山东省潍坊市寿光现代中学2009级高三数学第一次阶段性检测 理

寿光现代中学 2009 级高三第一次阶段性检测高三数学理科试题

本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的.

1.设全集 U=R,集合 M={x|y= 3 ? 2x },N={x|y=3-2x},则图中阴影部分表示的集合是

A.{ x | 3 < x ? 3} 2

B. { x | 3 <x<3} 2

C. { x | 3 ? x <2} 2

D. { x | 3 <x<2} 2

π
?2. 2 ( x-sin x)dx 等于 0

A. π2 -1 4

B. π2 -1 8

C. π2 8

D. π2 +1 8

3.设

函数

f(x)=

?x2 ? 4x ? 6, x ???x ? 6, x ? 0

?

0

,则不等式

f(x)<

f(-1)的解集是

A.(-3,-1) (3,+ ?

B. (-3,-1) (2,+ ? )

C. (-3, + ? )

D. (- ? ,-3) (-1,3)

4.函数 f(x)=2x3-6 x2+7 在(0,2)内零点的个数为

A.0

B. 1

C. 2

D. 4

5.已知命题 p : ?x ?R,x2+3x+m>0,则“m< 9 ”是“命题 p 为假命题”的 4

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条



6.已知 ABC 中,a= 2 , b= 3 ,B= 60? ,那么角 A 等于

A.135? 或 45?

B.150? 或 30?

C. 90?

D. 45?

7.已知 p : ?x ?R,mx2+2 ? 0, q : ?x ? R,x2-2mx+1>0,若 p ? q 为假命题,则实数 m 的取值范

围是 A.[1,+∞)

B.(-∞,-1SDGK

C.( -∞,-2SDGK

D. [-1,1SDGK

8.为了得到函数 y ? sin 2x ? cos 2x 的图象,只需把函数 y ? sin 2x ? cos 2x 的图象

A.向左平移 π 个单位长度 4
C.向左平移 π 个单位长度 2

B.向右平移 π 个单位长度 4
D.向右平移 π 个单位长度 2

用心

爱心

专心

-1-

9.若函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 有极值,则导函数 f ? (x)的图 象不可能是

10.设偶函数 f(x)对任意 x ? R,都有 f(x+3)=- 1 ,且当 x ? [-3,-2SDGK 时,f(x)=4 x,则 f (x)

f(107.5) =

A. 10

B. 1 10

C.-10

11.已知

f(x)=

???2 ?

x,

(?1

?

x

?

0)

,则下列函数的图象错误的是

?? x ,(0 ? x ? 1)

D.- 1 10

12.已知函数 y ? loga (x ?1) ? 3(a ? 0 且 a ? 1) 的图象恒过定点 P,若角? 的终边经 过点 P,

则 sin2 ? ? sin 2? 的值等于

A. 3 13

B. 5 13

C.- 3 13

D.- 5 13

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在题中线上.

13.若 sin(π ? ?) ? 1 ,? ?(? π ,0) ,则 tan? =

.

2

2

14.如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C,使 C 在底 B 的

正东方向上,测得点 A 的仰角为 60? ,再由点 C 沿北偏东15? 方向走 10 米

到位置 D,测得 ?BDC ? 45? ,则塔 AB 的高是

米.

15.已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切,则 a 的值为

.

16.下列四个命题:

①命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是“若 a=0,则 ab ? 0”;

用心

爱心

专心

-2-

②若命题 p : ?x ?R,x2+ x +1<0,则 ?p : ?x ? R,x2+ x +1 ? 0;

③若命题“ ?p ”与命题“p 或 q”都是真命题,则命题 q 一定是真命题;

④命题“若 0<a<1,则 loga(a +1)<loga(1+ 1 )”是真命题 a

其中正确命题的序号是

.(把所有正确命题序号都填上)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分 12 分)

已知函数 f(x)=Asin(?x ? ? )(其中 A>0,? ? 0,0 ? ? ? π )的图象与 x 轴的交点中,相邻两 2

个交点之间的距离为 π ,且图象上一个最低点为 M( 2π ,-2).

2

3

(1)求 f(x)的解析式;

(2)当 x ?[ π , π] 时,求 f(x)的值域. 12 2

18.(本小题满分 12 分)

已知函数

f(x)=

ax ? b 1? x2

是定义在(-1,1)上的奇函数,且

f

(1) 2

?

2 5

.

(Ⅰ)求函数 f(x)的解析式;

(Ⅱ)用定义证明 f(x)在(-1,1)上是增函数;

(Ⅲ)解不等式 f(t-1)+ f(t)<0.

