x﹣1) +4,x∈[﹣1,4],利用二次函数的性质求得函数 f(x)在[﹣ 1,4]上的最大值和最小值. (3)根据函数 g(x)=﹣x +(2﹣m)x+3 的图象的对称轴方程为 x=1﹣ ,g(x)在区间[﹣ 2,2]上是单调函数,可得 1﹣ ≥2,或 1﹣ ≤﹣2,由此求得实数 m 的取值范围. 解答: 解: (1)∵函数 f(x)=kx +(3+k)x+3,其中 k 为常数,且满足 f(2)=6k+9=3, 可得 k=﹣1, ∴f(x)=﹣x +2x+3. 2 2 (2)∵f(x)=﹣x +2x+3=﹣(x﹣1) +4,x∈[﹣1,4],∴当 x=1 时,函数取得最大值为 4; 当 x=4 时,函数取得最小值为﹣5. (3)由于函数 g(x)=f(x)﹣mx=﹣x +(2﹣m)x+3 的图象的对称轴方程为 x=1﹣ , 若 g(x)在区间[﹣2,2]上是单调函数,则 1﹣ ≥2,或 1﹣ ≤﹣2, 求得 m≤﹣2,或 m≥6,即实数 m 的取值范围为{m|m≤﹣2,或 m≥6}. 点评: 本题主要考查用待定系数法求函数的解析式,求二次函数在闭区间上的最值,二次 函数的性质的应用,体现了分类讨论的数学思想,属基础题.
2 2 2 2 2 2

19.已知函数函数 f(x)=x+ (1)判断并证明函数 f(x)的奇偶性; (2)证明函数 f(x)在 x∈[1,+∞)上是增函数. (3)若 f(a)>2,求 a 的取值范围.

考点: 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据函数奇偶性的定义即可判断并证明函数 f(x)的奇偶性; (2)根据函数单调性的定义即可证明函数 f(x)在 x∈[1,+∞)上是增函数. (3)若 f(a)>2,解不等式即可求 a 的取值范围. 解答: 解: (1)f(x)的定义域为{x|x≠0}, f(﹣x)=﹣x+x﹣1=﹣f(x) , ∴函数 f(x)为奇函数 ( (4 分) ) (2)任取 x1,x2∈(0,+∞) ,不妨设 x1<x2,则有 f (x1) ﹣f (x2) =x1+ ﹣x2﹣ =x1﹣x2+ ﹣ = (x1﹣x2) (1﹣ ) = (x1﹣x2) ,

∵x1,x2∈(1,+∞)且 x1<x2 ∴x1﹣x2<0,x1x2﹣1>0,x1x2>0 ∴f(x1)﹣f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2) , ∴函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数. (10 分) (3)若 f(a)>2 即 a
2

>2,显然 a>0,

原式可化为:a ﹣2a+1=(a﹣1)2>0 解得 a>0 且 a≠1, 点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断,利用定义法是解决本题的关键. 20.某商品在近 30 天内,每件的销售价格 P(元)与时间 t(天)的函数关系是: P= ,该商品的日销售量 Q(件)与时间 t(天)的函数关

系是 Q=﹣t+40 (0<t≤30,t∈N) ,求这种商品日销售金额的最大值,并指出日销售金额 最大的一天是 30 天中的哪一天? 考点: 函数最值的应用. 专题: 应用题. 分析: 设日销售金额为 y 元,根据 y=P? Q 写出函数 y 的解析式,再分类讨论:当 0<t< 25,t∈N+时,和当 25≤t≤30,t∈N+时,分别求出各段上函数的最大值,最后综合得出这 种商品日销售额的最大值即可. 解答: 解:设日销售额为 y 元,则 y=PQ= =

(1)若 0<t≤24,则当 t=10 时,ymax=900 (2)若 25≤t≤30,则当 t=25 时,ymax=1125 1125>900,所以当 t=25 时,ymax=1125 答:第 25 天日销售金额最大 点评: 本小题主要考查建立函数关系、分段函数等基础知识,解决实际问题的首要步骤: 阅读理解,认真审题.本题的函数模型为分段函数,求分段函数的最值,应先求出函数在各

部分的最值, 然后取各部分的最值的最大值为整个函数的最大值, 取各部分的最小者为整个 函数的最小值.


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