高中数学必修1函数讲义--函数的三要素


高一函数讲义
一、求函数定义域
1、使得 x 在实数范围内让解析式可以正常运算的 x 的范围。 ① 分式的分母不等于 0; ② 偶次根式被开方式大于等于 0; ③ 对数式的真数大于 0,底数大于 0 且不等于 1; ④ 指数为 0 时,底数不等于 0 【例 1】求下列函数的定义域 (1) y ?

( x 2 ? 1)0 log 2 x?1 (32 ? 4 x )

(2) y ? 25 ? x2 ? lgcos x

(3)y=lg(ax-kbx) (a,b>0 且 a,b≠1,k∈ R)

? x ? ?1 ? x2 ?1 ? 0 ? ? ?x ? ? 1 ?2 x ? 1 ? 0 2 ? [解析](1)依题有 ? ? ?2 x ? 1 ? 0 ? ? x ? 0 ?32 ? 4 x ? 0 ? 5 ? ?x ? x 2 ?32 ? 4 ? 1 ? ? ? x ? log 4 31 ?
∴ 函数的定义域为 {x | ?

1 5 ? x ? 且x ? 0,1, log 4 31} 2 2

(2)依题意有 ?

??5 ? x ? 5 ? ?? ? ? (k ? z ) ?cos x ? 0 ?2k? ? ? x ? 2k? ? 2 2 ? 3? ? ? 3? ∴ 函数的定义域为 [?5, ? ) ? (? , ) ? ( ,5] 2 2 2 2

?25 ? x 2 ? 0

(3)要使函数有意义,则 ax-kbx>0,即 ? ① 当 k≤0 时,定义域为 R

?a? ? ?k ?b?
定义域为{x| x ? log a k }
b

x

② 当 k>0 时, (Ⅰ )若 a>b>0,则 x ? log a k
b

(Ⅱ )若 0<a<b,则 x ? log a k , 定义域为{x| x ? log a k }
b b

(Ⅲ )若 a=b>0,则当 0<k<1 时定义域为 R;当 k≥1 时,定义域为空集 [评析]把求定义域的问题等价转化为关于 x 的不等式(组)的求解问题,其关键是列全限 制条件(组)。 2、抽象函数的定义域: (1)已知 f ( x) 的定义域,求 f ( g ( x )) 的定义域。

2 例:已知 f ( x) 定义域为[0,1],求函数 y ? f ( ? 3) 的定义域 x (2)已知 f ( g ( x )) 的定义域,求 f ( x) 的定义域。
1

例:已知 y ? f ( x 2 ? 2) 定义域为[-1,0],求函数 f ( x) 的定义域; (3)已知 f (? ( x)) 的定义域,求 f ( g ( x )) 的定义域。 例:已知 y ? f ( x2 ? 2x ? 3) 定义域为[-3,0],求函数 f ( x ) 的定义域. (4)若函数 y ? f ( x) 的定义域是 [0,2] ,则函数 g ( x) ? 3、复合函数的定义域

f ( 2 x) 的定义域是____. x ?1

1 ,则 f ( f ( x )) 的定义域_______________. x ?1 4、含参函数的定义域。 例:已知 f ( x) 的定义域为 [a, b] ,且 a ? b ? 0 ,求 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 的定义域。
例:已知 f ( x) ? 注:含有参数要根据参数的情况分类讨论。
x ?1 的定义域为 R ,求 m 的取值范围。 mx ? mx ? 3
3 2

练习: (1)若函数 f ( x) ?

(2)设函数 f ( x) ?| 2 x ? 3 | ,x ? R , 若 g ( x) ? 求实数 m 的取值范围.

f ( x) ? f (2x ? 2) ? 2m 的定义域为 R ,

(3)若 f ( x) 的定义域为 [ 0,1] ,求 F ( x) ? f ( x ? a) ? f (2 x ? a)(0 ? a ? 1) 的定义域。

二、求函数的值域
1、常见初等函数的值域(一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等) 函 数 值 域

y=kx+b a>0 R

y=ax2+bx+c a<0

y?

k x

y=ax

y=logax

? 4ac ? b2 ? ? 4a , ?? ? ? ?

? 4ac ? b2 ? ?? , ? 4a ? ? ?

{y|y∈ R 且 y≠0}

{y|y>0}

R

2、分式函数:
(1) f ( x ) ? 3x ? 2 4x ? 1

( 2) f ( x ) ?

3x 2 2x ? 2x ? 1

(3) f ( x) ?

