第一单元(函数的基本性质)
2 0 0 4 － 2 0 05 学 年 度 上 学 期 新课标高一数学同步测试（4）—第一单元（函数的基本性质）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题 5 分，共 50 分） 。 1．下面说法正确的选项 （ ） A．函数的单调区间可以是函数的定义域 B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称 D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象 2．在区间 (??,0) 上为增函数的是 （ ） A． y ? 1 C． y ? ? x ? 2 x ? 1
2 2
x ?2 1? x 2 D． y ? 1 ? x
B． y ? （ ） ） ） ）
3．函数 y ? x ? bx ? c ( x ? (??,1)) 是单调函数时， b 的取值范围
A． b ? ?2 B． b ? ?2 C ． b ? ?2 D． b ? ?2 4．如果偶函数在 [a, b] 具有最大值，那么该函数在 [?b,?a] 有 （ A．最大值 B．最小值 C ．没有最大值 D． 没有最小值 5．函数 y ? x | x | ? px ， x ? R 是 （ A．偶函数 B．奇函数 C．不具有奇偶函数 D．与 p 有关 6． 函数 f ( x) 在 (a, b) 和 (c, d ) 都是增函数， 若 x1 ? (a, b), x2 ? (c, d ) ， 且 x1 ? x2 那么 （ A． f ( x1 ) ? f ( x2 ) C． f ( x1 ) ? f ( x2 ) A． [3,8] B． f ( x1 ) ? f ( x2 ) D．无法确定 （
7．函数 f ( x) 在区间 [?2,3] 是增函数，则 y ? f ( x ? 5) 的递增区间是 B． [?7,?2] C． [0,5] D． [?2,3] 8．函数 y ? (2k ? 1) x ? b 在实数集上是增函数，则 A． k ? ?
）
（ D． b ? 0
）
9． 定义在 R 上的偶函数 f ( x) ， 满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ， 且在区间 [?1,0] 上为递增， 则 （ A． f (3) ? f ( 2 ) ? f (2) C． f (3) ? f (2) ? f ( 2 ) A． f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] B． f (2) ? f (3) ? f ( 2 ) D． f ( 2 ) ? f (2) ? f (3) （
1 2
B． k ? ?
1 2
C． b ? 0
）
10．已知 f ( x) 在实数集上是减函数，若 a ? b ? 0 ，则下列正确的是 B． f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b)
-1-
）
C． f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] D． f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 6 分，共 24 分）. 11 ． 函 数 f ( x) 在 R 上 为 奇 函 数 ， 且 f ( x) ?
x ? 1, x ? 0 ， 则 当 x ? 0 ，
.
f ( x) ?
2
. ，最大值和最小值的情况为
12．函数 y ? ? x ? | x | ，单调递减区间为
13． 定义在 R 上的函数 s ( x )（已知） 可用 f ( x), g ( x) 的=和来表示， 且 f ( x) 为奇函数，g ( x) 为偶函数，则 f ( x) = . 14．构造一个满足下面三个条件的函数实例， ①函数在 (??,?1) 上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值为； 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分). 15． （12 分）已知 f ( x) ? ( x ? 2) , x ? [?1,3] ，求函数 f ( x ? 1) 得单调递减区间.
2
.
16． （12 分）判断下列函数的奇偶性 ①y?x ?
3
1 ； x
②y?
2x ? 1 ? 1 ? 2x ；
③ y ? x ? x；
4
? x 2 ? 2( x ? 0) ? ④ y ? ?0( x ? 0) 。 ? 2 ?? x ? 2( x ? 0)
17． （12 分）已知 f ( x) ? x
2005
? ax3 ?
b ? 8 ， f (?2) ? 10 ，求 f (2) . x
-2-
18． （12 分） ）函数 f ( x), g ( x) 在区间 [a, b] 上都有意义，且在此区间上 ① f ( x) 为增函数， f ( x) ? 0 ； ② g ( x) 为减函数， g ( x) ? 0 . 判断 f ( x) g ( x) 在 [a, b] 的单调性，并给出证明.
19． （14 分） 在经济学中， 函数 f ( x) 的边际函数为 Mf ( x) ， 定义为 Mf ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ， 某 公 司 每 月 最 多 生 产 100 台 报 警 系 统 装 置 。 生 产 x 台 的 收 入 函 数 为
R( x) ? 3000 x ? 20 x 2 （单位元） ，其成本函数为 C ( x) ? 500 x ? 4000 （单位元） ，利润
-3-
的等于收入与成本之差. ①求出利润函数 p ( x) 及其边际利润函数 Mp( x) ； ②求出的利润函数 p ( x) 及其边际利润函数 Mp( x) 是否具有相同的最大值； ③你认为本题中边际利润函数 Mp( x) 最大值的实际意义.
