2016-2017学年高中数学第三章三角恒等变形章末测评北师大版必修4(新)

第三章三角恒等变形测评
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.coscos+sinsin=( A.1 答案:B 2.若 sin α =,cos α =,则 k 的值为( A.-7 或 1 C.1 解析:由题意知=1, B.-7 D.-7 或-1 ) B.0 ) C.-1 D.

解析:coscos+sinsin=cos=0.

∴(k+1)2+(k-1)2=(k-3)2, ∴k2+6k-7=0, ∴k=-7 或 k=1,经检验,符合题意,故选 A.
答案:A 3.若 sin α -4cos α =0,则 tan 的值为( A. 于是 tan. 答案:A 4.若(4tan α +1)(1-4tan β )=17,则 tan(α -β )的值为( A. B. C.4 D.12 ) B.C. 解析:由已知得 tan α ==4, ) D.-

解析:由已知得 4(tan α -tan β )=16(1+tan α tan β ),即=4,

∴tan(α -β )=4.故选 C.
答案:C 5.已知 cos,则的值为( A. 解析:因为 cos, 所以 sin 2α =-cos=1-2cos ,sin=cos, 所以. 答案:A 6.对任意的锐角 α ,β ,下列不等关系中正确的是( A.sin(α +β )>sin α +sin β B.sin(α +β )>cos α +cos β C.cos(α +β )<sin α +sin β D.cos(α +β )<cos α +cos β )
2

) C. D.-

B.-

1

解析:当 α =β =30°时可排除 A,B;当 α =β =15°时,代入 C 得 0<cos 30°<2sin 15°,两边平方得

<4sin215°=4?=2-≈0.268,矛盾.故选 D.
答案:D 7.已知 sin(α -β )cos α -cos(α -β )sin α =,且 β 是第三象限角,则 cos 的值等于( A.± C.B.± D.)

解析:由已知,得 sin[(α -β )-α ]=sin(-β )=,

∴sin β =-. ∵β 是第三象限角,∴cos β =-. ∴cos=±=±=±.
答案:A 8.函数 f(x)=2cos x-sin 2x(x∈R)的最小正周期和最大值分别是( A.2π ,3 B.2π ,1 C.π ,3 D.π ,1 解析:∵f(x)=cos 2x+1-sin 2x
2

)

=2+1 =2cos+1, ∴T=π ,f(x)max=3.
答案:C 9.若 sin 2α =-,α ∈,则 sin α +cos α 等于( A.又 α ∈, 所以 sin α <0,cos α >0,且|sin α |<|cos α |, 于是 sin α +cos α =. 答案:B 10.设 α ∈,β ∈,且 tan α =,则( A.3α -β = C.2α -β = 解析:由已知,得, B.3α +β = D.2α +β = ) B.
2

) D.

C.-

解析:由已知得(sin α +cos α ) =1+sin 2α =1-,

∴sin α cos β =cos α +cos α sin β . ∴sin α cos β -cos α sin β =cos α . ∴sin(α -β )=cos α , ∴sin(α -β )=sin. ∵α ∈,β ∈, ∴-<α -β <,0<-α <, ∴α -β =-α ,∴2α -β =.故选 C.
答案:C 11.(2016 山东烟台高二期中)化简 sin 1°+sin 2°+sin 3°+…+sin 89°的结果是(
2 2 2 2

)

2

A.89 解
2 2

B.
2 2

C.45
2

D.
2 2 2 2 2

析:sin 1°+sin 2°+sin 3°+…+sin 89°=sin 1°+sin 2°+…+sin 45°+cos 44+…+cos 1°=(sin 1°+cos 1°)+(sin 2°+cos 2°)+…+(sin 44°+cos 44°)+sin 45°=44+.故选 B. 答案:B 12. 导学号 03070148 若函数 f(x)=(sin x+cos x) +2cos x-m 在上有零点,则 m 的取值范围为( A.[-1,2] C.[-1,2+] B.[1,3] D.[1,2+]
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

解析:f(x)=(sin x+cos x) +2cos x-m=1+sin 2x+1+cos 2x-m=sin+2-m,当 x∈时,2x+,所以 sin,所 以 f(x)∈[1-m,+2-m],要使 f(x)在上有零点,需要满足所以 1≤m≤+2. 答案:D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.如果 cos α =,且 α 是第四象限的角,那么 cos= 解析:由题意得 sin α =-=-=-,故 cos=-sin α =. 答案: 14.已知 tan=2,则的值为 解析:由 tan=2,得 tan x=, 所以 tan 2x=, 故. 答案: 15.的值为 解析:原式=

.

