2.3.1


高 2015 级教案

必修 4

第二章

平面向量

撰稿人:王海红

2.3.1
【教学目标】
1、知识与技能

平面向量基本定理

了解平面向量的基本定理;掌握平面内任何一个向量都可以用不共线的两个向量表示,能够在具体问 题中适当地选取基底,使其它向量都能用基底来表示。

2、过程与方法
使学生理解平面向量基本定理的证明,掌握利用平面向量基本定理将向量分解的方法,培养学生分析 问题与解决问题的能力。

3、情感、态度与价值观
通过本节学习使学生进一步认识知识间的内在联系,学会用联系的观点看待事物。

【教学重点】
平面向量基本定理。

【教学难点】
平面向量基本定理的理解与应用。

【教学方法】
讲练结合法。

【教学过程】
〖创设情境 导入新课〗 【投影】问题 1:如图,给定平面内任意两个不共线的向量 e1 , e2 ,请你作出向量 3e1 ? 2e2 ,2e1 ? e2 。
e2

【总结】 (1)已知向量 e1 , e2 ,求作 ?1 e1 ? ?2 e2 的一般步骤: e1 ①先根据已知条件及实数与向量的积的定义和向量共线的充要条件,作出向量 ?1 e1, ?2 e2 ; ②再根据向量加法的平行四边形法则,作出 ?1 e1 ? ?2 e2 。 (2)由两个已知不共线的向量 e1 , e2 画图来表示平面内任一向量的关键就是牢牢掌握 向量加法的平行四边形法则和向量共线的充要条件。 问题 2:如图所示, e1 , e2 是平面内两个不共线的向量, a 是平面内的任一向量,同学们能否找
出 a 与 e1 , e2 之间的关系?
e2 a

e1

【导语】如何解决这个问题,问题的结论是什么?这就是我们这堂课要解决的问题。板书课题:平面向
量基本定理。

〖合作交流 解读探究〗 1、平面向量基本定理: (向量的分解) 如果 e1 , e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向
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量 a ,有且只有唯一一对实数 ?1 , ?2 ,使得: a ? ?1 e1 ? ?2 e2 。其中不共线的两个向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的两个基向量,向量组 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向 量的一组基底。
【证明】 (存在性)如图所示:

?

?

e2

a

B e2 N A C

e1

O

e1

M

在平面内任取一点 O ,作 OA ? e1 , OB ? e2 , OC ? a 。过点 C 作平行于直线 OB 的直 线,与直线 OA 交于 M ;过点 C 作平行于直线 OA 的直线,与直线 OB 交于 N ;则由共 线向量定理知:有且只有唯一一对实数 ?1 , ?2 ,使得 OM ? ?1 e1 , ON ? ?2 e2 ,又由向量加法的平行四边形 法则知: OC ? OM ? ON ,所以 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 。 (唯一性)假设存在 ?1 ? ?1 ? R, ?2 ? ?2 ? R ,且 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 , a ? ?1e1 ? ?2 e2 , 则:

?1 e1 ? ?2 e2 ? ?1 e1 ? ?2 e2 , 即: ? ?1 ? ?1 ? e1 ? ? ?2 ? ?2 ? e2 , ? ?1 ? ?1 ??1 ? ?1 ? 0 ??1 ? ?1 因为 e1 ∥e2 ,? ? ,这与 ? 矛盾, ?? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ? 2 2 ? 2 2 ? 2 2
所以存在唯一一对实数 ?1 , ?2 使得 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 。

【说明】 (1)基底的特征:①基底是两个不共线的向量的一个向量组;②基底是不唯一的。 平面内的任意两个不共线的向量均可作为基向量。零向量与任一向量共线,所 以零向量不能作为基向量。 (2)由定理可知:任一向量 a 在给出基底 e1 , e2 的条件下都可以进行分解。 (3)在基底 e1 , e2 给定时,每一个向量的分解形式是唯一的。即:

?

?

?

?

