安徽省无为严桥中学08-09年高一第一学期数学竞赛

安徽高中数学

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安徽省无为严桥中学 08-09 年高一第一学期学科竞赛 数学试题
(时间:120 分钟, 满分 150 分) 一,选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1,集合{0,1,2,2006}的非空真子集的个数是 A 16 B 15
0

(

)

C

14

D 13

2.已知 α = sin 2005 ,则 α 是第 A,一 B,二

象限角. C,三 D,四

(

)

3,设 U=Z,M= {x x = 2k , k ∈ z} ,N= {x x = 2k ± 1, k ∈ z} ,P= {x x = 4k ± 1, k ∈ z} ,则下列 结论不正确的是 A ( B )

CU M = N

CU P = M

C M ∩N =

D

N∪P= N
( )

4,函数 y = 21 x 的图象是

5,函数 f ( x ) = a + log a x在[1, 2] 上的最大值和最小值之差为 a 2 a + 1 ,
x

则的 a 值为 A 2或

(

)

1 2

B

2或4

C

1 或4 2

D 2

6.当 x ∈ 0,

π 时,下面四个函数中最大的是 4
B. sin(sin x ) C. cos(sin x ) D. cos(cos x )

(

)

A. sin(cos x )

7.已知四边形 ABCD 在映射 f : ( x, y ) → ( x 1, y + 2) 作用下的象集为四边形 A′B ′C ′D ′ .四边 形 ABCD 的面积等于 6,则四边形 A′B ′C ′D ′ 的面积等于 A.9
2 x

( D.6 (

)

B. 6 2

C. 4 3

8, 方程x = 2 的解的个数为
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)

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A.0
9.若 F( A

B.1

C.2

D.3
( ).

1 x )=x 则下列等式正确的是 1+ x
B F(-x)=

F(-2-x)=-1-F(x) F(x-1)=F(x)
2

1+ x 1 x

C

D F(F(x) )=-x

10.函数 f ( x ) = log a ( ax + 3 x + 2a 1) 对于任意 x ∈ (0,1] 恒有意义,则实数 a 的取值范围 ( ) B a≥

A a > 0且a ≠1

1 且a ≠1 2

C

a>

1 且 a ≠1 2

D a >1

二,填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 11. 已知全集 U= ( x, y ) x ∈ R, y ∈ R , 集合 M= ( x, y ) x + y = 2 , 集合 N= ( x, y )

{

}

{

}



y 1 = 1 , x 1

则集合 M ∩ (

C

U

N) =

.

12,已知函数 f ( x) =

x( x ≥ 0) ,奇函数 g ( x) 在 x = 0 处有定义,且 x < 0 时, x( x < 0)
.

g ( x) = x(1 + x) ,则方程 f ( x) + g ( x) = 1 的解是

13.一名模型赛车手遥控一辆赛车. 先前进 1 米, 然后原地逆时针方向旋转角 α (0 < α < 1800 ) , 被称为一次操作.若五次操作后赛车回到出发点,则角 α = 14,若 x= 7
lg 20

1 , y = ( ) lg 0.7 ,则 xy 的值为 2

.

如果用 "二分法" 15 已知图象连续不断的函数 y = f ( x) 在区间 ( a, b ) (b a = 0.1) 上有唯一零点, 求这个零点(精确到 0.0001)的近似值,那么将区间 ( a, b ) 等分的次数至多是 16.已知函数 f ( x) = 数为 . .

cos π x 2 e
x2

3 < x < 0 , f (2) + f ( a ) = 2 , 若 则实数 a 组成的集合的元素个 x>0

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严桥中学 08-09 年高一第学期学科竞赛 数学试题
一:选择题(每小题 5 分,共计 60 分) 题 号 答 案 二:填空题(每小题 4 分,共计 16 分) 11. ; 12. 13. 15. ; ; 14. 16. ; ; ; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

三:解答题(本题共 5 小题,每小题 14 分,共 70 分. ) 17,甲,乙两人到物价商店购买商品,商品里每件商品的单价只有 8 元和 9 元两种.已知两人购 买商品的件数相同,且两人购买商品一共花费了 172 元,求两人共购买了两种商品各几件?

