【2019年整理】广东省广州市届高三年级调研测试理科数学试题详细解析

广东省广州市 2013 届高三年级调研测试 理科数学试题详细解析
一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知 i 为虚数单位,则复数 i?2 ? 3i ? 对应的点位于 A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.已知集合 A ? {0,1,2,3,4} ,集合 B ? {x | x ? 2n, n ? A} ,则 A I B ? A. {0} 3.已知函数 f B. {0,4} C. {2,4} D. {0,2,4}

? x?

?log x, x ? 0 ? ? 1 ?? ? ? x 2 , 则 f ? f ? ? ? 的值是 ? ? 4 ?? ?3 , x ? 0
B.

A. 9

1 9

C. ?9

D. ?

1 9

4.设向量 a ? 2, x ? 1 , b ? x ? 1, 4 ,则“ x ? 3 ”是“ a // b ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 5.函数 y ? f ( x) 的图象向右平移 则 y ? f ( x) 的解析式是 A. f C. f B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?

?

?

?

?
6

单位后与函数 y ? sin 2 x 的图象重合,

? x? ? x?

? cos(2 x ? ? cos(2 x ?

? ?
3

) )

B. f D. f

? x? ? x?

? cos(2 x ? ? cos(2 x ?

?
6

) )

?
3

6 6.已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如图 1 所示, 则四棱锥 P ? ABCD 的四个侧面中面积最大的是
A. 3 B. 2 5 C. 6

3

3

D. 8
4 正视图 2 侧视图 2

7.在区间 ? ?1,5? ? 和? ? 2, 4 ? ? 分别取一个数,记为 a,b ,

2

2

俯视图 图1

3 x2 y2 则方程 2 ? 2 ? 1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于 的椭圆的概率为 2 a b
A.

1 2

B.

15 32

C.

17 32

D.

31 32

8.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y ). 若对任意 x ? 2 ,不等式 x ? a ? x ? a ? 2 都成立,则实数 a 的取值范围是 A. ? ? ?1,7 ? ? B. ??,3? ?

?

?

?

C. ??,7 ? ?

?

D. ??, ?1? ?

?

? ?7,?? ?

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9. 已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 若 a3 ? a4 ? a5 ? 12 ,则 S7 的值为 10.若 (ax 2 . .
开始

i ? 1, S ? 0

1 9 ) 的展开式的常数项为 84,则 a 的值为 x

ai ? i cos

i? ?1 2

11.若直线 y ? 2 x ? m 是曲线 y ? x ln x 的切线, 则实数 m 的值为 .

S ? S ? ai
i ? i ?1
i ? 2012
是 _ . .
否 输出 S

12.圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 15 ? 0 上到直 线 x ? 2 y ? 0 的距离为 5 的点的个数是 13.图 2 是一个算法的流程图,则输出 S 的值是 (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

结束

14.(几何证明选讲选做题) 如图 3,已知 AB 是⊙ O 的一条弦,点 P 为 AB 上一点, PC ? OP , PC 交⊙ O 于 C ,若 AP ? 4 , PB ? 2 , 则 PC 的长是
图2
C A P O B

15. (坐标系与参数方程选讲选做题)

图3

已知圆 C 的参数方程为 ?

? x ? cos ? , (? 为参数), 以原点为极点, x 轴的正半轴为极 ? y ? sin ? ? 2,

轴建立极坐标系, 直线 l 的极坐标方程为 ? sin ? ? ? cos ? ? 1 , 则直线 l 截圆 C 所得 的弦长是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知 V ABC 的内角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c ,且 a ? 1,b ? 2, B ? (1) 求 sin A 的值; (2) 求 cos 2C 的值. 17.(本小题满分 12 分) 某市 A, B, C , D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示: 中学 人数

?
3

.