20． （14 分）已知函数 f ( x) ? x ? 1 ，且 g ( x) ? f [ f ( x)] ， G( x) ? g ( x) ? ?f ( x) ，试问，
2
是否存在实数 ? ，使得 G ( x) 在 (??,?1] 上为减函数，并且在 (?1,0) 上为增函数.
参考答案（4）
一、CBAAB DBAA D
-4-
二、 11．y
? ? ? x ?1；
1 12． [? ,0] 和 [ 2
1 1 s( x) ? s(? x) ； 14．y ? x 2 , x ? R ； ,?? ) ， ； 13． 4 2 2
三、15． 解： 函数 f ( x ? 1) ? [( x ? 1) ? 2]2 ? ( x ? 1) 2 ? x 2 ? 2 x ? 1 ， x ? [?2,2] ， 故函数的单调递减区间为 [?2,1] . 16． 解①定义域 (??,0) ? (0,??) 关于原点对称，且 ②定义域为 {
f (? x) ? ? f ( x) ，奇函数.
1 } 不关于原点对称。该函数不具有奇偶性. 2
③定义域为 R，关于原点对称，且 f (? x) ? x 4 ? x ? x 4 ? x ， f (? x) ? x 4 ? x ? ?( x 4 ? x) ，故其不 具有奇偶性. ④定义域为 R，关于原点对称， 当x 当x 当x
? 0 时， f (? x) ? ?(? x) 2 ? 2 ? ?( x 2 ? 2) ? ? f ( x) ； ? 0 时， f (? x) ? (? x) 2 ? 2 ? ?(? x 2 ? 2) ? ? f ( x) ； ? 0 时， f (0) ? 0 ；故该函数为奇函数.
f ( x) 中 x 2005 ? ax3 ? b 为奇函数，即 g ( x) = x 2005 ? ax3 ? b 中 g (? x) ? ? g ( x) ，也即
x
x
17．解： 已知
g (?2) ? ? g (2) ， f (?2) ? g (?2) ? 8 ? ? g (2) ? 8 ? 10 ，得 g (2) ? ?18 ， f (2) ? g (2) ? 8 ? ?26 .
18 ．解：减函数令 a
? x1 ? x2 ? b
，则有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ，即可得 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ；同理有
g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ，即可得 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ；
从而有
f ( x1 ) g ( x1 ) ? f ( x2 ) g ( x2 )
? f ( x1 ) g ( x1 ) ? f ( x1 ) g ( x2 ) ? f ( x1 ) g ( x2 ) ? f ( x2 ) g ( x2 )
? f ( x1 )( g ( x1 ) ? g ( x2 )) ? ( f ( x1 ) ? f ( x2 )) g ( x2 ) *
显然
f ( x1 )( g ( x1 ) ? g ( x2 )) ? 0 ， ( f ( x1 ) ? f ( x2 )) g ( x2 ) ? 0 从而*式 * ? 0 ，
故函数
f ( x) g ( x) 为减函数.
19．解： p( x) ? R( x) ? C ( x) ? ?20 x 2 ? 2500 x ? 4000 , x ? [1,100 ], x ? N .
Mp( x) ? p( x ? 1) ? p( x)
-5-
? [?20( x ? 1) 2 ? 2500 ( x ? 1) ? 4000 ] ? (?20 x 2 ? 2500 x ? 4000 ),
? 2480 ? 40 x
x ? [1,100 ], x ? N ；
p( x) ? ?20( x ? 125 2 故当 x ? 62 或 63 时， p( x) max ) ? 74125 , x ? [1,100 ], x ? N ， 2
? 74120（元） 。
因为 Mp( x) ? 2480 ? 40 x 为减函数，当 x
? 1时有最大值 2440。故不具有相等的最大值.
边际利润函数区最大值时，说明生产第二台机器与生产第一台的利润差最大. 20．解： g ( x)
? f [ f ( x)] ? f ( x 2 ? 1) ? ( x 2 ? 1) 2 ? 1 ? x 4 ? 2 x 2 ? 2 .
G( x) ? g ( x) ? ?f ( x) ? x 4 ? 2 x 2 ? 2 ? ?x 2 ? ? ? x 4 ? (2 ? ? ) x 2 ? (2 ? ? )
G( x1 ) ? G( x2 ) ? [ x1 ? (2 ? ? ) x1 ? (2 ? ? )] ? [ x2 ? (2 ? ? ) x2 ? (2 ? ? )]
4 2 4 2
? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 )[ x1 ? x 2 ? (2 ? ? )]
2 2
有题设 当 x1
? x2 ? ?1 时，
2 2
( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 0 ， x1 ? x2 ? (2 ? ? ) ? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? 4 ? ? ，
则4??
? 0, ? ? 4
当 ?1 ?
2
x1 ? x2 ? 0 时，
2
( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 0 ， x1 ? x2 ? (2 ? ? ) ? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? 4 ? ? ，
则4 ? ?
? 0, ? ? 4
故?
? 4.
-6-