湖北省武汉市武昌区2011届高三年级元月调研测试 数学文 扫描版_图文

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武昌区 2011 届高三年级元月调研测试 文科数学试题 文科数学试题参考答案及评分细则
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一、选择题 题号 1 D 答案 二、填空题 11.5,2

2 C 12. ?

3 A 13. π

4 D

5 A

6 B

7 A

8 C

9 B

10 A

5 2

14.12

15.①②

三、解答题: 解答题: 16. 本小题满分 12 分) (本小题满分 . ( (Ⅰ)∵ b + c ? a = bc , 解:
2 2 2

∴ cos A =

b2 + c2 ? a 2 1 = .…………4分 2bc 2

∴ A = 60 .………………6分 (Ⅱ) y = (1 + cos 2 B ) + sin 2 B cos

π
6

? cos 2 B sin

π
6

………………8分

=

3 1 π? ? sin 2 B + cos 2 B + 1 = sin ? 2 B + ? + 1 . 2 2 6? ?

………………10分

当 2B +

π
6

=

π
2

,即B=

π
6

时, y 取得最大值2.…………………12分

17.(本小题满分 12 分) ( (Ⅰ)记“摸出一球,放回后再摸出一个球,两球颜色不同”为事件 A. 解: 摸出一球是白球的概率为

2 .…………………2 分 5 3 摸出一球得黑球的概率为 . ……………………4 分 5 2 3 3 2 12 ∴ P ( A) = × + × = . ……………………5 分 5 5 5 5 25 12 答:两球颜色不同的概率是 . …………………6 分 25 3 2 3 × = .…………………9 分 5 4 10 3 7 所以至少摸出 1 个白球的概率为 1 ? = .……………………11 分 10 10 7 答:至少摸出 1 个白球的概率 .………………………12 分 10

(Ⅱ)摸出的两球均为黑球的概率为

P=

18. 本小题满分 12 分) . (本小题满分 ( 解:设 PA =

2 AB = 2 .

(Ⅰ)过 M 作 MN ⊥ AC 于 N,则 MN // PA .

∵ PA ⊥ 面 ABCD ,∴ MN ⊥ 面 ABCD .
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则 ∠MAN 为直线 AM 与平面 ABCD 所成的角. ………………2分

∵ CM = 2 MP , CN = 2 NA .
P

2 易知 AC = 2 ,∴ AN = . 3
MN 2 2 2 又 = ,∴ MN = . PA 3 3
在 Rt?AMN 中,求得 tan ∠MAN =

M F

E

A

D
N

MN = 2. AN

B

C

所以,直线 AM 与平面 ABCD 所成的角正切值为2.…………………………6分 (Ⅱ)过 A 作 AE ⊥ PD 于 E. ∵ PA ⊥ 面 ABCD , CD ? 面 ABCD ,∴ PA ⊥ CD . ∵ CD ⊥ AD ,∴ CD ⊥ 面 PAD . ∵ AE ? 面 PAD ,∴ CD ⊥ AE . ∴ AE ⊥ 面 PCD . 过 A 作 AF ⊥ PC 于 F,连结 EF . 则 ∠AFE 为二面角 A ? PC ? D 的平面角. ………………8分 易求得 AE =

2 3

, AF = 1 .
AE 6 . = AF 3

在 Rt?AEF 中,求得 sin ∠AFE =

∴ cos ∠AFE =

3 3

所以,所求二面角的余弦值为 19.(本题满分 19.(本题满分 12 分)

3 .…………………………12分 3

(Ⅰ)直线 PA 和 PB 的斜率分别为 解:

y y 与 x ≠ ± 2 ,…………2 分 x+ 2 x? 2

(

)

依题意,有

y y ? = 1, x+ 2 x? 2

即 y 2 = x 2 ? 2 ,………………………………………………………………………4 分 所求点 P 的轨迹方程为 x 2 ? y 2 = 2 x ≠ ± 2 .…………………………………………5 分 (Ⅱ)设 E ( x1 , y1 ) , F ( x2 , y2 ) ,设过点 Q (2,0 ) 的直线为 y = k ( x ? 2 ) ,…………………6 分

(

)

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将它代入 x 2 ? y 2 = 2 ,得 k 2 ? 1 x 2 ? 4k 2 x + 4k 2 + 2 = 0 .…………………7 分

(

)

? 4k 2 x1 + x2 = 2 ? ? k ?1 由韦达定理,得 ? …………………………………………………8 分 2 ? x x = 4k + 2 ? 1 2 k 2 ?1 ?
∴ CE ? CF = ( x1 ? 1, y1 ) ? ( x2 ? 1, y2 ) = ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) + y1 y2
…………………9 分

