【高二数学】二面角练习题(共4页)

周练六 1. 如图, 已知在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 三个 王新敞 奎屯 新疆 侧棱都是矩形,点 D 为 AB 的中点 C1 A1 B1 AC ? 3, BC ? 4, AB ? 5, AA1 ? 4 , (Ⅰ) 求证 AC ? BC1 ; (Ⅱ) 求证 AC1 平面CDB1 ; (Ⅲ) 求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值 C A 王新敞 奎屯 新疆 B D 2.如图,已知正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在平面成 60 的二面角,求直线 BD 与平面 ABEF 所成角的正弦值。 C D B A F E 0 3.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,求: (1)面 A1ABB1 与面 ABCD 所成角的大小; (2)二面角 C1—BD—C 的正切值 (3)二面角 B1 ? BC1 ? D D1 A1 B1 D A B C1 C P 4.过正方形 ABCD 的顶点 A 作 PA ^ 平面ABCD , 设 PA=AB=a,(1)求二面角 B (2)求二面角 C-PD-A PC - D 的大小; A D B C 5. 如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,∠BCD=60°,E 是 CD 的中点,PA⊥底面 ABCD,PA= 3 .(1) 证明: BE⊥平面 PAB; (2) 求二面角 A-BE-P 的大小 (3)PB 与面 PAC 的角 P D A B E c 6 如 图 , 在 底 面 为 直 角 梯 形 的 四 棱 锥 P ? ABCD中, AD // BC, ?ABC ? 90?, PA ? 平面ABCD , PA ? 3, AD ? 2, AB ? 2 3 ,BC=6 (1) 求证: BD ? 平面PAC; (2) 求二面角 P ? BD ? A 的大小. (3)求二面角 B-PC-A 的大小 7.如图,直二面角 D—AB—E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,AE=EB,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. (Ⅰ)求证 AE⊥平面 BCE; C D (Ⅱ)求二面角 B—AC—E 的大小; (Ⅲ)求点 D 到平面 ACE 的距离. A E F B 8. 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形.已知 AB ? 3 , AD ? 2 , P . PA ? 2 , PD ? 2 2 ,∠PAB ? 60 (Ⅰ)证明 AD ? 平面 PAB ; (Ⅱ)求异面直线 PC 与 AD 所成的角的大小; A D (Ⅲ)求二面角 P ? BD ? A 的正切值. B C 高中数学联赛几何定理 梅涅劳斯定理 BF AE CD ? ? ? 1。 FA EC BD BF AE CD ? 1, 逆定理:一直线截△ABC 的三边 BC,CA,AB 或其延长线于 D,E,F 若 ? ? FA EC BD 一直线截△ABC 的三边 BC,CA,AB 或其延长线于 D,E,F 则 则 D,E,F 三点共线。 塞瓦定理 BD CE AF ? ? =1。 DC EA FB BD CE AF 逆定理:在△ ABC 的边 BC,CA,AB 上分别取点 D,E,F,如果 ? ? =1, DC EA FB 在△ABC 内任取一点 O,直线 AO、BO、CO 分别交对边于 D、E、F,则 那么直线 AD,BE,CF 相交于同一点。 托勒密定理 ABCD 为任意一个圆内接四边形,则 AB ? CD ? AD ? BC ? AC ? BD 。 逆定理:若四边形 ABCD 满足 AB ? CD ? AD ? BC ? AC ? BD ,则 A、B、C、D 四点共 圆 西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线,则三垂足共线。 (此线常称为 西姆松线) 。西姆松定理的逆定理为:若一点在三角形三边所在直线上的射影共线,则该点 在此三角形的外接圆上。 相关的结果有: (1)称三角形的垂心为 H。西姆松线和 PH 的交点为线段 PH 的中点,且这点在九点圆上。 (2)两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。 (3)若两个三角形的外接圆相同,这外接圆上的一点 P 对应两者的西姆松线的交角,跟 P 的位置无关。 (4) 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 斯特瓦尔特定理 设已知△ABC 及其底边上 B、C 两点间的一点 D,则有 AB ·DC+AC ·BD-AD ·BC=BC·DC·BD。 2 2 2 三角形旁心 1、旁切圆的圆心叫做三角形的旁心。 2、与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆。 费马点 在一个三角形中,到 3 个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。 (1)若三角形 ABC 的 3 个内角均小于 120° , 那么 3 条距离连线正好平分费马点所在的周 角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。 (2)若三角形有一内角不小于 120 度,则此钝角的顶点就是距离和最小的点。 判定(1)对于任意三角形△ ABC,若三角形内或三角形上某一点 E,若 EA+EB+EC 有最小 值,则 E 为费马点。费马点的计算 (2)如果三角形有一个内角大于或等于 120° ,这个内角的顶点就是费马点;如果 3 个内角 均小于 120° ,则在三角形内部对 3 边张角均为 120° 的点,是三角形的费马点。 九点圆:三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点(连结三角形各顶点与垂心所得三线 段的中点)九点共圆。通常称这个圆为九点圆(nine-point circle) , 欧拉线:三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三 角形的欧拉线。 几何不等式 1 托勒密不等式:任意凸四边形 ABCD 四点共圆时取等号

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