湖北省宜昌市葛洲坝中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题文

宜昌市葛洲坝中学 2014-2015 学年第二学期高二年级期中考试试卷 数学(文) 试题

第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.

1.已知复数 z=2-i,则 z ? z 的值为( ).

A.5

B. 5

C.3

D. 3

2.已知 a = p- 2 , b = ln 1 , c = ln p ,则 p

A. a ? b ? c B. a ? c ? b

C. c ? b ? a

r

r

rr

3.已知向量 a = (2,4), b = (- 1,1) ,则 2a - b =

D. c ? a ? b

A. ?5,7?

B. ?5,9?

C. ?3,7?

D. ?3,9?

4.有下列关于三角函数的命题

P1

: ?x ? R,

x

?

k?

?

? 2

(k

? Z)

,若

sin

2x

?

0 ,则

tan

x

?

0



P2

:函数y

?

sin(x

?

3? 2

)

与函数

y ? cos x

的图象相同;

P4 :函数y ?| cos x | (x ? R) 的最小正周期为 2? .其中真命题是

A. P1 , P4 B. P2 , P4 C. P2 , P3 D. P1 , P2

P3 : ?x0 ? R, 2cos x0 ? 3 ;

5 . 三 棱 锥 A- BCD 的 顶 点 坐 标 依 次 为 (2, 0, 0), (1, 2, 0), (0, 2, 2), (2, 2, 2) , 则 三 棱 锥

A- BCD 的体积为

A. 4

B. 4 3

C. 8 3

D. 8

6.某单位为了了解办公楼用电量 y(度)与气温 x(oC)之间的关系,随机统计了四个工作日的用

电量与当天平均气温,并制作了对照表:

气温(oC)

18 13 10 -1

用电量(度) 24 34 38 64 由表中数据得到线性回归方程 y? ? ?2x ? a ,当气温为-4 oC 时,预测用电量约为

A. 68 度

B.52 度

C.12 度

D.28 度

7.从半径为 r 的圆内接正方形的 4 个顶点及圆心 5 个点中任取 2 个点,则这两个点间的距离 小于或等于半径的概率为

-1-

A. 1 5

B. 2 5

C. 3 5

D. 4 5

8.已知平面直角坐标系 xoy 上的区域

D

由不等式 ì????í?????

0 #x 2x 2

#y

2

给定,若 M (x, y) 为
2

D 上任

uuur uur 一点,点 A 的坐标为 ( 2, 1) ,则 z = OM ?OA 的最大值为

A.3

B.4

C. 3 2

D. 4 2

9.已知圆 C : ? x ? 3?2 ? ? y ? 4?2 ?1和两点 A??m,0? ,B?m,0? ?m ? 0? ,若圆 C 上存在点 P ,

使得 ?APB ? 90 ,则 m 的最大值为

A. 7

B. 6

C. 5

D. 4

10.函数 f (x) ? x cos x2 在区间[0,3]上的零点的个数为

A.2

B.3

C.4

D.5

11.过双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a

? 0, b

? 0)

的左焦点 F(?c,0) (c

? 0)

作圆 x2

?

y2

?

a2 4

的切线,切点

为 E,延长 FE 交双曲线右支于点 P,若 E 为线段 PF 的中点,则双曲线的离心率等于

A. 10

B. 10 5

C. 10 2

D. 2

12. 设函数 f (x) ? 2 | x ?1| ?x ?1 , g(x) ? 16x2 ? 8x ?1,若 f (x) ? 1 的解集为 M, g(x) ? 4 的解

集为 N,当 x ? M I N 时,则函数 F(x) ? x2 f (x) ? x[ f (x)]2 的最大值是

A.0

B. ? 5 16

C. 4 9

D. 1 4

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了
其中 60 株树木的底部周长(单位:cm),所得
数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图
如图所示,则在抽测的 60 株树木中,有 ▲
株树木的底部周长小于 100cm.

14.设{an} 为等比数列,其中 a4 ? 2 , a5 ? 5 ,阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序, 则输出结果为 ▲ .

开始 s ? 0,n ?1 s ? s ? lg an n ? n ?1



n ? 9?

输出 s



结束 -2-

15.在 ?ABC 中, A ? ? , AC ? 2 , BC ? 3 ,则 AB ? ▲ . 3

16. 设? 是一个平面, ? 是平面 ? 上的一个图形,若在平面 ? 上存在一个定点 A 和一个定角

? (? ?(0, 2? ) ,使得 ? 上的任意一点以 A 为中心顺时针(或逆时针)旋转角? ,所得到的

图形与原图形 ? 重合,则称定点 A 为对称中心,? 为旋转角,? 为旋转对称图形.若以下

4 个图形,从左至右依次是正三角形、正方形、正五边形、正六边形,它们都是旋转对称

图形,则它们的最小旋转角依次为



;若 ? 是一个正 n 边形,则其最小旋

转角用 n 可以表示为 ▲ .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本题满分 12 分)已知?an? 是等差数列,满足 a1 ? 3 , a4 ? 12 ,数列?bn? 满足 b1 ? 4 , b4 ? 20 ,且?bn ? an? 是等比数列. (1)求数列?an? 和?bn? 的通项公式; (2)求数列?bn? 的前 n 项和.

