SL高中数学必修4系列练习题(7)三角恒等变换(精编&详细答案)

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高中数学必修 4 系列练习题(7)三角恒等变换

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??? 高中数学必修 4 系列练习题(七)三角恒等变换
?? 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 π ? 3 ? π? 1.已知 α∈? ) ?2,π?,sin α=5,则 tan ?α+4?=(
1 A. 7 B.7 1 C.- 7 D.-7 )

2.若 sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=0,则 sin(α+2β)+sin(α-2β)等于( A.1 B.-1 C.0 D.± 1

3.sin(θ+75° )+cos(θ+45° )- 3cos(θ+15° )等于( A.± 1 B.1 C.-1 D.0

)

cos 15° -sin 15° 4. =________. cos 15° +sin 15°

5.已知 α 为锐角,且 tan(α+β)=3,tan(α-β)=2,则角 α 等于________.

6.求 tan 70° cos 10° + 3sin 10° tan 70° -2cos 40° 的值.

?? 3.1

3.1.3

二倍角的正弦、余弦、正切公式
)

π π 3 7 1.(2012· 山东高考)若 θ∈[ , ],sin 2θ= ,则 sin θ=( 4 2 8 3 4 7 3 A. B. C. D. 5 5 4 4 2. 1+sin 100° - 1-sin 100° =( A.-2cos 50° B.2cos 50° ) C.-2sin 50°

D.2sin 50°

3π ? 3 3.若 sin? ? 2 -x?=5,则 cos 2x 的值为( 7 14 16 A.- B. C.- 25 25 25

) 19 D. 25

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高中数学必修 4 系列练习题(7)三角恒等变换

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π 4.已知 tan x=2,则 tan 2(x- )=________. 4

1-cos 2α π 5.若 tan(α+ )=3+2 2,则 =________. 4 sin 2α 2cos2α-1 6.化简 . π π 2tan? -α?sin2? +α? 4 4

?? 3.2

简单的三角恒等变换
α =( 2 C.2 ) D.2 或不存在

1.已知 2sin α=1+cos α,则 tan 1 A. 2 1 B. 或不存在 2

2.函数 y=cos4x-sin4x+2 的最小正周期是( A.π B.2π π C. 2 π D. 4

)

24 α 3.已知 α 是第三象限角,且 sin α=- ,则 tan 等于( 25 2 4 A. 3 3 B. 4 C.- 4 3 3 D.- 4

)

π x 4.函数 y=2cos2( - )(x∈[0,2π])的递减区间是________. 4 2 θ θ 5.若 sin -2cos =0,则 tan θ=________. 2 2

6.求

1+cos20° 1 -sin 10° ( -tan 5° )的值. tan 5° 2 2sin 10°

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?? 3.1.2

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

3 π 4 3 1.A;解:由于 sin α= ,且 α∈( ,π),则 cos α=- ,∴tan α=- . 5 2 5 4 π tan α+1 1 ∴tan(α+ )= = . 4 1-tan α 7 2.C; 解:∵sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=sin(α+β-β)=sin α=0,∴sin(α+2β)+sin(α-2β) =sin αcos 2β+cos αsin 2β+sin αcos 2β-cos αsin 2β=2sin αcos 2β=0. 3.D;解:原式=sin[60°+(θ+15°)]+cos(θ+45° )- 3cos(θ+15° ) =- 3 1 cos(θ+15° )+ sin(θ+15° )+cos(θ+45° ) 2 2

