高一数学人教A版必修1教学课件:1.3.2.2_第2课时_函数奇偶性的应用_图文

第2课时

函数奇偶性的应用

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

1.利用函数奇偶性求 1.巩固函数奇偶性概念. 函数解析式.(重点) 2.能利用函数的单调性、 2.注意函数性质的综 奇偶性解决有关问题. 合运用.(难点)

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

1.函数奇偶性的概念 (1)偶函数的定义 任意 如果对于函数f(x)的定义域内的____一个x,都 f(-x)=f(x) 有____________,那么称函数y=f(x)是偶函数. (2)奇函数的定义 如果对于函数f(x)的定义域内的_____一个x,都 任意 f(-x)=-f(x) 有_____________,那么称函数y=f(x)是奇函数.

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

1.奇、偶函数的图象 y轴 (1)偶函数的图象关于____对称. 原点 (2)奇函数的图象关于____对称. 2.函数奇偶性与单调性(最值)之间的关系 (1)若奇函数f(x)在[a,b]上是增函数,且有最 增函数 大值M,则f(x)在[-b,-a]上是______,且有 最小值-M ___________. (2)若偶函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,则f(x) 增函数 在(0,+∞)上是______.

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

1.下列函数,既是偶函数,又在区间(0,+∞) 上是减函数的是( ) 1 A.f(x)=-x B.f(x)=-x2 C.f(x)=x3 D.f(x)=x2
解析: 由偶函数定义,f(-x)=f(x)知,f(x) =-x2,f(x)=x2是偶函数, 又在(0,+∞)上是减函数,∴f(x)=-x2符合 条件,故选B. 答案: B
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引

2.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)= f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(7)=( ) A.-2 B.2 C.-98 D.98 解析: ∵f(x+4)=f(x), ∴f(7)=f(3+4)=f(3) =f[4+(-1)]=f(-1). 又∵f(-x)=-f(x), ∴f(-1)=-f(1)=-2×12=-2, ∴f(7)=-2,故选A. 答案: A
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引

3.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0 时,f(x)=x2-2x,则f(x)在R上的表达式为 ________.

解析: 当 x<0 时,-x>0, 2 ∴f(-x)=x +2x.又 f(x)是奇函数, 2 ∴f(x)=-f(-x)=-x -2x. ?x2-2x, x≥0, ∴f(x)=? 2 ?-x -2x,x<0. ?x2-2x, ?x≥0?, 答案: f(x)=? -x2-2x,?x<0?. ?
必修1 第一章 集合与函数的概念
栏目导引

4.函数y=f(x)是偶函数,且在(-∞,0]上为 增函数,试比较f(-2)与f(1)的大小. 解析: ∵f(x)是偶函数, ∴f(1)=f(-1) 又∵f(x)在(-∞,0]上为增函数,-2<-1 ∴f(-2)<f(-1)=f(1) 即f(-2)<f(1)

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

利用函数奇偶性作函数图象 设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5],当 x∈ [0,5]时,函数 y=f(x)的图象如图所示,(1)作出 函数在[-5,0]的图象; (2)使函数值 y<0 的 x 的取值集合.

必修1 第一章

集合与函数的概念

栏目导引

由题目可获取以下主要信息:①f?x?是[-5,5] 上的奇函数;②f?x?在[0,5]上图象已知.,解答 本题可先利用奇函数的图象关于原点对称, 作出f?x?的图象,再利用图象解不等式.

必修1 第一章

集合与函数的概念

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[解题过程] 利用奇函数图象的性质,画出函 数在[-5,0]上的图象,直接从图象中读出信 息. 由原函数是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的 图象关于坐标原点对称,由y=f(x)在[0,5]上的 图象,知它在[-5,0]上的图象,如图所示.由 图象知,使函数值y<0的x的取值集合为(- 2,0)∪(2,5).

必修1 第一章

集合与函数的概念

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[题后感悟] 本题利用奇函数图象的特点,作 出函数在区间[-5,0]上的图象,利用图象求出 满足条件的自变量x的取值集合.数形结合是 研究函数的重要方法,画函数图象是学习数学 必须掌握的一个重要技能,并能利用函数图象 理解函数的性质.

必修1 第一章

集合与函数的概念

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1.如图给出了偶函数 y=f(x)(x∈R) 的局部图象, (1)画出 x>0 部分的局部图象.

(2)求 f(3),并比较 f(1)与 f(3)的大小.

必修1 第一章

集合与函数的概念

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解析: 因为函数y=f(x)为偶函数,其图象关 于y轴对称,故保留y=f(x)在(-∞,0]上的图象, 在[0,+∞)上作y=f(x)关于y轴对称的图象,如 图所示,即得函数y=f(x),x∈R的图象.由图 象知f(3)=-2,f(1)=-1,所以f(1)>f(3).

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利用函数奇偶性求解析式 已知 f(x)是 R 上的奇函数,当 x∈(0,+ ∞)时,f(x)=x2+x-1,求 f(x)的解析式.
设x<0,则-x>0,代入f?x?的解析式利用奇 偶性即可得到结论.

