福建省霞浦县18届高三数学上学期第三次月考试题理

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福建省霞浦县 2018 届高三数学上学期第三次月考试题 理
(满分:150 分 时间:120 分钟)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) 温馨提示: 1.答题前,考生先将自己的姓名、班级、座号填写在答题卡上。 2. 考生作答时, 将答案写在答题卡上。 请按照题号在各题的答题区域内作答.在草稿纸、 试题卷上答题无效。 3.考生不能使用计算器答题 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的. 把答案填写在答题卷相应位置上. 1.已知集合 A ? {x | y ? A. {x | x ? ?1} 2.已知 tan ? ? A. ?

x ? 1} , A ? B ? ? ,则集合 B 不可能是
C. { y | y ? ? x }
2

B. {( x, y ) | y ? x ? 1}

D. {x | x ? ?1}

4 ,则 sin2? 的值为 3
B.

24 25

24 25

C. ?

7 25

D.

7 25

3.下列判断错误的是 A.“ | am |?| bm | ”是“ | a |?| b | ”的充分不必要条件 B.命题“ ?x ? R, ax ? b ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R, ax0 ? b ? 0 ” C.若 ?( p ? q ) 为真命题,则 p, q 均为假命题 D.命题“若 p ,则 ?q ”为真命题,则“若 q ,则 ?p ”也为真命题 4. 在平面直角坐标系 xOy 中,四边形 ABCD 是平行四边形, AB ? ?1,?2? , AD ? ?2,1? , 则 AD ? AC 等于 A. 5 B. 4
a

C. 3

D. 2

5.已知函数 f ?x ? ? x 的图像过点 ?4,2? ,令 a n ? 前 n 项和为 S n ,则 S 2017 等于 A. 2016 ? 1 B. 2017 ? 1

1 ? , n ? N 。记数列 ?an ? 的 f ?n ? 1? ? f ?n ?

C. 2018 ? 1

D. 2018 ? 1
1

?x ? y ? 4 ? 0 ? ? 6.若直线 y ? x 上存在点 ( x, y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 , 则实数 m 的最大值 ? ? ?x ? m
A.-1 B.1 C.

3 2

D.2

7.将函数 f ( x) ? sin 2 x 的图像保持纵坐标不变,先将横坐标缩短为原来的

1 ,再向右平移 2

? 个单位长度后得到 g ( x) ,则 g ( x) 的解析式为 6
A.

? g ( x) ? sin( x ? ) 6

B.

? g ( x) ? sin( x ? ) 6

C.

g ( x) ? sin( 4 x ?

2? ) 3

D. g ( x) ? sin( 4 x ?

? ) 6

8. 已知 A, B, C 三点都在以 O 为球心的球面上, OA, OB, OC 两两垂直,三棱锥 O ? ABC 的体积为

4 ,则球 O 的表面积为 3

??? 32? B. 16? C. D. 32? 3 3 2 2 2 9. 在 △ ABC 中 , 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , 满 足 b ? c ? a ? bc ,
A.

AB ? BC ? 0 ,
a? 3 ,则 b ? c 的取值范围是 2
B. ?

A. ?1, ?

? 3? ? 2?

? 3 3? ? ? 2 ,2? ? ?

C. ?

?1 3? , ? ?2 2?

D. ?

? 1 3? , ? 2 2? ?

10. 某四面体的三视图如图所示,正视图、俯视图都是腰长为 2 的 等腰直角三角形,侧视图是边长为 2 的正方形,则此四面体的四 个面中最大面积为 A. 2 3 B. 4
3

C. 2 2

D. 2 6

2 11.已知 f ? x ? ? x ,若 x ? 1, 2 时, f x ? ax ? f ?1 ? x ? ? 0 ,则 a 的取值范围是

? ?

?

?

A. a ? 1

B. a ? 1

C. a ?

3 2

D. a ?

3 2

12. ?ABC 中, 3 AB ? 2 AC ,点 G 是 ?ABC 的重心,若 BG ? ?CG ,则 ? 的取值范围是 A. ( ,

1 4

10 ) 4

B. ( ,

2 3

10 ) 4

C. ( , )

2 7 3 8

D. ( , )

1 7 4 8

2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在答题卷相应位置上 13.直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角为
m 1 ,则 14.设函数 f ? x ?=x +ax 的导函数 f '( x)=2 x+

.