=sin(θ+15° )cos 60° -cos(θ+15° )sin 60° +cos(θ+45° ) =sin(θ-45° )+cos(θ+45° )=0. 4. 1-tan 15° tan 45° -tan 15° 3 3 ;解:原式= = =tan(45° -15° )=tan 30° = . 3 3 1+tan 15° 1+tan 45° tan 15°

tan?α+β?+tan?α-β? 3+2 3π 5. ;解:∵tan 2α=tan [(α+β)+(α-β)]= = =-1, 8 1-tan?α+β?tan?α-β? 1-3×2 π π kπ π π 3π ∴2α=- +kπ(k∈Z),∴α=- + (k∈Z).又∵α 为锐角,∴α= - = . 4 8 2 2 8 8 6.解:原式=tan 70° (cos 10° + 3sin 10° )-2cos 40° 3 ?1cos 10° ? =2tan 70° + sin 10° -2cos 40° 2 ?2 ? =2tan 70° (sin 30° cos 10° +cos 30° ·sin 10° )-2cos 40° =2tan 70° sin(30° +10° )-2cos 40° sin 70° ? · sin 40° -cos 40° =2? ?cos 70° ? sin 70° sin 40° -cos 70° cos 40° =2· cos 70° -cos?70° +40° ? =2· cos 70° -cos 110° =2· =2. cos 70°

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?? 3.1 3.1.3

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二倍角的正弦、余弦、正切公式

π π π 1.D;解:因为 θ∈[ , ],所以 2θ∈[ ,π],所以 cos 2θ<0, 4 2 2 1 1 所以 cos 2θ=- 1-sin22θ=- .又 cos 2θ=1-2sin2θ=- , 8 8 9 3 所以 sin2θ= ,所以 sin θ= . 16 4 2.B;解:原式= sin250° +2sin 50° cos 50° +cos250° - sin250° -2sin 50° cos 50° +cos250° =sin 50° +cos 50° -sin 50° +cos 50° =2cos 50° . 3π ? 3 3 9 7 2 3.A;解:∵sin? ? 2 -x?=-cos x=5,∴cos x=-5 ,∴cos 2x=2cos x-1=2×25-1=-25. 3 2tan x 4 4. ;解:∵tan x=2,∴tan 2x= =- . 4 3 1-tan2x π sin?2x- ? 2 -cos 2x π π 1 3 tan 2(x- )=tan(2x- )= = =- = . 4 2 π sin 2x tan 2x 4 cos?2x- ? 2 5. 2 π 1+tan α 2 ;解:由 tan(α+ )= =3+2 2,得 tan α= , 2 4 1-tan α 2 1-cos 2α 2sin2α 2 = =tan α= . sin 2α 2sin αcos α 2 2cos2α-1 2cos2α-1 2cos2α-1 cos 2α = = = =1. π π π cos 2α cos 2α 2sin? -α? 2sin? -α?· cos? -α? 4 4 4 π · cos2? -α? π 4 cos? -α? 4



6.解:原式=

?? 3.2

简单的三角恒等变换

α α α 1.B;解析:由 2sin α=1+cos α,即 4sin cos =2cos2 , 2 2 2 α α α α 1 当 cos =0 时,tan 不存在,当 cos ≠0 时,tan = . 2 2 2 2 2 2.A;解:cos4x-sin4x+2=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)+2=cos2x-sin2x+2=cos 2x+2. ∴T=π. 24 3.C;解:α 为第三象限角,且 sin α=- , 25

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α α 7 sin 2sin2 1+ 2 2 25 1-cos α 7 α 4 则 cos α=- ,tan = = = = =- . 25 2 α α α sin α 24 3 cos 2sin cos - 2 2 2 25 π 3π π x π π 3π 4.[ , ];解:y=2cos2( - )=1+cos( -x)=1+sin x,∴递减区间为[ , ]. 2 2 4 2 2 2 2 4 θ θ θ 5.- ;解:由 sin -2cos =0,得 tan =2,则 tan θ= 3 2 2 2 θ 2 4 =- . θ 3 1-tan2 2 2tan

cos25° -sin25° cos 10° 2sin 10° cos 10° cos 10° 6.解:原式= -sin 10° × = - 2sin 10° sin 5° cos 5° 2sin 10° sin 10° = = cos 10° -4sin 10° cos 10° cos 10° -2sin 20° = 2sin 10° 2sin 10° cos 10° -2sin?30° -10° ? 3sin 10° 3 = = . 2sin 10° 2sin 10° 2


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