同步优化探究理数(北师大版)课件:第四章 第三节 平面向量的数量积_图文

第四章 平面向量 第三节 平面向量的数量积 高考·导航 C 目 录 ONTENTS 主干知识 自主排查 核心考点 互动探究 课时作业 高考· 导航 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运 算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个 平面向量的垂直关系. 5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题. 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 主干知识 自主排查 1.向量的夹角 定义 已知两个非零 向量 a 和 b,作 → =a,OB →= OA b,则 ∠AOB 就是 a 与 b 的夹 角 设θ是a与b 的夹角,则 θ 的取值范围是 0° ≤θ≤180° 图示 范围 共线与垂直 θ=0° 或 θ= 180° ? a∥b , θ=90°?a⊥b 2.平面向量的数量积 定义 设两个非零向量 a,b 的夹角为 θ,则数量 |a||b|cos θ 叫作 a 与 b 的数量积(或内积),记作 a· b 投影 |a|cos θ 叫作向量 a 在 b 方向上的投影, |b|cos θ 叫作向量 b 在 a 方向上的投影 |b|cos θ 的乘积 几何 数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影 意义 3.向量数量积的运算律 a (1)a· b= b· . a· (λb) (2)(λa)· b=λ(a· b)= . . c+b· c (3)(a+b)· c= a· 4.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),a 与 b 的夹角为 θ. 结论 模 夹角 a⊥b 的 充要条件 |a· b|与 |a||b| 的关系 几何表示 |a|= a· a 坐标表示 |a|= 2 x2 1+y1 a· b cos θ= |a||b| x1x2+y1y2 cos θ= 2 2 2 2 x1+y1· x2+y2 x1x2+y1y2=0 a· b=0 |a· b|≤ |a||b| |x1x2+y1y2|≤ 2 2 2 ?x2 1+y1??x2+y2? [小题诊断] →· →= 1.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60° ,则BD CD ( D ) 3 2 A.- a 2 3 2 C. a 4 3 2 B.- a 4 3 2 D. a 2 3 2 → → → → 解析:由已知条件得BD· CD=BD· BA= 3a· acos 30° = a ,故 2 选D. 2.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且a· b=2,则a与b的夹 角为( C ) π A. 6 π C. 3 π B. 4 π D. 2 a· b 1 解析:设a与b的夹角为θ,则cos θ= = , |a|· |b| 2 π ∴θ= . 3 3.(2018· 云南检测)设向量a=(-1,2),b=(m,1),如果向量a +2b与2a-b平行,那么a与b的数量积等于( D ) 7 A.- 2 3 C. 2 1 B.- 2 5 D. 2 解析:a+2b=(-1+2m,4),2a-b=(-2-m,3),由题意得 1 3(-1+2m)-4(-2-m)=0,则m=- , 2 ? 1? 5 ? ? 所以a· b=-1× -2 +2×1= . 2 ? ? 4.若向量a与b的夹角为60° ,a=(2,0),|a+2b|=2 3, 则|b|=( B ) A. 3 C. 4 B.1 D. 3 解析:因为|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4a· b+4|b|2=22+ 8· |b|· cos 60° +4|b|2=(2 3)2,所以|b|2+|b|-2=0, 解得|b|=1.故选B. 5.(2017· 高考全国卷Ⅲ)已知向量a=(-2,3),b=(3,m), 且a⊥b,则m= 2 . 解析:因为a⊥b,所以a· b=-2×3+3m=0, 解得m=2. 1.数量积运算律要准确理解、应用,例如,a· b=a· c(a≠0)不 能得出b=c,两边不能约去一个向量. 2.两个向量的夹角为锐角,则有a· b>0,反之不成立;两个 向量的夹角为钝角,则有a· b<0,反之不成立. 3.a· b=0不能推出a=0或b=0,因为a· b=0时,有可能a⊥b. 4.在用|a|= 方. a2 求向量的模时,一定要把求出的a2再进行开 [小题纠偏] 1.给出下列说法: ①向量b在向量a方向上的投影是向量; ②若a· b>0,则a和b的夹角为锐角,若a· b<0,则a和b的夹角 为钝角; ③(a· b)c=a(b· c); ④若a· b=0,则a=0或b=0. 其中正确的说法有 0 个. 2.(2016· 高考北京卷)已知向量a=(1, 3),b=( 3,1), π 则a与b夹角的大小为 6 . 解析:由题意得|a|= 1+3=2,|b|= 3+1=2, a· b=1× 3+ 3×1=2 3. 2 3 3 设a与b的夹角为θ,则cos θ= = . 2×2 2 π ∵θ∈[0,π],∴θ= . 6 核心考点 互动探究 即时应用 1.若向量|a|=2sin 15° ,|b|=4sin 75° ,a与b的夹角为30° ,则 a· b等于( A ) A. 3 3 B. 2 C. 2 3 1 D. 2 3 解析:a· b=|a|· |b|cos 30° =2sin 15° ×4sin 75° × = 2 4 3sin 15°cos 15° =2 3sin 30° = 3,故选A. 2.在菱形ABCD中,对角线AC=4,E为CD的中点,则 → → AE· AC=( C ) A. 8 B.10 C.12 D.14 解析:特殊化处理,用正方形代替菱形,边 长为2 2,以A为原点,建立如图所示坐

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