18.设函数 f ( x ) 的定义域是 (0, +∞ ) ,且对任意 y ∈ R 都有

f ( xt ) = tf ( x) .

若对常数 m ∈ (0,1) , f (m) < 0 ,判断 f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上的单调性;

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19 已知二次函数 y= x +2(a-2)x+4,如果对 x [-3,1],y>0 成立,求 a 的取值范围.

2

20.f(n)定义在 N 上,f(n)的取值为整数,且是单调递增的,当 m 与 n 互质时,有 f(mn)=f(m)f(n), 若 f(19)=19,求 f(f(19)f(98))的值.

21.使函数 f ( x) = (a x) x 3a 在 ( ∞, b ] 上取得最小值 ( 4a + 3) 的 x 的值有且只有两个, 求实数 a,b 的值

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参考答案 一,1C 2D 3B4C 5A 6C 7D 8D9B10B 二,11, (1,1)} ;12.x=1 或-1;13. 72 或 144
0

{

0

14.

14; 15.10

16. 5

三,17.解:设每人购买了 n 件商品,两人共购买了单价为 8 元的 x 件,单价为 9 元的有 y 件.则

x + y = 2 n, 8 x + 9 y = 172.
因为 x ≥ 0, y ≥ 0 ,所以 9 所以整数 n = 10 . 故

解之,得

x = 18n 172, y = 172 16n.

5 3 ≤ n ≤ 10 . 9 4

x = 8, y = 12.
s t

18. 解:(1)对任意 0 < x1 < x2 ,由 m ∈ (0,1) ,存在 s, t 使得 x1 = m , x2 = m 且 s > t ,

f ( x1 ) f ( x2 ) = ( s t ) f (m) 又∵ s t > 0, f (m) < 0 , ∴ f ( x1 ) f ( x2 ) < 0 , f ( x) 在 (0, +∞) 上是增函数.

19,解: (1)当-3 ≤ 2-a ≤ 1 即 1 ≤ a ≤ 5 时 ,(2-a) 2 +2(a-2)(2-a)+4>0, 得 a 2 4 a <0.

所以 0<a<4,结合 1 ≤ a ≤ 5 得 1 ≤ a<4. (2)当 2-a<-3 即 a>5 时,x=-3 时,y 的值最小. 25 ,结合 a>5 知 a 无解 所以(-3) 2 +2(a-2)(-3)+4>0, 得 a< 6 (3)当 2-a>1 即 a<1 时,当 x=1 时,y 的值最小,所以 12 +2(a-2)×1+4>0,得 a>结合 a<1 得{a|1 <a<1.取(1)(2)(3)中 a 的取值集合的并集,得 a 的取值范围是 2 1 , 2

1 <a<4}. 2
f(19)≠0 ∴f(1)<f(2)<…<f(19) ∴f(n)=n (1≤n≤19,n∈N) f(99)=f(9×11)=f(9)f(11)=9×11=99 ∴f(1)=1

20.解:∵f(19)=f(1×19)=f(1)f(19)

∵f(n)是严格单调递增的 ∵f(1)=1 f(19)=19 f(n)∈Z

∵f(95)=f(5×19)=f(5)f(19)=5×19=95 ∴f(96)=96 f(97)=97 f(98)=98

∴f(f(19)f(98))=f(19)f(98)=19×98=1862
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2 2 ( x 2 a ) + a 21. f ( x ) = ( a x ) x 3a = ( x 2a ) 2 a 2

( x ≥ 3a ) ( x < 3a )

由题意,显然 a ≠ 0

在( ∞, b ]上取得两个最小值, 则有b = a, 且 4a + 3 = 0, 即a = 3 , 与a < 0矛盾 4

(1)若a < 0, f ( x)的图象如右, 要使f ( x)

4

(2)若a > 0, f ( x)的图象如右,由题意, 则b > 3a, 且 a 2 = 4a + 3, 即a = 1或a = 3 当a = 1时, 有x 4 x + 2 = 0,
2

2

a
O

3a 2a
5

x1 = 2 2 (舍去), x 2 = 2 + 2 当a = 3时, 有x1 = 6 3 2 (舍去), x 2 = 6 + 3 2

-2

-4

故满足条件的a, b值为 : a = 1, b = 2 + 2或a = 3, b = 6 + 3 2

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