实数与向量的积_图文

第五章 平面向量

第五章 平面向量
第2课时 实数与向量的积

北京大峪中学高三数学组

2012年12月29日星期六

要点·疑点·考点

第五章 平面向量

1.实数与向量的积的概念 . (1)实数λ与向量a的积记作λa,其长度|λa|=|λ||a|;方向规定如下: 当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的 方向相反;当λ=0时,λa=0. (2)设λ、μ为实数,则有如下运算律:λ(μa)=(λμ)a, (λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb 2.共线定理.向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个 实数λ,使得b=λa (a≠0) 3.平面向量基本定理 如果e1、e2是同一个平面内的两个不共线向量,那么对于这一平 面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2 , 其中e1,e2叫基底.
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基础题例题

第五章 平面向量

1.设命题p:向量b与a共线,命题q:有且只有一个实数λ,使得 B) b=λa,则p是q的( (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件
2.给出下列命题:①若a,b共线且|a|=|b|,则(a-b)∥(a+b);②已知 a=2e,b=3e,则a=3b/2;③若a=e1-e2 ,b=-3e1+3e2,且e1≠e2,则 |a|=3|b|;④在△ABC中,AD是BC上的中线,则AB+AC=2AD 其中,正确命题的序号是______ _____ ①,④ 3.(1)在平行四边形ABCD中,AB=a, AD=b,那么用a和b表示向量 AC+DB为( A ) (A)2a (B)2b (C)0 (D)a+b
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基础题例题

第五章 平面向量

4.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1, 3),若点C满足OC=αOA+βOB,其中a、β∈R,且α+β=1,则点C的 轨迹方程为( )D (A)3x+2y-11=0 (B)(x-1)2+(y-2)2=5 (C)2x-y=0 (D)x+2y-5=0 5.设P、Q是四边形ABCD对角线AC、BD中点,BC=a,DA=b,则
1 ? a?b PQ=_____________ 2

? ?

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能力·思维·方法

第五章 平面向量

6.已知OA、OB不共线,设OP=aOA+bOB,求证:A、P、B三点 共线的充要条件是a+b=1.

证明:若a+b=1, 则 AP ? OP ? OA ? (a ? 1)OA ? bOB
? b(OB ? OA) ? b AB 所以 AP 与 AB 共线,

又AP、AB共点A, 所以 A、P、B三点共线
若 A、P、B三点共线,则存在实数?使得: ? ? AB, AP 即OP ? OA ? ? (OB ? OA) 所以OP ? (1 ? ? )OA ? ? OB 因为 OA, OB 不共线, ? aOA ? bOB OP

所以1 ? ? ? a, ? ? b, 所以a ? b ? 1
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能力·思维·方法

第五章 平面向量

7.若向量 a ? (1,1), b ? (1,?1), c ? (?1,2),则 c 等于( ) B 1 3 1 3 A. ? a ? b B. a ? b 2 2 2 2 3 1 3 1 C. a ? b D. ? a ? b 2 2 2 2

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