= x1 x2 ? ( x1 + x2 ) + 1 + y1 y2 = x1 x2 ? ( x1 + x2 ) + 1 + k 2 ( x1 ? 2 ) ? ( x2 ? 2 )
= (1 + k 2 ) x1 x2 ? (1 + 2k 2 ) ( x1 + x2 ) + 1 + 4k 2 = (1 + k 2 )

4k 2 + 2 4k 2 ? (1 + 2k 2 ) 2 + 1 + 4 k 2 = ?1 . 2 k ?1 k ?1

………………………10 分

当直线斜率不存在时,可得 E, F 坐标为 2, 2 , 2, ? 2 , 此时 CE ? CF = 1, 2 ? 1, ? 2 = ?1 . 故 CE ? CF 为常数 ?1 . 20. ( 20. 本小题满分 13 分) (Ⅰ)当 n = 1 时, 4 S1 = 4a1 = a12 + 2a1 ? 3 ,得 a12 ? 4a1 ? 3 = 0 , 解:

(

)(

)

(

)(

)

…………………………………………12 分

…………………………………………12 分

a1 = 3 或 a1 = ?1 ,由条件 a n > 0 ,所以 a1 = 3 .
2 2

………………2 分

(Ⅱ)当 n ≥ 2 时, 4 S n = a n + 2a n ? 3 , 4 S n ?1 = a n ?1 + 2a n ?1 ? 3 则 4 S n ? 4 S n ?1 = a n + 2a n ? 3 ? a n ?1 ? 2a n ?1 + 3 ,
2 2

所以 4a n = a n + 2a n ? a n ?1 ? 2a n ?1 , a n ? 2a n ? a n ?1 ? 2a n ?1 = 0
2 2 2 2

(a n + a n?1 )(a n ? a n?1 ? 2) = 0 ,

………………4 分 ………………5 分 ………………6 分

由条件 a n + a n ?1 > 0 ,所以 a n ? a n ?1 = 2 ,

故正数列 {an } 是首项为 3,公差为 2 的等差数列,所以 a n = 2n + 1 . (Ⅲ)由(Ⅰ) bn =

2 an ?1 = 2 2 n +1?1 = 2 n ,

a n 2n + 1 = ,………………8 分 bn 2n
①………………9 分

∴ Tn =

3 5 7 2n ? 1 2n + 1 + 2 + 3 + ? + n?1 + . 2 2 2 2 2n

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将上式两边同乘以

1 ,得 2 1 3 5 7 2n ? 1 2n + 1 Tn = 2 + 3 + 4 + ? + + n+1 . 2 2 2 2 2n 2

② ……………10 分

①—②,得

1 3 2 2 2 2n + 1 5 2 n + 5 ∴ Tn = + 2 + 3 + ? + n ? n +1 = ? n +1 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2n + 5 即 Tn = 5 ? .…………12 分 2n 2n + 5 ∵ n ∈ N ? ,∴ n > 0. 2 2n + 5 ∴ Tn = 5 ? < 5 .………………13 分 2n
21. ( 21. 本小题满分 14 分) 解: f ′ ( x ) = 6 x ? 6 ( a + 3 ) x + 18a = 6 ( x ? 3)( x ? a ) .
2

(Ⅰ)当 a = ?1 时, f ′ ( x ) = 6 ( x ? 3)( x + 1) .………………1 分 令 f ′( x ) > 0 ,得 x < ?1 或 x > 3 . 所以 f ( x ) 在 (? ∞,?1) 或 (3,+∞ ) 上单调递增,在 (? 1,3) 上单调递减. 当 x = ?1 时, f ( x )极大 = f ( ?1) = 18 . 当 x = 3 时, f ( x )极小 = f ( 3) = -46 .………………4 分 (Ⅱ)依题意: f ′ ( x ) = 6 ? x 2 ? ( a + 3) x + 3a ? ≤ 0 在 x ∈ [1, 2] 恒成立. ………………5 分 ? ?

3x ? x2 因 x ∈ [1, 2] , ( 3 ? x ) > 0 ,故 a ≤ = x 在 x ∈ [1, 2] 恒成立, 3? x
所以 a ≤ xmin = 1 .……………………………8 分 (Ⅲ)显然, x = 3, x = a 是极值点. 依题意,当方程 f ( x ) = 0 有三个不等的正实数解时,有:

?a > 0, ? ? f (a ) f (3) < 0,
即?

?a > 0, …………………………………12 分 ?(19a ? 27 )(? a )(a ? 1)(a ? 8) < 0,
27 或a > 8 为所求.……………………………………………………………14 分 19
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∴1 < a <

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