第一部分 第3章 3.2 3.2.1 第二课时 对数的运算性质及换底公式_图文

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3.2 3.2.1

对数函数 对数

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第二课时

对数的运算性质及换底公式

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[例 1] 计算下列各式的值: (1)lg25+lg 2·lg 5+lg 2; 32 (2)2log32-log3 +log38-5log53; 9 2 (3)lg 25+ lg 8+lg 5·lg 20+lg2 2; 3 (4)(1-log62)2+log62·log618+lg 10-ln e2.

[思路点拨]

利用对数的运算性质,将式子

转化为只含一种或几种真数的形式再进行计算. 返回

[精解详析]

(1)原式=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2

=lg 5·lg(5×2)+lg 2 =lg 5+lg 2=lg 10=1. (2)原式=2log32-(log332-log39)+3log32-3 =2log32-5log32+2+3log32-3=-1. (3)原式=2lg 5+2lg 2+lg 10 ·lg(2×10)+lg2 2 2

=2lg(5×2)+(1-lg 2)· 2+1)+lg2 2 (lg =2+1-lg 22+lg 22=3.

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(4)(log66-log62)2+log62·log6(2×32)
? 6 ?2 =?log62? +log62·(log62+log632) ? ?
2 =log23+log62+2log62·log63 6

=(log63+log62)2=1. 1 又 lg 10= ,ln e2=2, 2 1 1 ∴原式=1+ -2=- . 2 2

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[一点通]

利用对数的运算性质解题时,应根据所

求式子的结构,对真数进行分解或合并,常见的方法有 两种:一种是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数 的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商,然后化

简求值;另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商
运用对数的运算性质将它们化为真数的积、商、幂、方 根,然后化简求值.

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1.计算(lg 2)2+lg 2 lg 50+lg 25=________.

解析:原式=lg 2(lg 2+lg 50)+lg 25
=lg 2 lg 100+lg 52=2lg 2+2lg 5=2lg 10=2.

答案:2

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2.已知 lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,求 lg 45.
1 1 1 解析:lg 45= lg(5×9)= lg 5+ lg 9 2 2 2 1 1 = (1-lg 2)+ lg 32 2 2 1 1 = - lg 2+lg 3 2 2 1 1 ≈ - ×0.301 0+0.477 1=0.826 6. 2 2

答案:0.826 6. 返回

7 3.求值:(1)lg 14-2lg +lg 7-lg 18; 3 lg lg 243 (2) ;(3) lg 9 27+lg 8-3lg lg 1.2 10 .

解:(1)法一(公式的正向运用): 原式=lg (2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg(32×2) =lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2 =0.

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法二(公式的逆向运用): 7 原式=lg 14-lg( )2+lg 7-lg 18 3 14×7 =lg =lg 1=0. 7 2 ( ) ×18 3

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lg 35 5lg 3 5 (2)原式= = . 2= lg 3 2lg 3 2 lg(3 ) +lg 2 -3lg 10 (3)原式= 3×22 lg 10 3 (lg 3+2lg 2-1) 2 3 = = . 2 lg 3+2lg 2-1
3
1 2

3

1 2

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[例2]

已知log189=a,18b=5,试用a,b表示

log3645.
[思路点拨] 利用换底公式,把题目中不同底的

对数化成同底的对数,再进一步应用对数的运算性质求
值.

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[精解详析] 法一: ∵log189=a,18b=5, ∴log185=b, 于 是 log18(9×5) log1845 log3645 = = = log1836 log18(18×2)

log189+log185 a+b a+b = = . 18 2-a 1+log182 1+log18 9 法二:∵log189=a,18b=5,∴log185=b. log18(9×5) log189+log185 a+b 于是 log3645= = = . 182 2log1818-log189 2-a log18 9

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法三:∵log189=a,18b=5, ∴lg 9=alg 18,lg 5=blg 18. lg 9+lg 5 lg 45 lg(9×5) ∴log3645= = = = lg 36 182 2lg 18-lg 9 lg 9 alg 18+blg 18 a+b = . 2lg 18-alg 18 2-a

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[一点通]

(1)换底公式的主要用途在于将一般对数化为常用对
数或自然对数,解决一般对数求值问题.

(2)换底公式的本质是化同底,这是解决对数问题的
基本方法.

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4.若logab= logba(a≠b),则ab等于________.
lg b lg a 解析:由 = ,得 lg a=lg b 或 lg a=-lg b. lg a lg b 1 解得 a=b(舍去),a= ,即 ab=1. b

答案:1

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5.已知lg 2=a,lg 7=b,用a,b表示log498.
lg 98 lg 49+lg 2 解:log498= = lg 4 2lg 2 2lg 7+lg 2 = , 2lg 2 2b+a ∵lg 2=a,lg 7=b,∴log498= . 2a

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6.计算:(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258).
log225 log25 log54 解:法一:原式=(log25 + + )· 52+ (log + log24 log28 log525
3

log58 ) log5125 2log25 log25 2log52 3log52 =(3log25+ + )(log52+ + ) 2log22 3log22 2log55 3log55 1 log22 =(3+1+ )log25·(3log52)=13log25· =13. 3 log25

