高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.1.3 两条直线的平行与垂直学业分层测评 苏教版必修2

2.1.3 两条直线的平行与垂直

(建议用时:45 分钟)

[学业达标]

一、填空题

1.经过两点 A(2,3),B(-1,x)的直线 l1 与斜率为-1 的直线 l2 平行,则实数 x 的值 为________.

【解析】 直线 l1 的斜率 k1=-x- 1-32=3-3 x,由题意可知3-3 x=-1,∴x=6.

【答案】 6

2.以 A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形是________三角形.

【解析】 ∵kAB=-2+1-11=-23,kAC=41- +11=32,∴kAB·kAC=-1,∴AB⊥AC,∠A 为直

角.

【答案】 直角 3.直线 l1,l2 的斜率是方程 x2-3x-1=0 的两根,则 l1 与 l2 的位置关系是________. 【解析】 ∵l1,l2 的斜率是方程 x2-3x-1=0 的两根,不妨设斜率分别为 k1,k2,则 k1·k2=-1, ∴l1⊥l2. 【答案】 垂直

4.若点 A(0,1),B( 3,4)在直线 l1 上,直线 l1⊥l2,则 l2 的倾斜角为________. 【导学号:41292083】

【解析】

由题意可知

kAB=

4-1 = 3-0

3.

又 l1⊥l2,从而 l2 的斜率为- 33.

由 tan α =- 33,得 α =150°.

【答案】 150°

5.已知直线

l

3 的倾斜角为4π

,直线

l1 经过点

A(3,2),B(a,-1),且

l1



l

垂直,直

线 l2:2x+by+1=0 与直线 l1 平行,则 a+b=________. 【解析】 l 的斜率为-1,则 l1 的斜率为 1, kAB=2-3--a =1,得 a=0.由 l1∥l2,

2 得-b=1,即

b=-2,所以

a+b=-2.

【答案】 -2 6.设点 P(-4,2),Q(6,-4),R(12,6),S(2,12),有下面四个结论: ①PQ∥SR;②PQ⊥PS;③PS∥QS;④PR⊥QS. 其中正确的结论是________. 【解析】 由斜率公式知, kPQ=-6+4-42=-35, kSR=122--126=-35,kPS=122+-42=53,kQS=122-+64=-4,kPR=162-+24=14, ∴PQ∥SR,PS⊥PQ,PR⊥QS. 而 kPS≠kQS,∴PS 与 QS 不平行. 故结论正确的为①②④. 【答案】 ①②④ 7.△ABC 的两个顶点 A,B 的坐标分别是(-a,0),(a,0)(a>0),边 AC,BC 所在直线的 斜率之积等于 k. ①若 k=-1,则△ABC 是直角三角形; ②若 k=1,则△ABC 是直角三角形; ③若 k=-2,则△ABC 是锐角三角形; ④若 k=2,则△ABC 是锐角三角形. 以上四个命题中,正确命题的序号是________. 【解析】 由 kAC·kBC=k=-1,知 AC⊥BC,∠C=π2 ,①正确,②不正确. 由 kAC·kBC=k=-2,知∠C 为锐角,kAC 与 kBC 符号相反,③正确,④不正确. 【答案】 ①③ 8.过点(m,n)且与直线 nx-my+mn=0 平行的直线一定恒过点__________.
【导学号:41292084】 【解析】 过点(m,n)且与直线 nx-my+mn=0 平行的直线方程为 m(y-n)=n(x-m), 即 nx-my=0,此直线恒过定点(0,0). 【答案】 (0,0) 二、解答题 9.当 m 为何值时,过两点 A(1,1),B(2m2+1,m-2)的直线. (1)倾斜角为 135°; (2)与过两点(3,2),(0,-7)的直线垂直; (3)与过两点(2,-3),(-4,9)的直线平行.

【解】 (1)由 kAB=m2-m23

=tan 135°=-1,

解得 m=-32或 1.

(2)由 kAB=m2-m23,且-0-7-32=3,

m-3 1 故 2m2 =-3,解得

m=32或-3.

m-3 9+3 (3)令 2m2 =-4-2=-2,

解得 m=34或-1.

10.如图 2-1-9,在平行四边形 OABC 中,点 C(1,3),A(3,0),

图 2-1-9 (1)求 AB 所在直线的方程; (2)过点 C 做 CD⊥AB 于点 D,求 CD 所在直线的方程. 【解】 (1)点 O(0,0),点 C(1,3),∴直线 OC 的斜率为 kOC=31- -00=3. AB∥OC,kAB=3,AB 所在直线方程为 y=3x-9. (2)在?OABC 中,AB∥OC, ∵CD⊥AB,∴CD⊥OC. ∴CD 所在直线的斜率为 kCD=-13. ∴CD 所在直线方程为 y-3=-13(x-1), 即 x+3y-10=0.
[能力提升] 1.若点 P(a,b)与 Q(b-1,a+1)关于直线 l 对称,则 l 的倾斜角为________. 【解析】 kPQ=ab+ -11- -ba=-1,kPQ·kl=-1, ∴l 的斜率为 1,倾斜角为 45°. 【答案】 45°

2.若不同两点 P,Q 的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段 PQ 的垂直平分线的斜 率为________.
【解析】 由两点的斜率公式可得:kPQ=33- -ab- -ba=1,所以线段 PQ 的垂直平分线的斜 率为-1.
【答案】 -1 3.已知直线 l1 过点 A(1,1),B(3,a),直线 l2 过点 M(2,2),N(3+a,4). (1)若 l1∥l2,则 a 的值为________; (2)若 l1⊥l2,则 a 的值为________. 【解析】 设直线 l1 的斜率为 k1, 则 k1=a3- -11=a-2 1. (1)若 l1∥l2,则直线 l2 的斜率 k2=a-2 1. 又 k2=3+4-a-2 2=1+2 a, ∴1+2 a=a-2 1,解得 a=± 5. 又当 a=± 5时,kAM≠kBM, ∴A,B,M 三点不共线, ∴a=± 5均适合题意. (2)若 l1⊥l2, ①当 k1=0,即 a=1 时,k2=1, 此时 k1·k2=0≠-1,不符合题意. ②当 k1≠0 时,则 l2 的斜率存在, 此时a-2 1·1+2 a=-1, 解得 a=0,故 l1⊥l2 时,a=0. 【答案】 (1)± 5 (2)0 4.如图 2-1-10 所示,一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路,已知矩形花园长 AD =5 m,宽 AB=3 m,其中一条小路为 AC,另一条小路过点 D.问如何在 BC 上找到一点 M,使 得两条小路 AC 与 DM 互相垂直?
【导学号:41292085】

图 2-1-10 【解】 以点 B 为原点,BC,BA 所在直线分别为 x 轴,y 轴,建立如图所示的直角坐标 系.由 AD=5,AB=3 可得 C(5,0),D(5,3),A(0,3).
法一:直线 AC 的方程为x5+y3=1, 即 3x+5y-15=0. 设过点 D(5,3)且与直线 AC 垂直的直线方程为 5x-3y=t,则 t=25-9=16,即过点 D(5,3)且与直线 AC 垂直的直线方程为 5x-3y-16=0.令 y=0,得 x=156=3.2,即 BM=3.2 m 时,两条小路 AC 与 DM 互相垂直. 法二:设点 M 的坐标为(x,0), ∵AC⊥DM,∴kAC·kDM=-1. ∴30--05·35- -0x=-1, 解得 x=5-95=156=3.2, 即 BM=3.2 m 时,两条小路 AC 与 DM 互相垂直.


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