.

.

= =4?=4.
答案:4 16.已知 sin<α <π ,则 sin= 解析:由<α <π 可知<α +, 因为 sin,所以 cos=-. 所以 sin=sincossin=-=-. 答案:三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)(2016 浙江嘉兴高二检测)已知 sin α =,α ∈,tan β =. (1)求 tan α 的值; (2)求 tan(α +2β )的值. 解:(1)∵sin α =,α ∈,

.

∴cos α =. ∴tan α =.
(2)(方法 1)∵tan β =,

3

∴tan 2β =. ∴tan(α +2β )==2.
(方法 2)∵tan β =,

∴tan(α +β )==1. ∴tan(α +2β )==2.
18.(12 分)在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,点 P 在角 α 的终边上,点 Q(sin θ ,-1)在角 β 的终边上,且=-. 求:(1)cos 2θ 的值; (2)sin(α +β )的值. 解:(1)∵=-,∴sin θ -cos θ =-,
2 2 2

∴=-,
解得 cos 2θ =. (2)由(1)得 cos θ =,sin θ =,
2 2

∴P,Q. ∴sin α =,cos α =,sin β =-,cos β =,∴sin(α +β )=sin α cos β +cos α sin β ==-.
19.(12 分)从圆心角为 120°,半径为 20 cm 的扇形铁片上截出一块矩形 OPMN,如图,让矩形的一边 在扇形的一条半径 OA 上,点 M 在弧 AB 上,求此矩形面积的最大值.

解:设截出的矩形的面积为 S cm ,连接 OM,设∠POM=α (0°<α <90°),易知 S=OP?MP=OMcos α ?OMsin α =OM sin 2α =200sin 2α . 当 sin 2α =1,即 α =45°时,矩形的面积 S 取得最大值 200 cm . 答:矩形面积的最大值为 200 cm . 20.(12 分)(2015 安徽高考)已知函数 f(x)=(sin x+cos x) +cos 2x. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)在区间上的最大值和最小值. 解:(1)因为 f(x)=sin x+cos x+2sin xcos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=sin+1, 所以函数 f(x)的最小正周期为 T==π . (2)由(1)的计算结果知,f(x)=sin+1. 当 x∈时,2x+, 由正弦函数 y=sin x 在上的图像知, 当 2x+,即 x=时,f(x)取最大值+1; 当 2x+,即 x=时,f(x)取最小值 0. 综上,f(x)在上的最大值为+1,最小值为 0. 21.(12 分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数 a.
2 2 2 2 2 2

2

①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°; ②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°;

4

③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°; ④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos 48°; ⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos 55°.
(1)从上述五个式子中选择一个,求出常数 a; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论. 解:(1)选择②式计算.a=sin 15°+cos 15°-sin 15°?cos 15°=1-?sin 30°=. (2)猜想的三角恒等式为 sin α +cos (30°-α )-sin α cos(30°-α )=. 证明:sin α +cos (30°-α )-sin α cos(30°-α )=sin α +(cos 30°cos α +sin 30°sin α ) -sin α ?(cos 30°cos α +sin 30°sin α )=sin α +cos α +sin α cos α +sin α -sin α cos α -sin α =sin α +cos α =. 22.(12 分) 导学号 03070149 已知函数 f(x)=2sin xcos x+2cos x-1(x∈R). (1)求函数 f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值; (2)若 f(x0)=,x0∈,求 cos 2x0 的值. 解:(1)由 f(x)=2sin xcos x+2cos x-1,得 f(x)=(2sin xcos x)+(2cos x-1)=sin 2x+cos 2x=2sin. 所以函数 f(x)的最小正周期为 π . 因为 f(x)=2sin 在区间上为增函数,在区间上为减函数,又 f(0)=1,f=2,f=-1,所以函数 f(x)在 区间上的最大值为 2,最小值为-1. (2)由(1)可知 f(x0)=2sin. 又因为 f(x0)=,所以 sin. 由 x0∈,得 2x0+. 从而 cos=-=-. 所以 cos 2x0=cos
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

=coscos+sinsin =.

5


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