3x 2 ? 2 x ? 1 2x2 ? 2x ? 1

(4)求函数 f ( x) ? 3、根式函数

3x 2 ? 2 x ? 1 在区间 ?2,4? 内的值域. 2x2 ? 2x ? 1
(2) y ? x 2 ? 6 x ? 13 ? x 2 ? 4 x ? 5

(1) y ? 3x ? 3 ? 2x ? 2
(3) y ? x 2 ? 6 x ? 13 ? x 2 ? 4 x ? 5

(4) y ? 3x ? 3 ? 3x ? 2

4、含绝对值

(1) y ? x ? 3 ? x ? 1
5、分段函数

(2) y ?| 2x ? 3 | ? | 2x ? 2 |

? g ( x) ? x ? 4, x ? g ( x) , 设函数 g ( x) ? x 2 ? 2, f ( x) ? ? 则 f ( x) 的值域是______________. ? g ( x) ? x,  x ? g ( x)

2

三、求函数解析式: 1、换元法与配凑法 (1) 已知 f (2 x ? 1) ? 4 x 2 ? 6 x ? 5 ,求 f ( x) 的解析式; (2) 已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x) 的解析式; 2、方程组法
1 (1) 已知 2 f ( ) ? f ( x) ? x( x ? 0) ,求 f ( x) 的解析式; x

(2) 已 知 f ( x)、g ( x) 分 别 满 足 f (? x) ? ? f ( x), g (? x) ? g ( x) , 且 f ( x) ? g ( x) ?
f ( x)、g ( x) ;

1 ,求 x ?1

(3) 定义在 ( ?3,3) 内的函数 2 f ( x) ? f (? x) ? 3x ? 4 ,求函数 f ( x) 的解析式; 3、待定系数法 (1) 已知 f ( x) 是一次函数,且 f ( f ( x)) ? 4 x ? 1 ,求函数 f ( x) 的解析式; (2) 已知 f ( x) ?
x (a、b为常数,且a ? 0) ,满足 f (2) ? 1 ,方程 f ( x) ? x 有唯一解,求 ax ? b

函数 f ( x) 的解析式; 4、抽象函数解析式求法 (1) 赋值法
f ( x) 是 R 上 的 函 数 , 且 满 足 f (0) ? 1 , 并 且 对 任 意 实 数 x、y 有 : f ( x ? y ) ? f ( x) ? y (2 x ? y ? 1) ,求函数 f ( x) 的解析式;

(2) 递推法
? f (1) ? 1 已知函数 y ? f (n) 满足 ? ,求 f (n) 的解析式; * ? f (n ? 1) ? f (n) ? 2n, n ? N

(3) 数形结合法(已知函数图像) 已知函数 y ? f ( x) 的图像如图所示: ? 根据图像确定函数定义域和值域; ? 根据图像求函数的解析式; ? 试就 a 的取值讨论 f ( x) ? 2a 的解的个数. (4) 已知定义域为 R 的函数 f ( x) 满足 f [ f ( x) ? x 2 ? x] ? f ( x) ? x 2 ? x : ? 若 f (2) ? 3 ,求 f (1) .又若 f (0) ? a ,求 f (a) ; ? 设有且仅有一个实数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? x0 ,求 f ( x) ; (5) 数形结合(图像的平移)
?a , a ? b ? 1 对 实 数 a和b , 定 义 运 算 “ ? ”: a ? b ? ? , 设 函 数 ?b, a ? b ? 1

若函数 y ? f ( x) ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点, 求实数 c f ( x) ? ( x 2 ? 2) ? ( x ? x 2 ), x ? R , 的取值范围.

四、函数技巧
1、函数运算技巧 (1) 已知 f ( x) ?
x2 1 1 1 ,那么 f (1) ? f (2) ? f ( ) ? f (3) ? f ( ) ? f (4) ? f ( ) ? 2 2 3 4 1? x
3

.

(2)已知 a、b ? N * , f (a ? b) ? f (a) f (b), f (1) ? 2 ,求 值. 2、函数图像的应用 (1) 设 x ? R ,求函数 y ? 2 x ? 1 ? 3 x 的最大值。

f (2) f (3) f (2011) f (2012) 的 ? ? ... ? ? f (1) f (2) f (2010) f (2011)

(2) 当 m 为怎样的实数时,方程 x 2 ? 4 x ? 5 ? m 有四个互不相等的实数根? (3) 对 于 任 意 的 实 数 x1、x2 , min ?x1 , x2 ? 表 示 x1, x2 中 比 较 小 的 那 个 数 , 若

f ( x) ? 2 ? x 2 , g ( x) ? x ,求 min ? f ( x), g ( x)? 的最大值。

五、探索题
1、若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不相同,则称这些函数为“孪生函 数” ,求解析式为 y ? 3x 2 ? 4 ,值域为 {7,16} 的“孪生函数”有多少个?
f (1) ? 1 ? 2、已知函数 y ? f (n) 满足 ? * ? f (n ? 1) ? f (n) ? 2n, n ? N

(1)求 f (2)、f (3)、f (4)、f (5) ; (2)探索 f (n ? 1) ? f (n) 有何规律?能否根据规律写出 f (n) 的一个解析式?(可用公式
1? 2 ? 3 ?? ? m ? m(m ? 1) ) 2

4


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