?

2

1

f (? x)dx 的值等于

.

15. 如图, 在四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 底面 ABCD 是正方形, 侧棱 AA1 ? 底面 ABCD .

E 为 AB 上一个动点,则 D1 E ? CE 的最小值为 已知 AB ? 1, AA 1 ? 3,
16.已知函数 f ( x) ? e?| x| ? cos πx ,给出下列命题: ① f ( x) 的最大值为 2; ③ f ( x) 的任何一个极大值都大于 1. 其中所有正确命题的序号是____ ② f ( x) 在 (?10,10) 内的零点之和为 0;

.

____.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,已知 cos 2 A ? ?

1 ,c ? 3, 3

sin A ? 6 sin C .
(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若角 A 为锐角,求 b 的值及△ ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 {an } 是递增数列,它的前 n 项和为 Sn ,a3 ? 8 ,且 10 是 a2 , a4 的等差中项. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {

n ?1 } 的前 n 项和 Tn . an

3

19. (本小题满分 13 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , AD // BC , PA ? 3 , AD ? 4 , AC ? 2 3 ,
?ADC ? 60 , E 为线段 PC 上一点,且 PE ? ? PC .

(Ⅰ)求证: CD ? AE ; (Ⅱ)若平面 PAB ? 平面 PAD ,直线 AE 与平面 PBC 所成的角的正弦值为 值.
P

3 3 ,求 ? 的 8

E

A B C

D

20. (本小题满分 12 分) 已知圆 M 过两点 C (1, ?1), D(?1,1) ,且圆心 M 在 x ? y ? 2 ? 0 上. (Ⅰ) 求圆 M 的方程; (Ⅱ) 设 P 是直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点, PA, PB 是圆 M 的两条切线, A, B 为切点, 求四边形 PAMB 面积的最小值.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? mx ? m, m ? R . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间. (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 在 x ? (0, ??) 上恒成立,求实数 m 的取值范围. (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,任意的 0 ? a ? b ,求证:

f (b) ? f (a) 1 ? . b?a a(1 ? a)

4

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

4 ? x ? ?1 ? t , ? ? 5 已知直线 l 的方程为 ? ( t 为参数) ,在以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴 ? y ? 2 ? 3 t, ? 5 ?
为极轴的极坐标系中, 曲线 G 的方程为 ? ? 2 2 sin(? ? 且 O, A, B, C 依逆时针方向排列, A 在极轴上. (Ⅰ)将直线 l 和曲线 G 的方程分别化为普通方程和直角坐标方程; (Ⅱ)若点 P 为直线 l 上任意一点,求 PO ? PA ? PB ? PC 的最小值.
2 2 2 2

?
4

), 正方形 OABC 内接于曲线 G ,

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) ?

1 1 ? 2x ? 2x ? 1 . 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小值 m ; (Ⅱ) 若正实数 a , b 满足 的取值范围.

1 2 ? ? m, 且 f ( x) ? a ? 2b 对任意的正实数 a , b 恒成立, 求x a b

5

霞浦一中 2018 届高三第三次月考理科数学参考答案 1-5 DBCAC 6-10 DCBBA 11-12 CD 13.

? 6

14.

5 6

15. 10

16. ①②③

12.选 D;设 AB ? 2t , AC ? 3t ?t ? 0 ? 。 BG ? 1 ? BA ? BC ? ? 1 AC ? 2 AB , 3 3

?

?

CG ?
2

1 CA ? CB 3

?

?

?

1 AB ? 2 AC 3

?

?







BG ?

2 2 1 1 4 AB ? AC ? 4 AB ? AC ? ? 25t 2 ? 24t 2 cos ?BAC ? , 9 9

?

?

CG ?

2

2 2 1 1 AB ? 4 AC ? 4 AB ? AC ? ? 40t 2 ? 24t 2 cos ?BAC ? 。 9 9

?

?

