北京市丰台区高三一模考试(数学文)

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北京市丰台区 高三年级第二学期统一练习(一)

数 学 试 题(文)
注意事项: 1.答题前,考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹 签字笔填写清楚,并认真核对条形码上的准考证号、姓名,在答题卡的“条形码粘 贴区”贴好条形码. 2.本次考试所有答题均在答题卡上完成.选择题必须使用 2B 铅笔以正确填涂方式将各 小题对应选项涂黑,如需改动,用橡皮擦除干净后再选涂其它选项.非选择题必须 使用标准黑色字迹签字笔书写,要求字体工整、字迹清楚.作图题用 2B 铅笔作图, 要求线条、图形清晰. 3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答,超出答题区域书写的答案无效,在 试题、草稿纸上答题无效. 4.请保持答题卡卡面清洁,不要装订、不要折叠、不要破损. 一、本大题共 8 小题,每小题 5 分共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项. 1.复数 z ? A.-i C.-2i 2.函数 f ( x) ?

1? i 化简的结果等于 1? i

( B.i D.2i



x ? 3 ? log2 (6 ? x) 的定义域是(



A. {x | x ? 6} C. {x | x ? ?3}

B. {x | ?3 ? x ? 6} D. {x | ?3 ? x ? 6} )

3.在右面的程度框图中,若 x=5,则输出 i 的值是( A.2 B.3 C.4 D.5 4.直线 x ? y ? 2 ? 0截圆x 2 ? y 2 ? 4 所得劣弧所对圆 心角为 A. ( B.

) D.

? 6

? 3

C.

? 2

2? 3

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5.若 0 ? a ? b, 且a ? b ? 1 ,则在下列四个选项中,较大的是 A.

( D.b



1 2

B. a ? b
2

2

C. 2ab

6.奇函数 f ( x)在(??,0) 上单调递增,若 f (?1) ? 0, 则不等式 f ( x) ? 0 的解集是( A. (??,?1) ? (0,1) C. (?1,0) ? (0,1) 7. 若集合 P ? {0,1,2}, Q ? {( x, y) | ? A.3 B.5 B. (??,?1) ? (1,??) D. (?1,0) ? (1,??)



?x ? y ? 1 ? 0 则 ( , x, y ? P} , Q 中元素的个数是 ?x ? y ? 2 ? 0
C.7 D.9 (



8.在 ?ABC , " AB ? AC ? BA? BC"是"| AC | ?| BC |" 的



A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 9.若一个底面是正三角形的棱柱的三视图及其尺寸如下图所示(单位:cm) ,则该几何体 的体积是 cm3.

10.设等比数列 {an } 的公比为 q ?

S 1 , 前 n 项和为 S n , 则 4 = 2 a4

.

11.已知向量 a ? ( x, y),b ? (?1,2),且a ? b ? (1,3),则 | a ? 2b | 等于 12.函数 f ( x) ? ln x 的图象在点 (e, f (e)) 处的切线方程是 .

.

?2 x ( x ? 0) 13.已知函数 f ( x) ? ? , 则f (?8) = ? f ( x ? 3)(x ? 0)

.

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14.已知点 A(1,-1) ,点 B(3,5) ,点 P 是直线 y ? x 上动点,当|PA|+|PB|的值最小时, 点 P 的坐标是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (12 分) 已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x 的图象经过点 ( (I)求实数 a、b 的值; (II)若 x ? [0,

?

,0), ( ,1). 6 3

?

?
2

] ,求函数 f (x) 的最大值及此时 x 的值.

16. (13 分) 如图,在底面是正方形的四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥面 ABCD,BD 交 AC 于点 E, F 是 PC 中点,G 为 AC 上一点. (I)求证:BD⊥FG; (II)确定点 G 在线段 AC 上的位置,使 FG//平面 PBD,并说明理由.

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17. (15 分) 某校高三 (1) 班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度 的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题.

(I)求全班人数及分数在 ?80,90? 之间的频数; (II)估计该班的平均分数,并计算频率分布直方图中 ?80,90? 间的矩形的高; (III)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在抽取的试卷 中,求至少有一份分数在[90,100]之间的概率.

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18. (13 分) 设 f ( x) ? x ?
3

3 (a ? 1) x 2 ? 3ax ? 1. 2

(I)若函数 f (x) 在区间(1,4)内单调递减,求 a 的取值范围; (II)若函数 f ( x)在x ? a 处取得极小值是 1,求 a 的值,并说明在区间(1,4)内函数

f (x) 的单调性.