??1 ? k1 。 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 ? k1 e1 ? k2 e2 ? ? ??2 ? k2 特别地,当 ?1 e1 ? ?2 e2 ? 0 时,恒有 ?1 ? ?2 ? 0 。
【例 1】如果 e1 , e2 是平面 ? 两个不共线的两个向量,那么下列说法中不正确的是 说法的序号) ① ? e1 ? ? e2 ? ? , ? ? R ? 可以表示平面 ? 内的所有向量; ②对于平面 ? 内任一向量 a ,使 a ? ? e1 ? ? e2 的实数对 ? ?, ? ? 有无穷多个; ③若向量 ?1 e1 ? ?1 e2 与 ?2 e1 ? ?2 e2 共线,有且只有一个实数 ? ,使得 。 (填写对应

?1 e1 ? ?1 e2 ? ? ?2 e1 ? ?2 e2

?

?

④若存在实数 ? , ? 使得 ?e1 ? ? e2 ? 0 ,则 ? ? 0, ? ? 0 。 【变式 1】设 e1 , e2 是不共线的两个向量,给出下列四组向量: ① e1 与 e1 ? e2 ;② e1 ? 2e2 与 e2 ? 2e1 ;③ e1 ? 2e2 与 4e2 ? 2e1 ;④ e1 ? e2 与 e1 ? e2 。
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其中能作为平面内所有向量的一组基底的是

(写出满足条件的序号)

【例 2】已知 e1 , e2 是不共线的两个向量, a ? 3e1 ? 2e2 , b ? ?2e1 ? e2 , c ? 7e1 ? 4e2 , 试用 a, b 表示 c 。 【变式 2】已知向量 e1 , e2 是不共线的两个向量,实数 x, y 满足 ? 3x ? 4 y ? e1 ? ? 2 x ? 3 y ? e2 ? 6e1 ? 3e2 ,则

x ? y 的值为( ) A.3 B. ? 3 2、两个非零向量的夹角:

C.0

D.2

如图所示,已知两个非零向量 a, b ,在平面上任取一点 O ,作 OA ? a, OB ? b , 则 ?AOB ? ? ? 0 ? ? ? ? ? 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作: ? a, b ?? ? 。
b b O a a B θ A a θ A b B O

【说明】 (1)研究两个非零向量的夹角时,必须先将这两个向量的起点移至同一个点;但是 当两个向量的终点重合时,表示向量的这两条线段所成的 ? 0, ? ? 范围内的角也等 于这两个向量之间的夹角。 (2)只有非零向量之间才存在夹角; (3)两个非零向量的夹角的范围: ? a, b ?? ?0, ? ? ; ? (4)如果 ? a, b ?? ,我们就说向量 a 与 b 垂直,记作: a ? b ; 2 (5)特别地:① ? a, b ?? 0 ? a∥b 且同向; ② ? a, b ?? ? ? a∥b 且反向; ? ③ ? a, b ?? ? a ? b ; 2 (6) ? a, b ??? b, a ?, ? a, ?b ??? ?a, b ?? ? ? ? a, b ? 。 〖应用迁移 巩固提高〗 题型一:利用基底来表示向量
【例 1】如图,四边形 OADB 是以 OA ? a, OB ? b 为邻边的平行四边形,又 BM ? 试用 a, b 表示 OM , ON , MN 。
B M C O N A

1 1 BC , CN ? CD , 3 3
D

b为 【变式 1】在平行四边形 ABCD 中, M 、N 分别是 CD、BC 的中点,设 AM ? a, AN ? b ,试以 a、
基底表示向量 AB, AD 。
D M N C

题型二:向量的夹角问题
?

A

B

【例 2】 已知 a ? b ? 2 , 且 a 与 b 的夹角为 60 , 则 a ? b 与 a 的夹角是多少? a ? b 与 a 的夹角是多少?

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【变式 2】已知 a ? b ? 2 ,且 a ? b 与 a 和 a ? b 与 a 相等,求 a 与 b 的夹角。

题型三:利用平面向量基本定理求参数
【例 3】 已知 OA ? 1, OB ? 3, ?AOB ? 90 , 点 C 在 ?AOB 内, 且 ?AOC ? 30 , 设O C m ? O An O B ?
?

?

,

? m, n ? R ? ,求 n 的值。

m

【变式 3】 在 ?ABC 中,AD ?

1 AB, DE∥BC , 且 DE 与 AC 相交于点 E ,M 是 BC 的中点,AM 与 DE 4 相交于点 N ,若 AN ? xAB ? y AC ? x, y ? R ? ,则 x ? y ? ( )
A.1

1 1 C. 2 4 题型四:共线向量与平面向量基本定理的综合应用 B.

D.