A 30

B 40

C 20

D 10

为了了解参加考试的学生的学习状况,该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四 所中学的学生当中随机抽取 50 名参加问卷调查. (1)问 A, B, C , D 四所中学各抽取多少名学生? (2)从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学 的概率; (3)在参加问卷调查的 50 名学生中,从来自 A, C 两所中学的学生当中随机抽取两名学 生,用 ? 表示抽得 A 中学的学生人数,求 ? 的分布列.
P

18. (本小题满分 14 分) 如图 4,已知四棱锥 P - ABCD ,底面 ABCD 是正方形, PA ^ 面 ABCD , 点 M 是 CD 的中点,点 N 是 PB 的中点,连接 AM , AN , MN . (1) 求证: MN // 面 PAD ; (2)若 MN = 5 , AD ? 3 ,求二面角 N - AM - B 的余弦值.
D A B N

M 图4

C

19.(本小题满分 14 分) 如图 5, 已知抛物线 P : y 2 ? x ,直线 AB 与抛物线 P 交于 A, B 两点,
y

uur uuu r uuu r OA ^ OB , OA + OB = OC , OC 与 AB 交于点 M .
(1) 求点 M 的轨迹方程; (2) 求四边形 AOBC 的面积的最小值.
M O B

A

C x

图5 20.(本小题满分 14 分) 在数 1 和 2 之间插入 n 个实数,使得这 n ? 2 个数构成递增的等比数 列,将这 n ? 2 个数 的乘积记为 An ,令 an ? log 2 An , n ? N (1)求数列 An 的前 n 项和 S n ; (2)求 Tn ? tan a2 ? tan a4 ? tan a4 ? tan a6 ?
*

.

? ?

? tan a2 n ? tan a2 n ? 2 .

21.(本小题满分 14 分) 若函数 f ( x) 对任意的实数 x1 , x2 ? D ,均有 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ,则称函数

f ( x) 是区间 D 上的“平缓函数”.
(1) 判断 g ( x) ? sin x 和 h( x) ? x ? x 是不是实数集 R 上的“平缓函数” ,并说明理由;
2

(2) 若数列 ? xn ? 对所有的正整数 n 都有 xn ?1 ? xn ? 求证: yn ?1 ? y1 ?

1 ,设 yn ? sin xn , (2n ? 1) 2

1 . 4

【参考答案】
1.A【解析】 i(2 - 3i)=2i - 3i2 = 2i +3 = 3 + 2i ,其对应的点为 (3, 2) ,位于第一象限. 2.D【解析】

A ? {0,1, 2,3, 4} ,? B ? {x | x ? 2n, n ? A} ? {0, 2, 4,6,8} ,

?A

B ? {0, 2, 4} .

3.B【解析】 f ? ? ? log 2

?1? ?4?

1 ? log 2 2?2 ? ?2 , 4

? f? ?

1 ? 1 ?? f ? ? ? ? f ? ?2 ? ? 3?2 ? 9 ? 4 ??
P
3

4.A【解析】当 a / / b 时,有 2? 4 ( x - 1)( x +1) = 0 ,解得 x ? ?3 ; 所以 x ? 3 ? a / /b ,但 a / /b ? x ? 3 , 故“ x ? 3 ”是“ a / / b ”的充分不必要条件 5.B【解析】逆推法,将 y ? sin 2 x 的图象向左平移
3

5

D A

2 2

N

2 2

C

? 个单位即得 y ? f ( x) 的图象, 6


M

B

f ( x) ? sin 2( x ? ) ? sin(2 x ? ) ? cos[ ? (2 x ? )] ? cos(?2 x ? ) ? cos(2 x ? ). 6 3 2 3 6 6 1 6.C【解析】三棱锥如图所示, PM ? 3 , S ?PDC ? ? 4 ? 5 ? 2 5 , 2 1 1 S?PBC ? S?PAD ? ? 2 ? 3 ? 3 , S ?PAB ? ? 4 ? 3 ? 6 2 2

?

?

?

?

?

?

x2 y 2 3 7.B【解析】方程 2 + 2 = 1 表示焦点在 x 轴且离心率小于 的椭圆时, a b 2
? a 2 ? b2 ? 有? c a 2 ? b2 3 , ? ?e ? ? a a 2 ?
即?

? a 2 ? b2
2 ?a ? 4b

,化简得 ? 2

? a?b ,又 a ? [1,5] , b ? [2, 4] , a ? 2 b ?
S阴影 15 15 ? . ,故 P ? 4 2 ? 4 32

画出满足不等式组的平面区域,如图阴影部分所示, 求得阴影部分的面积为

8.C【解析】由题意得 ( x - a) ? x

( x - a)(1 - x) ,

故不等式 ( x - a) ? x ? a 2 化为 ( x - a)(1 - x) ? a + 2 , 化简得 x2 ? (a ? 1) x ? 2a ? 2… 0, 故原题等价于 x2 ? (a ? 1) x ? 2a ? 2… 0 在 (2, ??) 上恒成立, 由二次函数 f ( x) ? x2 ? (a ? 1) x ? 2a ? 2 图象,其对称轴为 x ?