19. (13 分) 在直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F1 (? 3,0), F2 ( 3,0) 的距离之和是 4,点 M 的 轨迹是 C,直线 l : y ? kx ? 2 与轨迹 C 交于不同的两点 P 和 Q. (I)求轨迹 C 的方程; (II)是否存在常数 k , 使OP ? OQ ? 0 ?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

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20. (14 分) 设集合 W 由满足下列两个条件的数列 {an } 构成: ①

an ? an?2 ? a n ?1 ; 2

②存在实数 M,使 an ? M . (n 为正整数) (I)在只有 5 项的有限数列 {an },{bn } , 其中a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? 3, a4 ? 4, a5 ? 5; 中 试判断数列 {an },{bn } 是否为集合 W 的元素; b1 ? 1, b2 ? 4, b3 ? 5, b4 ? 4, b5 ? 1 ; (II)设 {cn } 是等差数列, S n 是其前 n 项和, c3 ? 4, S n ? 18, 证明数列 {S n } ?W ;并 写出 M 的取值范围; (III)设数列 {d n } ?W , 且对满足条件的常数 M,存在正整数 k,使 d k ? M . 求证: d k ?1 ? d k ?2 ? d k ?3 .

参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) ADCDDABC
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二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9. 24 3 10.15 11.5 12. x ? ey ? 0 13.2 14. (2,2) 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (12 分) 解: (I)∵函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x 的图象经过点 (

?

,0), ( ,1) , 6 3

?

?1 3 b?0 ? a? ?2 2 ?? ? 3 a ? 1b ?1 ? 2 2 ?
解得: a ? 3, b ? 1 (II)由(I)知: f ( x) ?

????4 分

????5 分

3 sin x ? cos x ? 2 sin( x ?

?
6

)

????8 分 ????9 分

? x ? [0, ],? x ? ? [? , ], 2 6 6 3 ?当x ?

?

?

? ?

?

6

?

?

3

, 即x ?

?

2

时, ????12 分

f (x) 取得最大值 3.
16. (13 分) 证明: (I)? PA ? 面 ABCD,四边形 ABCD 是正方形, 其对角线 BD,AC 交于点 E, ∴PA⊥BD,AC⊥BD. ∴BD⊥平面 APC, ? FG ? 平面 PAC, ∴BD⊥FG (II)当 G 为 EC 中点,即 AG ? FG//平面 PBD,

????7 分

3 AC 时, 4
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????9 分

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理由如下: 连接 PE,由 F 为 PC 中点,G 为 EC 中点,知 FG//PE, 而 FG ? 平面 PBD,PB ? 平面 PBD, 故 FG//平面 PBD. ????13 分 17. (15 分) 解: (I)由茎叶图知,分数在 ?50,60? 之间的频数为 2,频率为 0.008? 10 ? 0.08, 全班人数为

2 ? 25 . 0.08

????3 分 ????5 分

所以分数在 ?80,90? 之间的频数为 25 ? 2 ? 7 ? 10 ? 2 ? 4 (II)分数在 ?50,60? 之间的总分为 56+58=114; 分数在 ?60,70? 之间的总分为 60×7+2+3+3+5+6+8+9=456;

分数在 ?70,80? 之间的总分数为 70×10+1+2+3+3+4+5+6+7+8+9=747; 分数在 ?80,90? 之间的总分约为 85×4=340; 分数在 [90,100] 之间的总分数为 95+98=193; 所以,该班的平均分数为

114 ? 456 ? 747 ? 340 ? 193 ? 74. ????8 分 25

估计平均分时,以下解法也给分: 分数在 ?50,60? 之间的频率为 2/25=0.08; 分数在 ?60,70? 之间的频率为 7/25=0.28; 分数在 ?70,80? 之间的频率为 10/25=0.40; 分数在 ?80,90? 之间的频率为 4/25=0.16 分数在 [90,100] 之间的频率为 2/25=0.08; 所以,该班的平均分约为

55 ? 0.08 ? 65 ? 0.28 ? 75 ? 0.40 ? 85 ? 0.16 ? 95 ? 0.08 ? 73.8 4 ? 10 ? 0.016 . ????10 分 频率分布直方图中 ?80,90? 间的矩形的高为 25
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(III)将 ?80,90? 之间的 4 个分数编号为 1,2,3,4,[90,100]之间的 2 个分数编号为 5,6,在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为: (1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6) , , , , (2,3)(2,4)(2,5)(2,6) , , , , (3,4)(3,5)(3,6) , , (4,5)(4,6) , (5,6)共 15 个, 其中,至少有一个在[90,100]之间的基本事件有 9 个, 故至少有一份分数在[90,1000]之间的频率是