18. (本题满分 12 分)某车间 20 名工人年龄数据如右表:

(1)求这 20 名工人年龄的众数与极差;

年龄(岁)

(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这 20 名工人年

19

龄的茎叶图;

28

(3)求这 20 名工人年龄的方差.

29

30

31

32

19.(本题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1

40 合计

中,侧棱垂直于底面,AB ? BC ,AA1 ? AC ? 2 ,E 、

F 分别为 A1C1 、 BC 的中点.

A1

(1)求证:平面 ABE ? 平面 B1BCC1 ;

(2)求证: C1F // 平面 ABE ;

(3)求三棱锥 E ? ABC 的体积.

A

20.(本题满分 12 分) 已知函数 f(x)=xlnx.

工人数(人) 1 3 3 5 4 3 1 20

E

C1

B1

C F B
-3-

(1)求 f(x)的最小值; (2)若对所有 x≥1 都有 f(x)≥ax-1 成立,求实数 a 的取值范围.

21.(本题满分

12

分)如图,O

为坐标原点,双曲线

C1:

x2 a12

? y2 b12

? 1(a1>0,b1>0)和椭圆

C2:

y2 a22

x2 ?
b22

?1

(a2>b2>0)均过点

P

? ???

2

3

3

? ,1???

,且以

C1 的两个

顶点和 C2 的两个焦点为顶点的四边形是面积为 2 的正方形. (1)求 C1,C2 的方程; (2)是否存在直线 l,使得 l 与 C1 交于 A,B 两点,与 C2 只有一个公
uur uuur uuur 共点,且 OA + OB = AB ?证明你的结论.

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请写清 题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上且 EB=2AE,
AC 与 DE 交于点 F,求 ?CDF的周长 ?AEF的周长
23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,曲线 C1 与 C2 的方程分别为 2ρ cos2θ =sin θ 与 ρ cos θ =1.以极点为
平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,求曲线 C1 与 C2 交点的 直角坐标.
24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲
设函数 f (x) ?| x ? 4 | +|x ? a|(a>0) . a
(1)证明:f(x)≥4; (2)若 f(3)<5,求 a 的取值范围.

-4-

宜昌市葛洲坝中学 2014-2015 学年第二学期

高二年级期中考试试卷 数学(文) 答案

命题人:胡安林

审核人: 第Ⅰ卷

考试时间:2015 年 4 月

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合

题目要求的.

1.A 2.D 3.A 4.D

5.B 6.A 7.B 8.B

9. B 10.C 11.C 12.D

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

13.24

14. 4

15.1

16. 2? ,? ,2? ,? ; 2? (说明前一个空 2 分,后一个空 3 分) 3253 n

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本题满分 12 分)已知?an? 是等差数列,…….

解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,由题意得 d ? a4 ? a1 ? 12 ? 3 ? 3.

3

3

所以 an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).……………………………………………………2



设等比数列{bn-an}的公比为 q,由题意得 q3 ? b4 ? a4 ? 20 ?12 ? 8 , b1 ? a1 4 ? 3
解得 q=2. ……………………………………………………3 分 所以 bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1. 从而 bn=3n+2n-1(n=1,2,…).……………………………………………………6 分 (2)由(1)知 bn=3n+2n-1(n=1,2,…).

数列{3n}的前 n 项和为 3 n(n ?1) ,数列{2n-1}的前 n 项和为1? 1? 2n ? 2n ?1 .

2

1? 2

所以,数列{bn}的前 n 项和为 3 n(n+1)+2n ?1.……………………………………………12 2


18. (本题满分 12 分)某车间 20 名工人年龄数据如右表:……

(1)由图可知,众数为 30.极差为:40-19=21. …………………………………………3



(2)

1

9

2

888999

3 000001111222

4

0

……………………………………………………6 分

(3)根据表格可得:

-5-

x ? 19+28?3+29?3+30?5+31? 4+32?3+40 ? 30 ,……………………………………… 20
9分
∴s2= 1 [(19-30)2+3(28-30)2+3(29-30)2+5(30-30)2+4(31-30)2+3(32-30)2 20
+(41-30)2]=13.65. ……………………………………………………12 分

19.(本题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,……

(1)证明:在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BB1⊥底面 ABC.所以 BB1⊥AB. 又因为 AB⊥BC, 所以 AB⊥平面 B1BCC1. 所以平面 ABE⊥平面 B1BCC1. ……………………………………………………4 分 (2)证明:取 AB 的中点 G,连接 EG,FG. 因为 E,F 分别是 A1C1,BC 的中点,
所以 FG∥AC,且 FG ? 1 AC . 2
因为 AC∥A1C1,且 AC=A1C1, 所以 FG∥EC1,且 FG=EC1. 所以四边形 FGEC1 为平行四边形. 所以 C1F∥EG. 又因为 EG? 平面 ABE,C1F?平面 ABE, 所以 C1F∥平面 ABE. ……………………………………………………8 分 (3)解:因为 AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,

所以 AB ? AC2 ? BC2 ? 3 .