19.(本小题满分 12 分)
在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=2,cosB= 4 . 5
(1)若 b=3,求 sinA 的值;
(2)若 ABC 的面积 S△ABC =3,求 b,c 的值.

20.(本小题满分 12 分) 某商店预备在一个月内分批购入每张价值为 20 元的书桌共 36 台,每批都购入 x 台(x 是正整 数),且每批均需付运费 4 元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值 (不含运费)成正比,若每批购入 4 台,则该月需用去运费和保管费共 52 元,现在全月只有 48 元资金可以用于支付运费和保管费. (1)求该月需用去的运费和保管费的总费用 f(x); (2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.

用心

爱心

专心

-3-

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= x2+aln x. (1)当 a=-2 时,求函数 f(x)的单调区间和极值;
(2)若 g(x)= f(x)+ 2 在[1, ?? SDGK 上是单调增函数,求实数 a 的取值范围. x
22.(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)= 1 x3- ax2+( a2-1)x+b(a,b? R). 3
(1)若 x=1 为 f(x)的极值点,求 a 的值; (2)若 y= f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为 x+y-3=0,求 f(x)在区间[-2,4SDGK 上的最大值;
(3)当 a ? 0 时,若 f(x)在区间(-1,1)上不单调,求 a 的取值范围.

一、BBABA DAADB DC

参考答案 2011.10

二、13. - 3 3

14. 10 6

15. 2 16. ②③

三、17.解析:(1)由最低点为 M( 2π ,-2)得,A=2. 3

由 x 轴上 相邻的两个交点之间的距离为 π 得, T = π ,即 T= π ,所以? ? 2π ? 2π ? 2 . (3

2 22



分)

由点 M( 2π ,-2)在函数 f(x)的图象上得,2sin(2 ? 2π ? ? )=-2,即 sin( 4π ? ? )=-1.

3

3

3

故 4π ? ? ? 2kπ ? π , k ?Z,所以? ? 2kπ ? 11π ( k ?Z).

3

2

6

(5 分)

又? ? (0, π ) ,所以? ? π ,故 f(x)的解析式为 f(x)= 2sin(2x ? π ) .

2

6

6

(2)因为 x ?[ π , π ] ,所以 2x ? π ?[ π , 7π ] .

12 2

6 36

(7 分)

当 2x ? π ? π ,即 x ? π 时,f(x)取得最大值 2;

62

6

(9 分)

当 2x ? π ? 7π ,即 x ? π 时,f(x)取得最小值-1.

66

2

(11 分)

故函数 f(x)的值域为[-1,2SDGK. (12 分)

(6 分)

18.(1)解: f ( x) 是(-1,1)上的奇函数

用心

爱心

专心

-4-

? f (0) ? 0 ?b ? 0

(1 分)

又 f (1) ? 2 25

?

1a 2

?2

1? (1)2 5

2

?

f

(

x)

?

1

x ?x

2

?a ? 1 (2 分)
(4 分)

(2)证明:任设 x1、x2? (-1,1),且 x1 ? x2



f

( x1) ?

f

(x2 )

?

x1 1 ? x12

?

1

x ?

2 x22

?

( x1 ? x2 )(1 ? x1x2 ) (1 ? x12 )(1 ? x22 )

?1 ? x1 ? x2 ? 1

??1 ? x1x2 ? 1

? x1 ? x2 ? 0 , 且1 ? x1x2 ? 0

又1 ? x12 ? 0,1 ? x22 ? 0

即 f (x1) ? f ( x2 )

(7 分)

? f (x) 在(-1,1)上是增函数 (8 分)

(6 分)
? f (x1) ? f (x2 ) ? 0

(3) f (x) 是奇函数 ?不等式可化为 f (t ?1) ? ? f (t) ? f (?t)

即 f (t ?1) ? f (?t)

(9 分)

又 f (x) 在(-1,1)上是增函数

??1 ? t ?1 ? 1

?有 ???1 ? t ? 1 ??t ? 1 ? ?t

解之得 O ? t ? 1 2

(11 分)

?不等式的解集为{t | O ? t ? 1} 2

(12 分)

19.解析:(1)因为 cos B ? 4 ,且 0 ? B ? π ,所以 sin B ? 1? cos2 B ? 3 .

(2

5

5

分)

由正弦定理 a ? b ,得 sin A ? a sin B ? 2 .