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lg 125 lg 25 lg 5 lg 2 lg 4 lg 8 法二:原式=( + + )( + + ) lg 2 lg 4 lg 8 lg 5 lg 25 lg 125 3lg 5 2lg 5 lg 5 lg 2 2lg 2 3lg 2 =( + + )( + + ) lg 2 2lg 2 3lg 2 lg 5 2lg 5 3lg 5 13lg 5 lg 2 =( )(3 )=13. 3lg 2 lg 5

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[例 3] 设 x,y,z 均为正数,且 3x=4y=6z. 1 1 1 求证: - = . z x 2y

[思路点拨]

由条件可知,可以令3x=4y=6z=k,

用k分别表示出x,y,z.然后再代入进行证明.

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[精解详析] 设 3x=4y=6z=k, 因为 x,y,z 均为正数,所以 k>1. 1 1 1 所以 x=log3k= ,y=log4k= = , logk3 logk4 2logk2 1 z=log6k= , logk6 1 1 1 所以 + =logk3+logk2=logk6= , x 2y z 1 1 1 即 - = . z x 2y

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[一点通]

在证明恒等式或进行对数值运算时,多

借助于换底公式化为同底的对数,至于底数取什么数值,

一般是根据已知条件灵活选取.

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x 7.已知 2 =5 ,则 的值为________. y
x y

解析:令 2x=5y=k(k>0), 则 x=log2k,y=log5k, x log2k logk5 ∴ = = =log25. y log5k logk2

答案:log25

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1 2 3 1 1 8.设 A= + + ,B= + , log519 log319 log2 19 log2 π log5 π 试比较 A 与 B 的大小.

解:利用换底公式,可得 A=log195+2log193+3log192=log19360,B=logπ2+logπ 5 =logπ 10. ∵log19360<log19192,logπ 10>logππ 2, ∴log19360<2,logπ 10>2, ∴A<B.

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[例4]

2011年我国国民生产总值为a亿元,如果年

平均增长8%,那么经过多少年,我国国民生产总值是

2011年的2倍?(已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,
lg 1.08≈0.033 4.精确到1年) [思路点拨] 认真分析题意,找出其中各量之间的

关系,列出式子,并利用对数运算求解. 返回

[精解详析] 设经过 x 年,我国国民生产总值是 2011 年的 2 倍. 经过 1 年,总产值为 a(1+8%), 经过 2 年,总产值为 a(1+8%)2. ??

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经过 x 年,总产值为 a(1+8%)x. 由题意得 a(1+8%)x=2a,即 1.08x=2, 两边取常用对数,得 lg 1.08x=lg 2, lg 2 0.301 0 则 x= ≈ ≈9(年). lg 1.08 0.033 4

答:约经过9年,国民生产总值是2011年的2倍.

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[一点通]

解对数应用题的步骤

(1)理解题意,弄清各字母的含义;
(2)恰当地设未知数,建立数学模型,即已知ax= N(a,N是常数,且a>0,a≠1),求x; (3)在ax=N两边取以a为底的对数得x=logaN. (4)还原为实际问题,归纳结论.

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9.通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级,其计算

公式是M=lg A-lg A0,其中,A是被测地震的最大
振幅,A0是“标准地震”的振幅,M为震级,则7级地 震的最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍?

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解:M=7 时,7=lg A1-lg A0, A1 ∴ =107,即 A1=107A0;当 M=5 时,A2=105A0, A0 A1 107A0 ∴ = 5 =100(倍). A2 10 A0 因此 7 级地震的最大震幅是 5 级地震最大振幅的 100 倍.

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10.我们都处于有声世界里,不同场合,人们对音量会有不同 的要求.音量大小的单位是分贝(dB),对于一个强度为 I 的 声波,分贝的定义是:y=10lg 音的最低声波强度,I0=10
- 12

I .这里 I0 是人耳能听到的声 I0 w/m2,当 I=I0 时,y=0.

(1)如果 I=1 w/m2,求相应的分贝值; (2)70 dB 时声音强度 I 是 60 dB 时声音强度 I′的多少倍?

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解:(1)∵I=1 w/m2, I 1 12 ∴y=10lg =10lg -12=10lg 10 =120(dB). I0 10 I I I (2)由 70=10lg ,得 lg =7,∴ =107. I0 I0 I0 I′ I′ I′ 又由 60=10lg ,得 lg =6,∴ =106. I0 I0 I0 I 107 ∴ = 6=10,即 I=10I′. I′ 10

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1.对于底数相同的对数式的化简,常用的方法是 (1) “收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对 数; (2) “拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差). 对数的化简求值一般是正用或逆用公式,对真数进行 处理,选哪种策略化简,取决于问题的实际情况,一般本 着便于真数化简的原则进行.

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2.根据对数的换底公式,可得出下列结论. m (1)loganb = logab(a>0,a≠1,b>0,m∈R,n∈R 且 n
m

n≠0); (2)logab·logbc· cd=logad(a>0,b>0,c>0,d>0,a≠1, log b≠1,c≠1).

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