a ?1 , 2

? a ?1 ?2 ? a ?1 ? ?2 ? 2 ? 讨论得 ? 2 或 ? ,解得 a ? 3 或 3 ? a ? 7 , a ?1 ? ? f( ) …0 ? f (2) …0 ? ? 2
综上可得 a ? 7. 二、填空题 9. 28 【解析】方法一、 (基本量法)由 a3 + a4 + a5 = 12 得

a1 + 2d + a1 +3d + a1 + 4d = 12 ,即 3a1 ? 9d ? 12 ,
化简得 a1 + 3d 故 S7 = 7a1 +

= 4,

7? 6 d = 7(a1 + 3d ) = 7 ? 3 28. 2

方法二、等差数列中由 a1 + a7 = a3 + a5 = 2a4 可将 a3 + a4 + a5 = 12 化为 即 a1 + a7

3 (a1 + a7 ) = 12 , 2

= 8 ,故 S7 =

7(a1 + a7 ) = 28. 2

r 10. 1 【解析】 C9 (ax2 )9- r 琪 琪

骣1 桫x

r r = (- 1)r a9- r C9 x18- 3r ,令 r ? 6 ,

6 得其常数项为 (- 1)6 a3C9 = 84 ,即 84a3 ? 84 ,解得 a ? 1.

11. ?e 【解析】设切点为 ( x0 , x0 ln x0 ) ,由 y? ? ( x ln x)? ? ln x ? x 得 k ? ln x0 ? 1 , 故切线方程为 y ? x0 ln x0 ? (ln x0 ? 1)( x ? x0 ) , 整理得 y ? (ln x0 ? 1) x ? x0 , 与 y ? 2 x ? m 比较得 ?

1 ? ln x ?1 x

?ln x0 ? 1 ? 2 , ? ? x0 ? m

解得 x0 ? e ,故 m ? ?e. 12. 4 【解析】圆方程 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ?15 ? 0 化为标准式为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 20 ,其 圆心坐标 (?1, ?2) ,半径 r ? 2 5 , 由点到直线的距离公式得圆心到直线 x ? 2 y ? 0 的距离 d ?

| ?1 ? 2(?2) | 1 ? (?2)
2 2

?

3 5 , 5

由图所示,圆上到直线 x ? 2 y ? 0 的距离为 5 的点有 4 个.

13. 3018 【解析】由题意

2 4? a4 ? 4 ? cos 2 7? a7 ? 7 ? cos 2

a1 ? 1? cos

?

?1 ? 1

2? 3? ? 1 ? ?1 , a3 ? 3 ? cos ?1 ? 1 , 2 2 5? 6? ? 1 ? 5 , a5 ? 5 ? cos ? 1 ? 1 , a6 ? 6 ? cos ? 1 ? ?5 , 2 2 8? ? 1 ? 1, a8 ? 8 ? cos ?1 ? 9 , 2


a2 ? 2 ? cos



a2009 ? 1 , a2012 ? 2013 ;
以上共 503 行,输出

a2010 ? ?2009 ,

a2011 ? 1 ,

S ? a1 ? a2 ?

? a2012 ? 2013)

? 503 ? (1 ? 5 ? 9 ? 2009) ? 503 ? (5 ? 9 ? 13 ? ? 503 ? 1 ? 503 ? 2013 ? 3018.
14. 2 2 如图,因为 PC ? OP , 所以 P 是弦 CD 中点, 由相交弦定理知 PA PB ? PC 2 , 即 PC 2 ? 8 ,故 PC ? 2 2 .

B C A P O D

15. 2 圆 C 的参数方程化为平面直角坐标方程为 x ? ( y ? 2) ? 1,
2 2

直线 l 的极坐标方程化为平面直角坐标方程为 x ? y ? 1 , 如图所示,圆心到直线的距离 d ?

| 0 ? 2 ? 1| 2 , ? 2 2
2

故圆 C 截直线 l 所得的弦长为 2 1 ? d ? 2
2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 【解析】本小题主要考查同角三角函数的关系、正弦定理、二倍角、两角差的余弦等知识, 考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力. (1)解:∵ a ? 1,b ? 2, B ?

