宁夏省银川一中2013-2014学年高二上学期期末试卷 数学(理)

银川一中 2013-2014 学年高二上学期期末试卷 数学(理)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.命题“? x ? Z ,使 x 2 ? 2 x ? m ? 0 ”的否定是( A. ? x ? Z ,使 x 2 ? 2 x ? m >0 C. ? x ? Z ,使 x 2 ? 2 x ? m ? 0 )

B. 不存在 x ? Z ,使 x 2 ? 2 x ? m >0 D. ? x ? Z ,使 x 2 ? 2 x ? m >0

2 .已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是 ( ? 3 ,0), ( 3 ,0) ,离心率是 ( ).

3 ,则椭圆 C 的方程为 2

x2 A. ? y2 ? 1 2

x2 y2 2 2 B. ? y ? 1 C. x ? ?1 4 2
2

D.

y2 x ? ?1 4
2

3.设集合 A ? {( x , y ) | x ? A. 2 B. 4

y2 ? 1}, B ? {( x , y ) | y ? 3 x } ,则 A∩B 的子集的个数是( 36
C. 6 D. 8
D M A B C



4.如图,在底面 ABCD 为平行四边形的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 AC 与 BD 的交点,若 AB ? a , AD ? b, AA1 ? c , 则下列向量中与 B1 M A. ? C. ? 相等的向量是( B. )

1 1 a? b?c 2 2
1 1 a? b?c 2 2

1 1 a? b?c 2 2
1 1 a? b?c 2 2
2

D1 A1 B1

C1

D. ?

5.已知条件 p :| x ? 1 |? 2 , 条件 q : 5 x ? 6 ? x ,则 ?p 是 ?q 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件



y2 x2 5 6. 已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为( 2 a b
A. y ? ?2 x B. y ? ?



1 x 2

C. y ? ?4 x

D. y ? ?

1 x 4

7. 一个三棱锥的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是(1,-2,-3) , (0,1,0) , (0,1,1) , (0,0,1) ,则该四面体的体积为(
·1 ·



A.

1

B.

1 2

C.

1 3

D.

1 6

8.过直线 l : y ? x ? 9 上的一点 P 作一个长轴最短的椭圆,使其焦点为 F1 ? ?3, 0 ? , F2 ? 3, 0 ? ,则椭 圆的方程为( A. ) B.

x2 y2 ? ?1 12 3

x2 y2 ? ?1 25 16

C.

x2 y2 ? ?1 45 36

D.

x2 y2 ? ?1 81 72

9. 如图,平面 ABCD⊥平面 ABEF,四边形 ABCD 是正方形, 四边形 ABEF 是矩形,且 AF=

3 AD ,G 是 EF 的中点, 2
) D.

则 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值为( A.

6 6

B.

21 6

C.

7 7

21 7

10.已知命题 p:△ABC 所对应的三个角为 A,B,C. A>B 是 cos2A<cos2B 的充要条件; 命题 q:函数 y ? ( ) B. p ? ?q C. ?p ? q D.

1 ? ? tan x ? 1( x ? (0, )) 的最小值为 1;则下列四个命题中正确的是 tan x ? 2 2

A. p ? q

?p ? ?q


11. 已知向量 v 1 , v 2 , v 3 分别是空间三条不同直线 l 1 , l 2 , l 3 的方向向量, 则下列命题中正确的是 ( A. l 1 ? l 2 , l 2 ? l 3 ? v 1 ? ? v 3 (? ? R ) B. l 1 ? l 2 ,l 2 // l 3 ? v 1 ? ? v 3 (? ? R ) C. l 1 , l 2 , l 3 平行于同一个平面 ? ?? , ? ? R ,使得 v 1 ? ? v 2 ? ? v 3 D. l 1 , l 2 , l 3 共点 ? ?? , ? ? R ,使得 v 1 ? ? v 2 ? ? v 3

2 12. 过抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点, 点 O 是原点, 若 AF ? 3 ,则 ?AOB 的

面积为( A.

) B.

2 2

2

C.