????12 分 ????14 分 ????15 分 ????2 分

9 ? 0 .6 15

18.解: f ' ( x) ? 3x 2 ? 3(a ? 1) x ? 3a ? 3( x ? 1)(x ? a) (1)?函数f (x)在区间(1,4)内单调递减,

? f ' (4) ? 0,? a ? ?4,???.
(2)?函数f ( x)在x ? a 处有极值是 1,

????5 分

? f (a) ? 1,
即a ?
3

3 1 3 (a ? 1)a 2 ? 3a 2 ? 1 ? a 3 ? a 2 ? 1 ? 1, 2 2 2
????8 分

? a 2 (a ? 3) ? 0, 所以 a=0 或 3.
当 a=0 时,f(x)在 (??,0) 上单调递增, 在(0,1)上单调递减,所以 f(0)为极大值, 这与函数 f(x)在 x=a 处取得极小值是 1 矛盾, 所以 a ? 0

????10 分

当 a=3 时,f(x)在(1,3)上单调递减,在 (3,??) 上单调递增, 所以 f(3)为极小值, 所以 a=3 时,此时,在区间(1,4)内函数 f(x)的单调性是: f(x)在(1,3)内减,在 ?3,4? 内增. 19. (13 分) ????13 分

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解: (1)?点M到(? 3,0), ( 3,0) 的距离之和是 4,

? M 的轨迹 C 是长轴为 4,焦点在 x 轴上焦距为 2 3 的椭圆,
其方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

????4 分

(2)将 y ? kx ? 2 ,代入曲线 C 的方程, 整理得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8 2kx ? 4 ? 0 ① ????6 分 设 P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 ), 由方程①,得

x1 ? x2 ? ?

8 2k 4 , x1 x2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2



????8 分

又 y1 ? y2 ? (kx1 ? 2 )(kx2 ? 2 ) ? k 2 x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 2. 若 OP ?OQ ? 0, 得 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0, 将②、③代入上式, 解得 k ? ? ????10 分



6 . 2

????12 分

又因 k 的取值应满足 ? ? 0, 即 4k ? 1 ? 0 (*) ,
2

将k ? ?

6 代入(*)式知符合题意 2

????13 分

20. (14 分) 解: (I)对于数列 {an } ,当 n=1 时,
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a1 ? a3 ? 2 ? a 2 , 显然不满足集合 W 的条件,① 2
故 {an } 不是集合 W 中的元素, 对于数列 {bn } ,当 n ? {1,2,3,4,5} 时, 不仅有 ????2 分

b1 ? b3 b ? b4 ? 3 ? b2 , 2 ? 4 ? b3 , 2 2

b3 ? b3 ? 3 ? b4 , 而且有 bn ? 5 , 2
显然满足集合 W 的条件①②, 故 {bn } 是集合 W 中的元素. (II)?{cn } 是等差数列, S n 是其前 n 项和, ????4 分

c3 ? 4, S3 ? 18, 设其公差为 d,
? c3 ? 2d ? c3 ? d ? c3 ? 18.
? d ? ?2

? cn ? c3 ? (n ? 3)d ? ?2n ? 10, S n ? ?n 2 ? 9n
? S n ? S n?2 ? S n ?1 ? ?1 ? 0, 2 S n ? S n?2 ? S n ?1 ; 2

????7 分

?

9 81 ? S n ? (n ? ) 2 ? , 2 4

? S n 的最大值是 S 4 ? S 5 ? 20,
即 S n ? S 4 ? 20.

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?{S n } ?W ,且 M 的取值范围是 ?20,???
(III)证明:? {d n } ? W ,?

????9 分

d k ? d k ?2 ? d k ?1 , 2

整理 d k ?2 ? d k ?1 ? (d k ?1 ? d k ) ? d k ?1 ? (d k ?1 ? M ) ,

? d k ? M ,? d k ?1 ? M ,? d k ?2 ? d k ?1 ;
又?

d k ?1 ? d k ?3 ? d k ? 2 ,? d k ?3 ? d k ? 2 ? (d k ? 2 ? d k ?1 ) ? d k ? 2 , 2
????14 分

? d k ?1 ? d k ?2 ? d k ?3 .

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