必修1 第一章

集合与函数的概念

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[解题过程] 设 x<0,则-x>0. ∴f(-x)=(-x)2+(-x)-1. 2 ∴f(-x)=x -x-1. ∵函数 f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x). ∴-f(x)=x2-x-1.∴f(x)=-x2+x+1. ∴当 x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2+x+1.
?x2+x-1 ?x>0? ? ∴f(x)=?0 ?x=0? ? 2 ?-x +x+1 ?x<0?

必修1 第一章

集合与函数的概念

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[题后感悟] 此类问题的一般解法是: (1)“求谁则设谁”,即在哪个区间求解析式, x就设在哪个区间内. (2)要利用已知区间的解析式进行代入. (3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而 解出f(x).

必修1 第一章

集合与函数的概念

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利用函数奇偶性求解析式 已知 f(x)是 R 上的奇函数,当 x∈(0,+ ∞)时,f(x)=x2+x-1,求 f(x)的解析式. 2.若将本例中题设条件“f(x)是 R 上的奇函数”改为“f(x)是 R 上的偶函数,且 f(0)=0”其他条件不变,求 f(x)的解析式. 解析: 设 x<0,则-x>0 f(-x)=(-x)2+(-x)-1 ∵f(-x)=f(x) ∴f(x)=x2-x-1
?x2+x-1 ?x>0? ? ∴f(x)=?0 ?x=0? ? 2 ?x -x-1 ?x<0?
必修1 第一章 集合与函数的概念
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函数奇偶性与单调性的综合应用 已知奇函数 f(x)是定义在[-1,1]上的增 函数,且 f(x-1)+f(1-2x)<0,求实数 x 的取值范围.

f(x-1)+f(1-2x)<0―→f(x-1)<f(2x-1)―→ 根据单调性―→列不等式组―→解得实数x的 取值范围

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集合与函数的概念

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[解题过程] ∵f(x)是奇函数,且在[-1,1]上是 增函数. 由 f(x-1)+f(1-2x)<0 得 f(x-1)<-f(1-2x)=f(2x-1)
?-1≤x-1≤1 ? ∴?-1≤2x-1≤1 ? ?x-1<2x-1 ?0≤x≤2 ? ,即?0≤x≤1 ? ?x>0

∴0<x≤1.∴x 取值范围是(0,1].

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[题后感悟] 解决此类问题时一定要充分利用 已知的条件,把已知不等式转化成f(x1)>f(x2) 或f(x1)<f(x2)的形式,再根据奇函数在对称区 间上单调性一致,偶函数的单调性相反,列出 不等式或不等式组,同时不能漏掉函数自身定 义域对参数的影响.

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集合与函数的概念

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3.若偶函数 f(x)的定义域为[-1,1], 且在[0,1]上单调递减,若 f(1-m)<f(m)成立,求 m 的取值范围.

解析: 由 f(x)是偶函数得 f(-x)=f(x),即 f(|x|)=f(x) ∴f(1-m)=f(|1-m|),f(m)=f(|m|) ∴f(|1-m|)<f(|m|) 又∵f(x)在[0,1]上单调递减
?-1≤1-m≤1 ? ∴?-1≤m≤1 ? ?|1-m|>|m|
必修1 第一章

1 ,解得 0≤m< 2
集合与函数的概念
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1.奇、偶函数的图象 (1)若一个函数是奇函数,则这个函数的图象 是以坐标原点为对称中心的中心对称图形.反 之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称 中心的对称图形,则这个函数是奇函数,这也 成为我们由图象判定奇函数的方法. (2)若一个函数是偶函数,则它的图象是以y轴 为对称轴的对称图形.反之,如果一个函数的 图象关于y轴对称,则这个函数是偶函数,这 也是由图象判定偶函数的方法. [注意] 由图象可知,奇函数在对称区间上单 调性一致,偶函数在对称区间上单调性相反.
必修1 第一章 集合与函数的概念
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(3)由于奇函数、偶函数图象的对称性,我们可 以由此得到作函数图象的简便方法,如作函数 y=|x|的图象,因为该函数为偶函数,故需先 作出x≥0时的图象,利用函数图象关于y轴对称 即可作出x≤0时的图象.

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集合与函数的概念

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◎已知函数f(x)(x∈R)是奇函数,且当x>0时, f(x)=2x-3,求函数f(x)的解析式.

【错解】 当 x<0 时,-x>0,∴f(-x)=2(- x)-3 =-2x-3 ∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)=2x +3, ?2x-3,x>0 ∴所求函数解析式为 f(x)=? . ?2x+3,x<0
必修1 第一章 集合与函数的概念
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【错因】 忽略了定义域为R的条件,漏掉了x =0的情况.

【正解】 同错解得:当 x<0 时,f(x)=2x+3. ∵f(x)(x∈R)是奇函数,∴f(-0)=-f(0),∴f(0) =0.
?2x-3,x>0 ? ∴所求函数的解析式为 f(x)=?0,x=0 ? ?2x+3,x<0

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