3 2 2

D. 2 2

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分)13.有下列四个命题: ①“若 x ? y ? 0 , 则 x, y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 q ? 1 ,则 x ? 2 x ? q ? 0 有实根”的逆否命题;
2

·2 ·

④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题; 其中真命题为___________________. 14. 过点 M (1,1) 作一直线与椭圆 在直线的方程为

x2 y 2 B 两点, 若 M 点恰好为弦 AB 的中点, 则 AB 所 ? ? 1 相交于 A、 9 4



15.抛物线顶点为 O ,焦点为 F , M 是抛物线上的动点,则

| MO | 的最大值为 | MF |



16.设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2 和 a ,且长为 a 的棱与长为 2 的棱异面,则 a 的取值范围是_________________. 三.解答题(满分 70 分) 17.(本小题满分 10 分) 设抛物线 x2=2py(p>0)的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点,点 C 在抛物线的 准线上,且 BC∥y 轴.证明直线 AC 经过原点 O.

18.(本小题满分 12 分) 直三棱柱 ABC-A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90° , D、E 分别为 AB、BB′的中点. (1)求证:CE⊥A′D; (2)求异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值.

19. (本小题满分 12 分) 已知点 P ( x 0 , y 0 ) 是椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 上的一点。F1、F2 是椭圆 C 的左右焦点。 5

(1)若∠F1PF2 是钝角,求点 P 横坐标 x0 的取值范围; (2)求代数式 y 0 ? 2 x 0 的最大值。
2

20. (本小题满分 12 分) 已知动圆过定点 ?1, 0 ? ,且与直线 x ? ?1 相切. (1) 求动圆的圆心轨迹 C 的方程; (2) 是否存在直线 l ,使 l 过点(0,1) ,并与轨迹 C 交于 P, Q 两点,且满足 OP ? OQ ? 0 ?若
·3 ·

??? ? ????

存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

21. (本小题满分 12 分) 在四棱锥 P ? OABC 中, PO ? 底面 OABC , ?OCB ? 60? ,

P D

?AOC ? ?ABC ? 90? , 且 OP ? OC ? BC ? 2 .
(1)若 D 是 PC 的中点,求证: BD / / 平面 AOP ; (2)求二面角 P ? AB ? O 的余弦值.
A B O C

22. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A 和上顶点 D, 椭圆 C 的 a b
右顶点为 B ,点 S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线, AS , BS 与直线 l : x ? 分别交于 M , N 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求线段 MN 的长度的最小值; (3)当线段 MN 的长度最小时,在椭圆 C 上是否存在这 样的点 T ,使得 ?TSB 的面积为 数,若不存在,说明理由。
A D y l M S B

10 3

O

x N

1 ?若存在,确定点 T 的个 5

高二期末数学(理科)试卷参考答案
1-5:DBDCA;6-10:ADCDB;11-12:CC 13. ①③;14.4x+9y-13=0; 15.

2 3 3

16.(0, 2 )

17.证:设 AB:y=kx+

p ,代入 x2=2py,得 x2-2pmx-P2=0. 2

由韦达定理,得 xAxB=-p2, 即 xB=-

p2 . xA
p 上, 2
·4 ·

∵BC∥y 轴,且 C 在准线 y=-

∴C(xB,-

p ). 2

?
则 kOC=

xB

p 2 = y A =k . OA
xA

故直线 AC 经过原点 O.

18..解:(1)证明:设 CA =a, CB =b, CC ? =c, 根据题意,|a|=|b|=|c|且 a· b=b· c=c· a=0,

??? ?

??? ?

????

??? ? ???? ? 1 1 1 ∴ CE =b+ c, A? D =-c+ b- a. 2 2 2
??? ? ???? ? 1 1 ∴ CE · A? D =- c2+ b2=0, 2 2
∴ CE ⊥ A? D ,即 CE⊥A′D. (2) AC ? =-a+c,∴| AC ? |= 2|a|,| CE |=

??? ?

???? ?

???? ?

???? ?

??? ?

5 |a|. 2

???? ? ??? ? 1 1 1 CE =(-a+c)· AC ? · (b+ c)= c2= |a|2, 2 2 2
|a| ???? ? ??? ? 2 ∴cos〈 AC ? , CE 〉= 1
2

5 2· |a|2 2



10 . 10 10 . 10

即异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值为 19. (1) ?

