圆锥曲线的切线方程和切点弦方程的证明

第一种方法:判别式法。

点 P(x0, y0)在椭圆上,可以设 P 点的切线方程为 y ? y0 = (x ? x0)
代入椭圆方程,利用判别式等于 0,解出 k。

第二种方法:隐函数求导

x2 y2 a2 + b2 = 1 2x 2yy′ a2 + b2 = 0

x

yy′

a2 = ? b2

y′

=

?

b2x a2y

点 p(x0, y0)

处切线斜率为?

b2x0 a2y0

切线方程为y

?

y0

=

?

b2x0 a2y0

(x

?

x0)

a2y0y ? a2y02 = ?b2x0(x ? x0)

a2y0y + b2x0x = b2x02 + a2y02

因为点

p(x0,

y0)在椭圆上,xa022

+

y02 b2

=

1

所以 b2x02 + a2y02 = a2b2

所以 a2y0y + b2x0x = b2x02 + a2y02 = a2b2

x0x a2

+

y0y b2

=

1

同理双曲线点 P(x0, y0)处的切线方程为

x0x a2

?

y0y b2

=

1

抛物线点 P(x0, y0)处的切线方程为

y0y = p(x + x0)

下面证明椭圆外一点 P(x0, y0)向椭圆做两条切线 PA 和 PB,切点

为 A(x1, y1)B(x2, y2)切点弦所在的直线方程为

x0x a2

+

y0y b2

=

1

切线 PA 的方程和切线 PB 的方程分别为

x1x xa22x a2

+ +

y1y yb22y b2

= =

1 1

两式相减得

x(x1 ? a2

x2

)

=

?

y(y1 ? a2

y2)

?b2x a2y

=

(y1 (x1

? ?

y2) x2)

因为点 P(x0, y0)是两条切线的交点

所以?ab22yx00

=

(y1?y2) (x1?x2)

所以直线

AB

的斜率k

=

?b2x0 a2y0

直线 AB 的点斜式方程为

两式相加得

y

?

y1

=

?

b2x0 a2y0

(x

?

x1)

y

?

y2

=

?

b2x0 a2y0

(x

?

x2)

2y

?

(y1

+

y2)

=

?

b2x0 a2y0

[2x

?

(x1

+

x2)]

切线 PA 的方程和切线 PB 的方程分别为

x1x xa22x a2

+ +

y1y yb22y b2

= =

1 1

两式相加得

x(x1 + a2

x2)

=

y(y1 + a2

y2)

+

2

y1

+

y2

=

b2x0(x1

+ x2) a2y0

?

2a2b2

把y1 + y2 代入

2y

?

(y1

+

y2)

=

?

b2x0 a2y0

[2x

?

(x1

+

x2)]

化简后得

x0x a2

+

y0y b2

=

1

同理过双曲线外一点 P(x0, y0)向双曲线做两条切线 PA 和 PB,切

点为 A(x1, y1)B(x2, y2)切点弦所在的直线方程为

x0x a2

?

y0y b2

=

1

同理过抛物线外一点 P(x0, y0)向抛物线做两条切线 PA 和 PB,切

点为 A(x1, y1)B(x2, y2)切点弦所在的直线方程为

y0y = p(x + x0)


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