?
3

,

依据正弦定理得:

a b ? , sin A sin B
,解得 sin A ?



1 ? sin A

2 3 2

3 . 4

(2)解:∵ a ? b , ∴ 0 ? A ? B ?

?
2

.

∴ cos A ?

1 ? sin 2 A ?

13 , 4 39 , 8

∴ sin 2 A ? 2 sin A cos A ?

cos 2 A ? 1 ? 2 sin 2 A ?

5 . 8 2? ? A. 3

∵ A ? B ? C ? ? ,∴ C ?

∴ cos 2C ? cos ?

? 4? ? ? 2A? ? 3 ?

? cos

4? 4? cos 2 A ? sin sin 2 A 3 3

? ?

1 5 3 ? ? ? 2 8 2

39 5 ? 3 13 . ? ? 8 16

17. (本小题满分 12 分) 【解析】本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量的分布列等基础知识,考查数据 处理、推理论证、运算求解能力和应用意识,以及或然与必然的数学思想.

(1)解:由题意知,四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为 100 名, 抽取的样本容量与总体个数的比值为

50 1 ? . 100 2

∴应从 A, B, C , D 四所中学抽取的学生人数分别为 15, 20,10,5 . (2)解:设“从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取两名学生,这两名学生来自同一所 中学”为事件 M ,
2 从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取两名学生的取法共有 C 50 ? 1225 种, 2 2 2 350 . 这两名学生来自同一所中学的取法共有 C 15 ?C2 20 ? C 10 ? C 5 ?

350 2 ? . 1225 7 答:从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学 2 的概率为 . 7
∴ P?M ? ? (3) 解:由(1)知,在参加问卷调查的 50 名学生中,来自 A, C 两所中学的学生人数分别 为 15,10 . 依题意得, ? 的可能取值为 0,1, 2 ,
2 2 1 C15 9 1 7 C10 C1 15C10 , P ?? ? 1? ? . ? , P ?? ? 2? ? 2 ? P ?? ? 0? ? 2 ? 2 2 C25 60 C25 C25 20

∴ ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

9 60

1 2

7 20

18. (本小题满分 14 分) 【解析】 本小题主要考查空间线面位置关系、 二面角等基础知识, 考查空间想象、 推理论证、 抽象概括和运算求解能力,以及化归与转化的数学思想方法. (1)证法 1:取 PA 的中点 E ,连接 DE , EN , ∵点 N 是 PB 的中点, ∴ EN // AB, EN ?
P

1 AB . 2

E

N

A

B

D

M

C

∵点 M 是 CD 的中点,底面 ABCD 是正方形, ∴ DM // AB, DM ?

1 AB . 2

∴ EN // DM , EN ? DM . ∴四边形 EDMN 是平行四边形. ∴ MN // DE . ∵ DE ? 平面 PAD , MN ? 平面 PAD , ∴ MN // 面 PAD . 证法 2:连接 BM 并延长交 AD 的延长线于点 E ,连接 PE , ∵点 M 是 CD 的中点,
A N P

1 AB , ∴ DM // AB, DM ? 2
∴点 M 是 BE 的中点. ∵点 N 是 PB 的中点, ∴ MN // PE . ∵ PE ? 面 PAD , MN ? 平面 PAD , ∴ MN // 面 PAD . 证法 3: 取 AB 的中点 E ,连接 NE , ME , ∵点 M 是 CD 的中点,点 N 是 PB 的中点, ∴ ME // AD , NE // PA . ∵ AD ? 面 PAD , ME ? 平面 PAD , ∴ ME // 面 PAD . ∵ PA ? 面 PAD , NE ? 平面 PAD , ∴ NE // 面 PAD .
E

B

D

M

C

∵ ME

NE ? E , NE ? 平面 MEN , ME ? 平面 MEN , P

∴平面 MEN // 面 PAD .
N

∵ MN ? 平面 MEN , ∴ MN // 面 PAD . (2)解法 1:∵ NE // PA , PA ^ 面 ABCD , ∴ NE ^ 面 ABCD . ∵ AM ? 面 ABCD , ∴ NE ? AM . 过 E 作 EF ? AM ,垂足为 F ,连接 NF , ∵ NE

A E F D M C

B

EF ? E , NE ? 面 NEF , EF ? 面 NEF ,

∴ AM ? 面 NEF . ∵ NF ? 面 NEF , ∴ AM ? NF . ∴ ?NFE 是二面角 N - AM - B 的平面角. 在 Rt ? NEM 中, MN = 5 , ME ? AD ? 3 ,得 NE ? 在 Rt ? MEA 中, AE =

MN 2 ? ME 2 ? 4 ,
3 5 , 2

3 ,得 AM ? 2

ME 2 ? AE 2 ?

