配套K12高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.3“杨辉三角”与二项式系数的性质课堂导学案新

小学+初中+高中+努力=大学

1.3.3“杨辉三角”与二项式系数的性质

课堂导学 三点剖析 一、增减性与最值问题 【例 1】 在(1+2x)10 的展开式中,(1)求系数最大的项;(2)若 x=2.5,则第几项的值最 大?

解析:(1)设第 r+1 项的系数最大,由通项公式 Tr+1= C1r0 ·2rxr,依题意 Tr+1 项的系数不小于

Tr 项及 Tr+2 项的系数,

即 ?????CC11rr00

? 2r ? 2r

?

C r?1 10

?

2 r ?1

?

C r?1 10

?

2 r ?1

,解得

?2(11 ??r ?1

? ?

r) ? r 2(10 ?

r)

.

∴ 19 ≤r≤ 22

3

3

且 r∈Z,∴r=7,故系数最大项为 T8= C170 27x7=15

360x7.

(2)设展开式中的第 r+1 项的值最大,则 Tr+1≥Tr>0,Tr+1≥Tr+2>0,

∴ Tr?1 ? 1, Tr?2 ? 1,

Tr

Tr ?1



? ? ? ? ?

C1r0 C r?1
10
C r?1 10

(2x)r (2 x) r ?1 (2 x) r ?1

?? C1r0 (2x)r

? 11? r ? 2x ? 1 r
.
? 10 ? r ? 2x ? 1 r ?1



x=2.5

代入得

?5(11 ? r) ?? r ??5(10 ? r) ?? r ? 1

? ?

1
,得
1

49 6

≤r≤

55 6

.

∴r=9,即展开式中的第 10 项的值最大.

二、“二项式系数和”、“系数和”问题

【例 2】 已知(1-3x)8=a0+a1x+…+a7x7+a8x8.

求(1)a0+a1+…+a8;

(2)a0+a2+a4+a6+a8;

(3)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a8|.

解析:(1)令 x=1,得

a0+a1+…+a8=28=256.



(2)令 x=-1,得

a8-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a1+a0=48



∴①+②得

2(a8+a6+a4+a2+a0)=28+48.

∴a8+a6+a4+a2+a0= 1 (28+48)=32 896. 2

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(3)由于(1-3x)8

=C08+

C

1 8

(-3x)+

C

2 8

(-3x)2+…+

C

8 8

(-3x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8

故 a0,a2, …,a8>0,a1,a3, …,a8<0, ∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a8| =a0-a1+a2-a3+…+a8. 由②可知

|a0|+|a1|+…+|a8|=48=65 536. 三、与“杨辉三角”有关的问题

【例 3】 如下图的数表中每一个数都是某个正整数的倒数,起始行(第 0 行)为 1,每一个

数都等于脚下两数之和.

(1)试填写第 1 行和第 2 行,填法是否唯一,并说明理由.

(2)注意第 n 行(n=0,1,2,…)的第 1 个数为 1n+1,猜想此时第 n 行第 r 个数(不证明).

解析(:1)1 ? 1 =1,(m,n∈N*),则有 1 ? n ?1 ,n 与 n-1 互质,故 m=2,n=2,第一行为 1 , 1 ,

mn

mn

22

令 1 ? 1 = 1 (m,n∈N*), m n2

则有 1 ? n ? 2 . m 2n
当 n-2=1 时,n=3,m=6;

当 n-2=2 时,n=4,m=4; 当 n-2 是 n 的约数时,记 n=R(n-2)(R∈N*),(R-1)n=2R,R 与 R-1 互质,所以 R-1=2,R=3,此

时 n=3,进而知 m=6.故第二行填法不唯一,可为 1 , 1 , 1 ,也可为 1 , 1 , 1 .

444

363

(2)猜想:令第 3 行第 1 个数为 1 ,则第 3 行各数依次为 1 , 1 , 1 , 1 .

4

4 12 12 4

第 1 行: 1 , 1 ; 2?1 2?1

第 2 行: 1 , 1 , 1 ; 3?1 3? 2 3?1

第 3 行: 1 , 1 , 1 , 1 ; 4?1 4?3 4?3 4?1

……



n

行:

(n

1

?