20. 解: (1)设 M 为动圆圆心, F ?1, 0 ? ,过点 M 作直线 x ? ?1 的垂线,垂足为 N , 由题意知: MF ? MN , 即动点 M 到定点 F 与定直线 x ? ?1 的距离相等, 由抛物线的定义知,点 M 的轨迹为抛物线,其中 F ?1, 0 ? 为焦点, x ? ?1 为准线, ∴ 动点 R 的轨迹方程为 y ? 4 x
2

15 15 ? x0 ? 2 2

(2) 2 5

(2)由题可设直线 l 的方程为 x ? k ( y ? 1)(k ? 0) ,

? y ? 4x 2 △ ? 16k ? 16 ? 0 , k ? ?1或k ? 1 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y 2 ) ,则 y1 ? y2 ? 4k , y1 y2 ? 4k ??? ? ???? ??? ? ???? 由 OP ? OQ ? 0 ,即 OP ? ? x1 , y1 ? , OQ ? ? x2 , y2 ? ,于是 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,
2

由?

? x ? k ( y ? 1)

得 y ? 4ky ? 4k ? 0
2

即k

2

? y1 ? 1?? y2 ? 1? ? y1 y2 ? 0 , (k 2 ? 1) y1 y2 ? k 2 ( y1 ? y2 ) ? k 2 ? 0 ,
·5 ·

2 , 4k (k2 ? 1 ) ? k2? 4 k? k ? ,解得 0 k ? ?4 或 k ? 0 (舍去)

又 k ? ?4 ? ?1 ,

∴ 直线 l 存在,其方程为 x ? 4 y ? 4 ? 0

21 解 : ( 1 ) 如 图 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O ? x y z. 连 接 OB , 易 知 ?OBC 为 等 边 三 角 形 ,

P(0, 0, 2), C (0, 2, 0), B( 3,1, 0) ,则 D(0,1,1), z ??? ? P BD ? (? 3,0,1) .又易知平面 AOP 的法向量 ???? 为 OC ? ( 0 , 2 , ,0 ) ??? ? ??? ? 由 BD ? OC ? ? 3 ? 0 ? 0 ? 2 ? 1? 0 ? 0 ,得 ??? ? ??? ? BD ? OC , O 所以 BD / / 平面 AOP ?????????6 分 A ?3 0 ? (2) 在 ?OAB 中 , OB ? 2, ? A OB? ? A B O ,则 x ?OAB ? 120? ,由正弦定理, B 2 3 2 3 , 0, 0) , 所 以 得 OA ? , 即 A( 3 3 ??? ? ??? ? 3 AB ? ( , 1 0? ) ( 3,1, ?2) . ,,PB 3 ?? 设平面 PAB 的法向量为 m ? ( x, y, z ) , ?? ??? ? ? ?? ??? ? 3 ? x? y ?0 ? m ? AB ? m ? AB ? 由 ? ?? ??? , ??? 3 ?? ??? ? ? m ? PB ?m ? ? ? PB ? 3 x ? y ? 2 z ? 0 ?? 令 x ? 3 ,则 y ? ?1, z ? 1 ,即 m ? ( 3, ?1,1) ???????10 分 ? ??? ? 又平面 OABC 的法向量为 n ? OP ? (0, 0, 2) , ?? ? ?? ? | m?n | 2 5 ? 所以, cos ? m, n ?? ?? ? ? . 5 | m || n | 5?2
即二面角 P ? AB ? O 的余弦值为 22.

D

C

y

5 ?????????13 分 5

y D

l M S B

A

O

x N
·6 ·

要使椭圆 C 上存在点 T ,使得 ?TSB 的面积等于

2 1 ,只须 T 到直线 BS 的距离等于 ,所以 T 在 4 5

平行于 BS 且与 BS 距离等于

|t ?2| 2 2 ? , 解得 的直线 l 上。设直线 l ' : x ? y ? 1 ? 0 则由 4 4 2

t??

3 5 或t ? ? 2 2



·7 ·


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