1 8 1 a, 3

【例 4】如图所示,在 ?OAB 中, OA ? a, OB ? b, M、N 分别是边 OA、OB 上的点,且 OM ?

1 ON ? b ,设 AN 与 BM 交于点 P ,试以 a, b 为基底表示 OP 。 2

O M P A

N

B

【变式 4】如图所示,已知在 AOB 中,点 C 是以 A 为中点的点 B 的对称点, OD ? 2DB, DC 和 OA 交于 点 E ,设 OA ? a, OB ? b 。 (1)用 a, b 表示向量 OC、 (2)若 OE ? ?OA ,求实数 ? 的值。 OD ;
D E C O A B

【补例 1】 如图, 在 ?OAB 中,OC ? 为基底表示向量 OM 。

1 1 OA, OD ? OB, AD 与 BC 交于 M , A ? a ,OB ? b , 设O 以 a, b 4 2
B b D M A a

【解】设 OM ? ? a ? ? b ? ? , ? ? R ? ,则:
O

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C

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1 AM ? OM ? OA ? ? ? ? 1? a ? ?b , AD ? OD ? OA ? ?a ? b ; 2 1 BM ? OM ? OB ? ? a ? ? ? ? 1? b , BC ? OC ? OB ? a ? b ; 4 AM AD,? AM ? mAD ? m ? R ? ,即:

?? ? 1 ? ? m 1 ? ? ? ? ? ? 1 ? ?2? ? ? ? 1 ? 2? , ? ? ? 1? a ? ? b ? m ? ?a ? b ? ? ? 1 2 ? ?? ? m ? ? 2 BM BC,? BM ? nBC ? n ? R ? ,即:
1 ? ?1 ? ?? ? n ? a ? ? ? ? 1? b ? n ? a ? b ? ? ? ? ? ? 1 ? ?4? ? ? ? 1 ? 4? , 4 ?4 ? ? ? ? 1 ? ?n ? ?? ? 1 ? 2? 1 3 1 3 综上: ? ? ? ? 1 ? 2 ?1 ? 4? ? ? ? ? ? ? ? , ? OM ? a ? b 。 7 7 7 7 ?? ? 1 ? 4?
OC ? 1 a,? a ? 4OC ,? OM ? 4? OC ? ? OB , 4 C , M , B 三点共线,? 4? ? ? ? 1; 1 OD ? b,? b ? 2OD,? OM ? ? OA ? 2 ? OD , 2 A, M , D 三点共线,? ? ? 2? ? 1;

【另解】设 OM ? ? a ? ? b ? ? , ? ? R ? ,

1 ? ?? ? 4 ? ? ? ? 1 ? 1 3 ? 7 ?? , ? OM ? a ? b 综上: ? 7 7 ?? ? 2 ? ? 1 ? ? ? 3 ? 7 ? 1 1 【补例 2】如图所示, OACB 中, BD ? BC , OD 与 AB 交于点 E ,求证: BE ? BA 。 3 4 1 D B 【证明】方法一:设 E1 是线段 BA 上一点,且 BE1 ? BA 。 4 E 设 OA ? a, OB ? b ,则: 1 1 1 BD ? a , OD ? b ? a , BA ? a ? b ,? BE1 ? a ? b , O A 3 3 4 1 1 3? 1 ? OE1 ? OB ? BE1 ? b ? a ? b ? a ? 3b ? ? b ? a ? , 4 4 4? 3 ? 3 1 ? OE1 ? OD,? O, E1 , D 三点共线,? E 与 E1 重合,? BE ? BA 。 4 4 1 方法二:设 OA ? a, OB ? b ,则: BA ? a ? b , BD ? a , BO ? ?b 3 设 BE ? ? a ? ?b , BE BA,? BE ? mBA, ? m ? R ? ,





C

?

?

?

? ?

?

?? ? m ? a ? ?b ? m a ? b ? ? ? ? ? ?? , ? ? ? ?m

?

?

1 BD ? a, BO ? ?b ? a ? 3BD, b ? ? BO ? BE ? 3? BD ? ? BO , 3
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O, E, D 三点共线,? 3? ? ? ? 1,

1 ? ?? ? ?? ? ? ? ? 4 ?? 综上: ? , ?3? ? ? ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? 4 1 1 1 1 1 1 ? BE ? a ? b ? a ? b ? BA,? BE ? BA ,? BE ? BA。 4 4 4 4 4 4 1 【另解】 :设 OA ? a, OB ? b ,则: BA ? a ? b , BD ? a , 3 设 BE ? ? a ? ?b ,

?