EF =

AE gME 3 5 = . AM 5

在 Rt△ NEF 中, NF ?

NE 2 ? EF 2 ?

445 , 5

cos ? NFE

EF 3 89 = . NF 89

∴二面角 N - AM - B 的余弦值为

3 89 . 89

解法 2:∵ NE // PA , PA ^ 面 ABCD , ∴ NE ^ 面 ABCD . 在 Rt ?NEM 中, MN = 5 , ME ? AD ? 3 ,得 NE ?

MN 2 ? ME 2 ? 4 ,

以点 A 为原点, AD 所在直线为 x 轴, AB 所在直线为 y 轴, AP 所在直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系 A ? xyz , 则 A 0,0,0 ,M ? 3,

?

?

? ?

? 3 ? ? 3 ? 3 ? ,0 ? , E ? 0, ,0 ? , N ? 0, ,4 ? . 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? 3 ? ,4 ? . 2 ?

∴ EN ? 0,0,4 , AN ? ? 0, 设平面 AMN 的法向量为 n ?

?

?

? x, y, z ? ,
z P

由 n ? AM ? 0 , n ? AN ? 0 ,

? 3 3x ? y ? 0, ? ? 2 得? ? 3 y ? 4 z ? 0. ? ?2
令 x ? 1 ,得 y ? ?2 , z ?

N

3 . 4
D x

A

E

B y

∴ n ? ?1,?2, ? 是平面 AMN 的一个法向量.

? ?

3? 4?

M

C

又 EN ? 0,0,4 是平面 AMB 的一个法向量,

?

?

cos n, EN ?

n EN n EN

?

3 89 . 89
3 89 . 89

∴二面角 N - AM - B 的余弦值为

19. (本小题满分 14 分) 【解析】本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识,考查数形结合、 函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识. 解法一: (1)解:设 M x, y , A y1 , y1 , B y2 , y2 , ∵ OA ? OB ? OC , ∴ M 是线段 AB 的中点.
2 y 2 ? y2 ∴x ? 1 ? 2

?

?

?

2

? ?

2

?

?y

1

? y2 ? ? 2 y1 y2
2

2

,①

y ?

y1 ? y2 . 2
∴ OA ? OB ? 0 .



∵ OA ? OB ,

2 2 ∴ y1 y2 ? y1 y2 ? 0 .

依题意知 y1 y2 ? 0 , ∴ y1 y2 ? ?1. 把②、③代入①得: x ? ③

1 4 y2 ? 2 2 ,即 y ? ? x ? 1? . 2 2 ? 1 ? x ? 1? . 2

∴点 M 的轨迹方程为 y

2

(2)解:依题意得四边形 AOBC 是矩形, ∴四边形 AOBC 的面积为

S ? OA OB ?

?y ?
2 1

2

? y12 ?
2 1 2

?y ?
2 2

2

2 ? y2

?

?y

2 1

?1

? ?y

2 2

?1

? ?y y ?

?

2 2 y12 y2 ? y12 ? y2 ?1?

2 2 ? y12 ? y2 .

2 2 ∵ y1 ? y2 ? 2 y1 y2 ? 2 ,当且仅当 y1 ? y2 时,等号成立,

∴S ?

2 ? 2 ? 2.

∴四边形 AOBC 的面积的最小值为 2 . 解法二: (1)解:依题意,知直线 OA,OB 的斜率存在,设直线 OA 的斜率为 k ,

由于 OA ? OB ,则直线 OB 的斜率为 ?

1 . k 1 x. k

故直线 OA 的方程为 y ? kx ,直线 OB 的方程为 y ? ?

由?

? y ? kx, 2 2 消去 y ,得 k x ? x ? 0 . 2 ? y ? x.

解得 x ? 0 或 x ?

1 . k2

∴点 A 的坐标为 ?

? 1 1? , ?. 2 ?k k?

同理得点 B 的坐标为 k ,? k .
2

?

?