1)C

0 n

,

(n

1

?

1)C

1 n

, …,

(n

1 ? 1)Cnn?1

,

(n

1 ? 1)Cnn

.

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∴猜想第 n 行第 r 个数为

1

.

(n

?

1)C

r n

?1

各个击破 【类题演练 1】已知 f(x)=(1+x) m+(1+2x)n,(m,n∈N)的展开式中 x 的系数为 11,求: (1)x2 的系数的最小值. (2)当 x2 的系数取得最小值时,求 f(x)展开式中的 x 的奇次幂项的系数之和.

解析:(1)由已知

C

1 m

+2

C

1 n

=11,

∴m+2n=11,x2

的系数为

C

2 m

?

22 Cn2

m(m ?1) 2

+2n(n-1)

=(m- 21 )2+ 351 ,∵m∈N 4 16
∴m=5 时,x2 的系数取得最小值 22,此时 n=3.

(2)由(1)知,当 x2 系数取得最小值 22 时 n=3.

∴f(x)=(1+x)5+(1+2x)3

设这时 f(x)的展开式为 f(x)=a0+a1x+…+a5x5 令 x=1,a0+a1+a2+a3+a4+a5=25+33

令 x=-1,a0-a1+a2-a3+a4-a5=-1

相减得 2(a1+a3+a5)=60

故展开式中 x 的奇次幂项的系数之和为 30.

【变式提升 1】已知(xlgx+1)n 展开式中,末三项的二项式系数和等于 22,二项式系数最大

项为 20 000,求 x 的值.

解析:由题意

C

n? n

2

+

C

n n

?1

+

C

n n

=22



C

2 n

+

C

1 n

+

C

0 n

=22,

∴n=6,∴第 4 项的二项式系数最大,



C

3 6

(xlgx)3=20

000 即 x 3lgx=1

000

∴x=10,或 1 . 10
【类题演练 2】一串装饰彩灯由灯泡串联而成,每串有 20 个灯泡,只要有一只灯泡坏了,

整串灯泡就不亮,则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为…………( )

A.20

B.219

C.220

D.220-1

解析:

C

1 20

?

C

2 20

? ? ? C2200

?

220 -1.

答案:D

【变式提升

2】证明:(

C

0 n

)2+(

C

1 n

)2+…+(

C

n n

)2=

(2n)! n!n!

,并求(

C

0 5

)2+(

C

1 5

)2+…+(

C

5 5

)2

的值.

证明:比较(1+x)n·(1+x)n=(1+x)2n 两边 x 的系数.

左边 xn 的系数为

C

0 n

·

C

n n

+

C

1 n

·

C

n ?1 n

+

C

2 n

·

C n?2 n

+…+

C

n n

·

C

0 n

,

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右边

xn

的系数为

C

n 2n



C

0 n

·

C

n n

+

C

1 n

·

C

n n

?1

+…+

C

n n

·

C

0 n

=

C

n 2n



C

n 2n

=

(2n)! n!n!

∴(

C

0 n

)2+(

C

1 n

)2+…+(

C

n n

)2=

(2n)! n!n!

∴(

C 50

)2+(

C

1 5

)2+…+(

C

5 5

)2=

10! 5!5!

=252.

【类题演练 3】 如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角形中,第____________行中从左

至右第 14 与第 15 个数的比为 2∶3.

解析:本题是杨辉三角与二项式定理的交汇题,而本题的解题关键在于将表格语言转化为组 合数语言. 设所求的行数为 n,将条件转换为组合数语言,得

C

13 n

?

2 ,即

14

? 2 ,解得 n=34.

C

14 n

3

n ?13 3

答案:34 【变式提升 3】设{an}是集合{2t+2s|0≤s<t,且 t,s∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列, 即 a1=3,a2=5,a3=6,a4=9,a5=10,a6=12,……,将数列{an}各项按照上小下大,左小右大的原则 写成如图的三角形数表.

(1)写出这个三角形数表的第四、五行各数;

(2)求 a100. 解析:(1)以有序数对(t,s)表示表中各数的位置,则表中各数排列规律为

第四行:17,18,20,24, 第五行:33,34,36,40,48 (2)a100=16 640.

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