?

BE BA,? BE ? mBA, ? m ? R ? ,
?? ? m ? a ? ?b ? m a ? b ? ? ? ? ? ?? , ? ? ? ?m



?

?

1 OE ? OB ? BE ? b ? ? a ? ? b ? ? a ? ? ? ? 1? b, OD ? OB ? BD ? b ? a , 3 又 O, E, D 三点共线,?OE OD,?OE ? nOD ? n ? R ? ,

?

?

n ? 1 ? ?? ? ? , ? ? a ? ? ? ? 1? b ? n ? b ? a ? ? ? 3 ? 3? ? ? ? 1 , 3 ? ? ? ?? ? 1 ? n 1 ? ?? ? ?? ? ? ? ? 4 ?? 综上: ? , ?3? ? ? ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? 4 1 1 1 1 1 1 ? BE ? a ? b ? a ? b ? BA,? BE ? BA ,? BE ? BA。 4 4 4 4 4 4 【补变式 2】 如图所示, 在 ?ABC 中, 点 M 是 BC 的中点, 点 N 是 AC 上一点, 且 AN ? 2 NC, AM 与 BN 相交于点 P ,求 AP : PM 。 1 A a?b ; 【解】设 AB ? a, AC ? b ,则: AM ? 2 设 AP ? ? a ? ?b ,则: N 1 AP AM ,? AP ? m AM ? ? a ? ? b ? m a ? b , P 2 C B M 1 ? ? ? m ? ? 2 ?? ?? ?? ?? ? 1 m ? ? 2 2 又 BP ? AP ? AB ? ? ? ? 1? a ? ? b, BN ? AN ? AB ? b ? a ; 3 ?2 ? BP BN ,? BP ? mBN ,? ? ? ? 1? a ? ? b ? m ? b ? a ? , ?3 ?

?

?



?

?

?

?





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?? ? 1 ? ?m 3 3 ? ?? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? 1? ? , 2 2 2 ?? m ? 3 ? ?? ? ? 2 ? 综上: ? 3 ?? ?? ? , 5 ? ? 1? ? ? ? 2

? AP ?

AP 4 2 4 a ? b ,? AP ? AM ,? ? ,? AP : PM ? 4 :1 。 5 5 AM 5

?

?

【另解】设 AB ? a, AC ? b ,则: AM ? 设 AP ? ? a ? ?b ,则:

1 a?b ; 2

?

?

1 ? ? ? m ? 1 ? 2 AP AM ,? AP ? mAM ? ? a ? ? b ? m a ? b ,? ? ???? 1 2 ?? ? m ? ? 2 2 3 3 又 AN ? b,? b ? AN ,? AP ? ? AB ? ? AN ; 3 2 2 3 B, P, N 三点共线,? ? ? ? ? 1 , 2 ?? ? ? 2 ? ?? ?? ? , 综上: ? 3 5 ? ? ? ?1 ? ? 2

?

?



? AP ?

AP 4 2 4 a ? b ,? AP ? AM ,? ? ,? AP : PM ? 4 :1 。 5 5 AM 5

?

?

〖当堂检测 随堂巩固〗 1、等边 ?ABC 中, AB 与 BC 的夹角是( ) A.30? B.45? C.60? D.120? 2、如图,已知 AB ? a, AC ? b, BD ? 3DC ,用 a, b 表示 AD ,则 AD 等于( ) B 3 1 3 1 1 3 1 A.a ? b B. a ? b C. a ? b D. a ? b 4 4 4 4 4 4 4 3、已知 G 为 ?ABC 的重心,设 AB ? a, AC ? b ,试用 a, b 表示向量 AG 。

A

D

C

〖总结反思

拓展延伸〗

1、对基底的理解 (1)基底的特征 基底具备两个主要特征:①基底是两个不共线向量;②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线 是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件。 (2)零向量与任意向量共线,故不能作为基底。 2、准确理解平面向量基本定理
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(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解,即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向 量和的形式,且分解是唯一的。 (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想,用向量解决几何问题时,我们可以选择适当的基底, 将问题中涉及的向量向基底化归,使问题得以解决。

〖课后检测

信息反馈〗

课时活页规范训练

〖板书设计〗 【教学反思】

【课时活页规范训练】

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