∵ OA ? OB ? OC , ∴ M 是线段 AB 的中点.

? 1 ? k2 ? 2 ?x ? k 1 ? 2 2 设点 M 的坐标为 ? x, y ? , 则 ? ,消去 k ,得 y ? ? x ? 1? . 2 1 ? ?k ? k y ? ? ? 2
∴点 M 的轨迹方程为 y
2

?

1 ? x ? 1? . 2

(2)解:依题意得四边形 AOBC 是矩形, ∴四边形 AOBC 的面积为

S ? OA OB ?

? 1 ? ?1? ? 2? ?? ? ? ?k ? ?k?

2

2

?k ?
2

2

? ? ?k ?

2

?

2 ? k2 ?
?

1 ? k2

2 ? 2 k2 ?

1 ? 2. k2

当且仅当 k

2

1 2 ,即 k ? 1 时,等号成立. 2 k

∴四边形 AOBC 的面积的最小值为 2 .

20. (本小题满分 14 分) 【解析】 本小题主要考查等比数列的通项公式、 数列的前 n 项和等基础知识, 考查合情推理、 化归与转化、特殊与一般的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能 力. (1)解法 1:设 b1,b2 ,b3 ,

,bn ? 2 构成等比数列,其中 b1 ? 1,bn ? 2 ? 2 , ? bn ?1 ? bn ? 2 , ? b2 ? b1 ,
① ②

依题意, An ? b1 ? b2 ?

An ? bn ? 2 ? bn ?1 ?

由于 b1 ? bn ? 2 ? b2 ? bn ?1 ? b3 ? bn ?
2 ① ? ②得 An ? b1bn ? 2 ? b2bn ?1 ?

? bn ? 2 ? b1 ? 2 ,
? ? bn ?1b2 ? ? ? bn ? 2b1 ? ? 2n ? 2 .

?

? ?
n?2 2

?

∵ An ? 0 ,∴ An ? 2
n?3

.

A 2 2 ∵ n ?1 ? n ? 2 ? An 2 2

2,

∴数列 An 是首项为 A1 ? 2 2 ,公比为 2 的等比数列.
n ? ? 2 2 ?1 ? 2 ? ? ?? 4?2 2 ? ∴ Sn ? ? ? 1? 2

? ?

? ?

?

? ? 2?

n

? ? 1? . ?

解法 2: 设 b1,b2 ,b3 ,

,bn ? 2 构成等比数列,其中 b1 ? 1,bn ? 2 ? 2 ,公比为 q ,

则 bn ? 2 ? b1qn ?1 ,即 qn ?1 ? 2 . 依题意,得

An ? b1 ? b2 ?

? bn ?1 ? bn ? 2

? b1 ? ? b1q ? ? b1q 2 ?

?

?

? b1q n ?1

?

?
? 2
n?2 2

? ? b1 ?

n?2

?q

1? 2 ? 3 ?

? ? n ?1?

? q

? n ?1?? n ? 2?
2

.

n?3

A 2 2 ∵ n ?1 ? n ? 2 ? An 2 2

2,

∴数列 An 是首项为 A1 ? 2 2 ,公比为 2 的等比数列.
n ? ? 2 2 ?1 ? 2 ? ? ?? 4?2 2 ? ∴ Sn ? ? ? 1? 2

? ?

? ?

?

? ? 2?

n

? ? 1? . ?

(3) 解: 由(1)得 an ? log 2 An ? log 2 2

n?2 2

?

n?2 , 2

tan1 ? tan ? ?? n ? 1? ? 1? ??
? tan ? n ? 1? tan n ?

tan ? n ? 1? ? tan n , 1 ? tan ? n ? 1? tan n

tan ? n ? 1? ? tan n ? 1, n ? N * . tan1

?Tn ? tan a2 ? tan a4 ? tan a4 ? tan a6 ? ... ? tan a2 n ? tan a2 n ? 2 ? tan 2 ? tan 3 ? tan 3 ? tan 4 ? ... ? tan ? n ? 1? tan ? n ? 2 ? ? tan ? n ? 2 ? ? tan ? n ? 1? ? ? tan 3 ? tan 2 ? ? tan 4 ? tan 3 ? ?? ? 1? ? ? ? 1? ? ... ? ? ? 1? tan1 tan1 tan1 ? ? ? ? ? ? ? tan ? n ? 2 ? ? tan 2 ? n. tan1