(6

sin A sin B

b5

分)

(2)因为 S△ABC = 1 ac sin B ? 3, 所以 1 ? 2c ? 3 ? 3.所以 c=5.

(9

2

2

5

分)

用心

爱心

专心

-5-

由余弦定理,得 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? 22 ? 52 ? 2 ? 2 ? 5 ? 4 ? 13 .所以 b ? 13 . (12 分) 5

20.解析:(1)设题中比例系数为 k,若每批购入 x 台,则共需分 36 批,每批价值为 20x 元. x

由题意,知 f (x) ?36 4 ? k 20x, x

由 x=4 时,y=52 得 k ? 16 ? 1 , 80 5

(5 分)

? f (x) ? 144 ? 4x(0 ? x ? 36, x ?N*). x

(6 分)

(2)由(1)知 f (x) ? 144 ? 4x(0 ? x ? 36, x ?N*), x

? f (x) ? 2 144 ? 4x ? 48 (元). x

(10 分)

当且仅当 144 ? 4x ,即 x=6 时,上式等号成立. x
故只需每批购入 6 张 书桌,可以使资金够用. (12 分)

21.解析:(1)易知函数 f (x) 的定义域为( 0, ?? ). (1 分)

当 a=-2 时, f (x) ? x2 ? 2ln x, f ?( x) ? 2 x ? 2 ? 2( x ?1)( x ?1) .

x

x

当 x 变化时, f ?(x) 和 f (x) 的变化情况如下表:

(4 分)
由上表可知,函数 f (x) 的单调递减区间是(0,1)单调递增区间是(1,?? ),极小值是 f (1) ? 1.

(2)由

g(x)

?

x2

?

a ln

x

?

2 x

,得

g?( x)

?

2x

?

a x

?

2 x2

.

(6 分)
(7
分)

若函数 g(x) 为[1, ?? )上的单调增函数,则 g?(x) ? 0 在[1, ?? )上恒成立,即不等式

2x

?

2 x2

?

a x

?

0

在 [1 ,

??

SDGK

上 恒 成 立 . 也 即 a ? 2 ? 2x2 在 [1, x

?? ) 上 恒 成 立 .

(9

分)

令?(x)

?

2 x

?

2x2

,则 ? ?( x)

?

?

2 x2

?

4x.

用心

爱心

专心

-6-



x ?[1, ??) 时,??(x)

?

?

2 x2

?

4x

?

0,

??(x) ? 2 ? 2x2 在[1, ?? )上为减函数, x

?? ( x) = max ?(1) ? 0.

?a ? 0 ,即 a 的取值范围为[0, ?? ).

22.解析:(1) f ?(x) ? x2 ? 2ax ? a2 ?1

(10 分) (12 分)

x ? 1是 f (x) 的极值点 ? f ?(1) ? 0, 即 a2 ? 2a ? 0

解得 a ? 0,或 a ? 2.
经检验知都符合题意.

(2) (1, f (1))在 x ? y ? 3 ? 0 上 ? f (1) ? 2

(1, 2) 在 y ? f (x) 的图象上, ?1 ? a ? a2 ?1? b ? 2 3
又 f ?(1) ? ?1 ?1? 2a ? a2 ?1 ? ?1

由①②解得 a ? 1,b ? 8 3

? f (x) ? 1 ? x3 ? x2 ? 8

3

3

由 f ?(x) ? x2 ? 2x ? 0 知 x ? 0和 x ? 2是 f (x) 的极值点

f (0) ? 8 , f (2) ? 4 , f (?2) ? ?4, f (4) ? 8

3

3

? f (x) 在区间[-2,4SDGK 上的最大值为 8.

(3 分) (4 分) ① ②
(7 分)
(9 分)

(3) f (x) 在(-1,1)上不单调

? f ?(x) 在(-1,1)上必存在零点

而 f ?(x) ? x2 ? 2ax ? a2 ?1 ? [x ? (a ?1)][x ? (a ? 1)] ? 0 的两根为 a ?1,a ?1,

且 (a ?1) ? (a ?1) ? 2 ?在区间(-1,1)上不可能有两个零点, ? f ?(?1) f ?(1) ? 0

即 a2(a ? 2)(a ? 2) ? 0

(12 分)

a ? 0 ?a2 ? 0

用心

爱心

专心

-7-

?(a ? 2)(a ? 2) ? 0 ??2 ? a ? 2 ,且 a ? 0. ? a 的取值范围为 (?2,0) (0, 2)

(14 分)35

用心

爱心

专心

-8-


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