所以三棱锥

E-ABC

的体积V

?

1 3

S?ABC

?

AA1

?

1? 3

1? 2

3 ?1? 2 ?

3. 3

……………………………………………………12 分

20.(本题满分 12 分) 已知函数 f(x)=xlnx. (1)求…… 解:(1)定义域为 x ? 0 ……………………………………………………1 分
f '(x) ? 1? ln x ? 0 ? x ? 1 ……………………………………………………3 分 e
f '(x) ? 0 ? x ? 1 ; e
f (x) 有极小值也是最小值为 f (1) ? ? 1 ……………………………………………………6 分 ee
(2) ?x ? 1, x ln x ? ax ?1 ? 0 a ? ln x ? 1 ……………………………………………………8 分
x 令 g(x) ? ln x ? 1 (x ? 1)
x

-6-

g '(x)

?

x ?1 x2

?

0 ,所以函数

g(x)

单调递增, g(x)

有最小值 g(1)

?1

……………………………………………………11 分

a ?1 ……………………………………………………12 分

21.(本题满分 12 分)如图,O 为坐标…… 解:(1)设 C2 的焦距为 2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2.从而 a1=1,c2=1.

因为点

P

? ???

2

3 3

? ,1???

在双曲线 x2

?

y2 b12

? 1 上,

所以 ( 2 3 )2 3

?

1 b12

? 1 .故 b12

? 3 .……………………………………………………3 分

由椭圆的定义知 2a2 ?

(2 3 )2 ? (1?1)2 ? 3

( 2 3 )2 ? (1?1)2 ? 2 3 . 3

于是 a2 ? 3 , b22 ? a22 ? c22 ? 2 .

故 C1,C2 的方程分别为 x2 ? y2 ? 1, y2 ? x2 ? 1 .……………………………………6 分

3

32

(2)不存在符合题设条件的直线.

①若直线 l 垂直于 x 轴,因为 l 与 C2 只有一个公共点,所以直线 l 的方程为 x ? 2 或 x?? 2.

当 x ? 2 时,易知 A( 2, 3) , B( 2, ? 3) ,

所以| OA ? OB |? 2 2 ,| AB |? 2 3 .

此时,| OA ? OB |?| AB | .

当 x ? ? 2 时,同理可知,| OA ? OB |?| AB | ..……………………………………8 分 ②若直线 l 不垂直于 x 轴,设 l 的方程为 y=kx+m.

? y ? kx ? m,



? ? ??

x2

?

y2 3

得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0. ?1

当 l 与 C1 相交于 A,B 两点时,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是上述方程的两个实根,

从而

x1 +x2

?

2km 3?k2



x1 x2

?

m2 k2

?3 ?3

.

于是

y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=

3k 2 ? 3m2 k2 ?3

.

? y ? kx ? m,



? ?

y

2

?? 3

?

x2 2

得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0. ?1

因为直线 l 与 C2 只有一个公共点,所以上述方程的判别式 Δ =16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)

=0.

化简,得 2k2=m2-3,因此 OA? OB ?

x1x2 +y1 y2

?

m2 k2

? ?

3 3

?

3k 2 k

? 3m2 2 ?3

?

?k2 ? 3 k2 ?3

? 0,

于是 OA2 ? OB2 ? 2OA?OB ? OA2 ? OB2 ? 2OA?OB ,

-7-

即|OA ? OB|2 ?|OA ? OB|2 ,故|OA ? OB| ? AB .
综合①,②可知,不存在符合题设条件的直线..……………………………………12 分

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上且 EB=2AE,
AC 与 DE 交于点 F,求 ?CDF的周长 ?AEF的周长

答案:3.……………………………………10 分 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,曲线 C1 与 C2 的方程分别为 2ρ cos2θ =sin θ 与 ρ cos θ =1.以极点为 平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,求曲线 C1 与 C2 交点的
直角坐标.

答案: (1, 2) .……………………………………10 分

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲

设函数 f (x) ?| x ? 4 | +|x ? a|(a>0) . a
(1)证明:f(x)≥4;
(2)若 f(3)<5,求 a 的取值范围.

解:(1)由 a>0,有 f (x) ? |x ? 4 |+|x ? a| ?| x ? 4 ? (x ? a) |? 4 ? a ? 4 .

a

a

a

所以 f(x)≥4. ……………………………………4 分

(2) f ?3?=| 3 ? 4 | + | 3-a | .
a
当 a ? 3时, f ?3?=a ? 4 ,
a 由 f(3)<5 得 3 ? a ? 4 .……………………………………7 分
当 0<a<3 时,f(3)=6-a+ 4 , a

由 f(3)<5 得 1? 17 ? a ? 3 . 2

综上,a

的取值范围是

? ???

1?

2

17

,

4

? ???

.……………………………………10



-8-


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