由 BG ? ?CG ,所以

1 1 25t 2 ? 24t 2 cos ?BAC ? ? ? 2 ? 40t 2 ? 24t 2 cos ?BAC ? , ? 9 9
2

? 25 ? 24cos ?BAC ? ? ? 2 ? 40 ? 24cos ?BAC ? , cos ?BAC ? 40? 2 ? 25 , 。
24? ? 24
又 cos ?BAC ? 1 ,得

1 7 1 49 40? 2 ? 25 ,所以 ? 的取值范围是 ( , ) 。 ? 1 ,解得 ? ? 2 ? 2 4 8 16 64 24? ? 24

17.解: (Ⅰ)在△ ABC 中,因为 c ? 3 , sin A ? 6 sin C ,

a c ? ,解得 a ? 3 2 . . . . . . . . . . . . . .5 分 sin A sin C 1 ? 2 (Ⅱ)因为 cos 2 A ? 2 cos A ? 1 ? ? ,又 0 ? A ? , 3 2
由正弦定理 所以 cos A ?

3 6 , sin A ? . 3 3

由余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,得 b2 ? 2b ? 15 ? 0 , 解得 b ? 5 或 b ? ?3 (舍) , 所以 S?ABC ?

1 5 2 bc sin A ? 2 2

. . . . . . . . . . . . . .12 分

18.解:(Ⅰ)设等比数列 {an } 的公比为 q ,依题意有 a2 ? a4 ? 20 , 又 a3 ? 8,

? a q ? a q 3 ? 20 ? ?? 1 2 1 , ? ? a1q ? 8

……………………………………3 分

6

?a ? 32 ?a1 ? 2, ? 1 解得 ? 或? 1 .又数列递增,? a1 ? 2, q ? 2 ,………………5 分 q? ?q ? 2 ? ? 2

? an ? 2n
(Ⅱ)令 bn ? 则 Tn ? ①?

…………………………6 分

n ?1 n ? 1 = n , an 2
? n ?1 ,① 2n ? n n ?1 ? ,②……………………9 分 2n 2 n ?1
………………………………11 分

2 3 4 ? ? ? 21 22 23

1 1 2 3 4 ,得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 2 2 2 2 2

① ? ②,得 Tn ? 整理得 Tn ? 3 ?

1 2

3 n?3 ? , 2 2 n ?1

n?3 2n

…………………………………12 分

19.解: (Ⅰ)在 ?ADC 中, AD ? 4 , AC ? 2 3 , ?ADC ? 60 , 由正弦定理得: sin ?ACD ?
??ACD ? 900 即 DC ? AC .

AD sin ?ADC ? 1, AC
………………………… 3 分

? PA ? 平面 ABCD ,

? DC ? PA .又 AC I PA ? A ,
? CD ? 面PAC . ? AE ? 面PAC , ? CD ? AE .
………………………… 6 分 (Ⅱ)? PA ? 平面 ABCD , ? PA ? AB , PA ? AD .

? ?BAD 即为二面角 B ? PA ? D 的平面角.

? 平面 PAB ? 平面 PAD ,
??BAD ? 900 .…………………………

7分

以 A 为原点,以 AB, AD, AP 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系如图所 示, 则 A(0,0,0), B( 3,0,0), C( 3,3,0), P(0,0,3) , PB ? ( 3,0,?3), BC ? (0,3,0) . 8 分 设 E( x0 , y0 , z 0 ) ,由 PE ? ? PC 即 ( x0 , y0 , z0 ? 3) ? ? , ( 3, 3, ? 3)
uuu v 得 x0 ? 3?, y0 ? 3?, z0 ? 3 ? 3? ,? AE ? ( 3?,3?,3 ? 3?). …………………… 9 分 uuv uuu v 设平面 PBC 的一个法向量 n ? ( x, y, z ), 则 n ? PB, n ? BC ,

7

uuv ? ? 3x ? 3z ? 0, ?n ? PB ? 0, ? 即? 令 x ? 3 ,得 n ? ( 3,0,1). ? ? uuu v 3 y ? 0 , ? n ? BC ? 0, ? ? ?