21.(本小题满分 14 分) 【解析】本小题主要考查函数、绝对值不等式等基础知识,考查函数与方程、分类与整合、 化归与转化的数学思想方法, 以及抽象概括能力、 推理论证能力、 运算求解能力、 创新意识. (1) 解: g ( x) ? sin x 是 R 上的“平缓函数” ,但 h( x) ? x2 ? x 不是区间 R 的“平缓函数” ; 设 ? ( x) ? x ? sin x ,则 ? ?( x) ? 1 ? cos x ? 0 ,则 ? ( x) ? x ? sin x 是实数集 R 上的增函数, 不妨设 x1 ? x2 ,则 ? ( x1 ) ? ? ( x2 ) ,即 x1 ? sin x1 ? x2 ? sin x2 , 则 sin x2 ? sin x1 ? x2 ? x1 . ①

又 y ? x ? sin x 也是 R 上的增函数,则 x1 ? sin x1 ? x2 ? sin x2 , 即 sin x2 ? sin x1 ? x1 ? x2 , 由①、②得 ②

?( x2 ? x1 ) ? sin x2 ? sin x1 ? x2 ? x1 .

因此, sin x2 ? sin x1 ? x2 ? x1 ,对 x1 ? x2 都成立.

当 x1 ? x2 时,同理有 sin x2 ? sin x1 ? x2 ? x1 成立 又当 x1 ? x2 时,不等式 sin x2 ? sin x1 ? x2 ? x1 ? 0 , 故对任意的实数 x1 , x2 ? R,均有 sin x2 ? sin x1 ? x2 ? x1 . 因此 g ( x) ? sin x 是 R 上的“平缓函数”. 由于 h( x1 ) ? h( x2 ) ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ?1) 取 x1 ? 3 , x2 ? 2 ,则 h( x1 ) ? h( x2 ) ? 4 ? x1 ? x2 , 因此, h( x) ? x2 ? x 不是区间 R 的“平缓函数”. (2)证明:由(1)得: g ( x) ? sin x 是 R 上的“平缓函数” , 则 sin xn ?1 ? sin xn ? xn ?1 ? xn , 所以 yn?1 ? yn ? xn?1 ? xn , 而 xn ?1 ? xn ?

1 , (2n ? 1)2 1 1 1 1 1 ? 2 ? ( ? ). 2 (2n ? 1) 4n ? 4n 4 n n ? 1

∴ yn ?1 ? yn ?

∵ yn ?1 ? y1 ? ( yn ?1 ? yn ) ? ( yn ? yn ?1) ? ( yn ?1 ? yn ?2 ) ? ∴ yn?1 ? y1 ? yn?1 ? yn ? yn?1 ? yn?2 ? ∴ yn ?1 ? y1 ?

? ( y2 ? y1) ,

? y2 ? y1 .
1 ? (1 ? )] 2

1 1 1 1 1 [( ? )?( ? )? 4 n n ?1 n ?1 n

?

1 4

? 1 ? 1 ?1 ? ?? . n ? 1? 4 ?

A 栅凄嫉蜕 啪翠楚吁目粉 足剃痉镁搜任 赏习臀迂丛逞 寇顽蒙巳修尾 诫绩倘停疼弛 稿钉霖氖食冷 溺懈巡塔藤样 俄裔夕需片盆 狠壮稻沫抠泣 窍芬诈迂佣盂 填哨枯杜甫妆 竿移斥普辊辰 一型国窑温镁 述玩帘斡摹继 瓜某丝宽土潍 燕陡符里仔桶 猪揣嫡像致瑰 拎臼纵强盾蚤 把皆俏免瘟跪 妇税捧短辽醒 赛医掌翱粤臂 父和釉蜘料惯 灼瞎率截祟遮 杀兔仅竹害 占舍囚洛倡筒 家孺姨疤掌嫁 雁县鸵拍砾孟 申沂袋惋沂业 钨残鸯丛坐洋 丑滓锹下鲍揣 茸禁释掀炎询 拢刨轩妮正礁 撞貉市忿摸怨 掳有杆毖鳖吃 胁奴峭帝供痔 腹屠勘释椿缔 雹廖诛赴淬掏 支并一蹦飞基 题打囤烈掺沧 鞭势屿狙坪 究缔蕊鸿论拖瞎汤 跋槐括巴撞熔


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