………… 10 分

设直线 AE 与平面 PBC 所成的角为 ? ,则
uuu r 3? ? 3 ? 3? n ? AE 3 3 3 sin ? ? ? ? uuu r ? 2 2 2 2 8 , 2 21? ? 18? ? 9 n ? AE 2 3? ? 9? ? (3 ? 3? )

……11 分

?? ?1或
3

11 . 21

…………… 12 分

20. 解:(Ⅰ)设圆 M 的方程为(x-a) +(y-b) =r (r>0),

2

2

2

?(1 ? a)2 ? (?1 ? b)2 ? r 2 ? 根据题意得: ?(?1 ? a)2 ? (1 ? b)2 ? r 2 解得 a=b=1,r=2, ?a ? b ? 2 ? 0 ?
故所求圆 M 的方程为(x-1) +(y-1) =4.
2 2

………………………… 5 分

1 1 (Ⅱ) 因为四边形 PAMB 的面积 S=S△PAM+S△PBM= |AM|·|PA|+ |BM|·|PB|, 2 2 又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|, 所以 S=2|PA|, 而|PA|= |PM| -|AM| = |PM| -4, 即 S=2 |PM| -4. 因此要求 S 的最小值,只需求|PM|的最小值即可, 即在直线 3x+4y+8=0 上找一点 P,使得|PM|的值最小, |3×1+4×1+8| 所以|PM|min= =3, 2 2 3 +4 所以四边形 PAMB 面积的最小值为 S=2 |PM|min-4=2 3 -4=2 5.
2 2 2 2 2 2

……………12 分

21.解:(Ⅰ) 当 m≤0 时, f′(x)>0 恒成立, 则函数 f(x)在 (0, +∞) 上单调递增; 分 当 m>0 时,由 ,则 , ……………2

8

则 f(x)在 分

上单调递增,在

上单调递减.

…………………4

(Ⅱ)由(Ⅰ)得:当 m≤0 时显然不成立; 当 m>0 时, 分 令 g(x)=x﹣lnx﹣1, 则 ,函数 g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. ,只需 m﹣lnm﹣1≤0 ………6

∴g(x)min=g(1)=0.则若 f(x)≤0 在 x∈(0,+∞)上恒成立,m=1. ……………8 分

(Ⅲ)

由 0<a<b 得



由(Ⅱ)得:

,则



则原不等式

成立.

………………………12 分

22.解: (Ⅰ)直线 l 的普通方程为 3x ? 4 y ? 11 ? 0 , 曲线 G 的直角坐标方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2 .
2 2

…………5 分

(Ⅱ)可知 O, A, B, C 的直角坐标分别为 O(0,0), A(2,0), B(2,2), C (0,2) ,设 P ( x, y ) , 则

PO2 ? PA2 ? PB2 ? PC 2 ? x 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? x 2 ? ( y ? 2) 2
? 4x 2 ? 4 y 2 ? 8x ? 8 y ? 16 ? 4[(x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ] ? 8 ,
而 ( x ? 1) ? ( y ? 1) 表示圆 G 的圆心 G ?1,1? 与点 P 距离的平方,
2 2











G(1,1)





线

l















( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? (

3 ? 1 - 4 ? 1 ? 11 3 ?4
2 2

2 ) ? 4,

9

所以 PO ? PA ? PB ? PC 的最小值为 4 ? 4 ? 8 ? 24 . ………………10 分
2 2 2 2

1 1 ? 3 x ? , x ? ? 2 2 ? 1 3 1 1 ? 23.解: (Ⅰ)由已知得 f ( x ) ? x ? ? 2 x ? 1 ? ? x ? ,? ? x ? , 2 2 2 2 ? 1 1 ? ? 3x ? , x ? ? ? 2 2 ?
可知函数 f ( x) 的最小值 m 等于 1. (Ⅱ)由(1)知 ………………5 分

1 2 1 2 2a 2b ? ? 1 ,所以 a ? 2b ? (a ? 2b) ? ( ? ) ? 4 ? ? ? 4? 4 ? 8, a b a b b a 1 1 ? 2x ? 2x ? 1 ? 8 , 2

当且仅当 a ? b ? 3 时取等号. 原命题等价于 f ( x) ? 8 ,即 当x ? 当?

1 5 1 1 1 5 时, 不等式等价于 x ? ? 2 x ? 1 ? 8 , 即 3x ? 7 , 得x ? , 所以 ? x ? , 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 ? x ? 时,不等式等价于 ? x ? 2 x ? 1 ? 8 ,即 x ? 6 ,所以 ? ? x ? , 2 2 2 2 2 2 1 1 1 17 时,不等式等价于 ? x ? 2 x ? 1 ? 8 ,即 3 x ? ?8 ,得 x ? ? , 2 2 2 6

当x?? 所以 ?

17 1 ?x?? , 6 2

所以原不等式的解集为 ? x ?

? ?

17 5? ? x? ?. 6 2?

…………10 分

10


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