广东省揭阳一中2012-2013学年高二下学期期中数学文试题

揭阳一中 2012-2013 学年度第二学期高二级期中考试

文科数学试题
参考公式:
b?

? (x
i ?1 n

n

i

? x)( y i ? y )
i

? (x
i ?1

?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

,

a ? y ? bx

? x) 2

?x
i ?1

2 i

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.设集合 U ? {1, 2,3, 4,5} , A ? {1, 2,3} , B ? {3, 4,5} ,则 CU ( A I B) 等于( A. {1, 2,3, 4,5} B. {1, 2, 4,5} C. {1, 2,5} )

D. {3} )

2.设 p、q 是简单命题,则“p 或 q 是假命题” 是 “非 p 为真命题”的( A. 充分而不必要条件 3. 若 0 ? x ? y ? 1 ,则( A. 3 ? 3
y x

B. 必要而不充分条件 )

C. 充要条件

D. 非充分非必要条件

B. x >y

3

3

C. log4 x ? log4 y )

D. ( ) ? ( )
x

1 4

1 4

y

4.已知等比数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? 3,a2 ? a3 ? 6 ,则 a7 ? ( A.64
x

B.81

C.128 ) D. (2,??)

D.243

5.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是( A. (??,2) B.(0,3) C.(1,4)

6.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取 5 对父子身高数据如下 父亲身高 x(cm) 儿子身高 y(cm) A. y ? x ? 1 174 175 ( ) C. y ? 88 ? B. y ? x ? 1 176 175 176 176 176 177 D. y ? 176 178 177

则 y 对 x 的线性回归方程为

1 x 2
女 20 30 50

7. 通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 男 爱好 不爱好 总计 由K ?
2

总计 60 50 110

40 20 60 算得, K ?
2

n(ad ? bc)2 (a ? d )(c ? d )(a ? c)(b ? d )

110 ? (40 ? 30 ? 20 ? 20) 2 ? 7.8 60 ? 50 ? 60 ? 50

附表:
第1页

p( K 2 ? k )
k 参照附表,得到的正确结论是 (

0.050 3.841 )

0.010 6.635

0.001 10.828

A.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为 “爱好该项运动与性别有关” D.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为 “爱好该项运动与性别无关” 8. 已知函数: f ( x) ? x 2 ? bx ? c ,其中: 0 ? b ? 4,0 ? c ? 4 ,记函数 f (x) 满足条件: ? 事件为 A,则事件 A 发生的概率为 ( ) D.

? f (2) ? 12 为 ? f (?2) ? 4

1 A. 4

5 B. 8

1 C. 2

3 8 1 4 ? 的 a b

9.若直线 l : ax ? by ? 1 ? 0 (a ? 0, b ? 0) 始终平分圆 M : x2 ? y 2 ? 8x ? 2 y ? 1 ? 0 的周长,则 最小值为 A.8 ( ) B.12

C.16

D.20 )

10. 设曲线 y ? xn?1 (n ? N * ) 在点 (1, 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,则 x1 ? x2 ??? xn 的值为 1) ( A.

1 n

B.

1 n ?1

C.

n n ?1

D. 1

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡相应横线上. 11. 某班有学生 48 人,现用系统抽样的方法,抽取一个容量为 4 的样本,知座位号分别为 6,30,42 的同 学都在样本中,那么样本中另一位同学的座位号应该是 12.已知双曲线 .

x2 ? y 2 ? 1 ,则其渐近线方程为_________, 离心率为________. 4 13. 某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习,每人投 10 次,投中的次数
如下表: 学生 甲班 乙班 1号 6 6
2

2号 7 7 .

3号 7 6

4号 8 7

5号 7 9

则以上两组数据的方差中较小的一个为 s =

2 2 3 3 4 4 n n 2+ =2 , 3+ =3 , 4+ =4 ,--- 7+ =7 3 3 8 8 15 15 m m --- m,n 都是正整数, m,n 互质) 14. 已知 ( 且 ,
通过推理可推测 m 、 n 的值,则 m-n = . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 12 分) 已知函数 f (x)=cos x ? 3 sin(? ? x) . (1) 求函数 f (x) 的最小正周期和值域;
第2页

(2) 若 ? 是第二象限角,且 f (? ?

?

2 cos 2? )=- ,试求 的值. 3 3 1+ cos 2? -sin 2 ?

16.(本小题满分 12 分) 我区高三期末统一测试中某校的数学成绩分组统计如下表: (1)求出表中 m 、 n 、 M 、 N 的值,并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方 图;
0.016 频率/组 距

分组

频数

频率

(0,30]

3
3

0.03
0.03

0.015 0.014 0.013 0.012 0.011 0.010 0.009 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 30 60 90 120 150 分数

(30,60] (60,90]
(90,120]

37

0.37

m
15
M

n
0.15

(120,150]
合计

N

00 0 (2)若我区参加本次考试的学生有 600 人,试估计这次测试中我区成绩在 90 分以上的人数;

(3)若该校教师拟从分数不超过 60 的学生中选取 2 人进行个案分析,求被选中 2 人分数不超过 30 分 的概率.

17.(本小题满分 14 分) 已知如图:平行四边形 ABCD 中, BC ? 6 ,正方形 ADEF 所在平面与平面 ABCD 垂直,G,H 分别是 DF,BE 的中点. (1)求证:GH∥平面 CDE;

E

F

H

G

D

A B

(2)若 CD ? 2, DB ? 4 2 ,求四棱锥 F-ABCD 的体积. 18.(本小题满分 14 分)

C

已知椭圆 相切. (1)求椭圆的方程;

(a>b>0) 的离心率为

1 , 以原点为圆心, 椭圆短半轴长半径的圆与直线 y=x+ 6 2

(2)设直线 l:3x ? 2 y ? 0 与椭圆在 x 轴上方的一个交点为 P , F 是椭圆的右焦点,试探究以 PF 为
第3页

直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系.

19.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 满足

1 1 ? ? 1 ,且 a1 ? 0 . 1 ? an?1 1 ? an

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn =n ? 2n an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn ; (3)设 cn ?

1 ? an?1 n

,记 Tn ?

?c
k ?1

n

k

,证明: Tn ? 1.

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 ? a ln x .( a ? R ) x

(1)当 a ? ?1 时,试确定函数 f ( x ) 在其定义域内的单调性; (2)求函数 f ( x ) 在 (0, e] 上的最小值; (3)试证明: (1 ? )

1 n

n ?1

? e(e ? 2.718? , n ? N ? ) .

揭阳一中 2012-2013 学年度第二学期高二级期中考试

文科数学
一.选择题:BACAD CACCB 二.填空题:11. 18,12. y ? ? x 、 三.解答题: 15 解: (1)∵ f (x)=cosx ? 3sin(? ? x)

参考答案及评分说明

1 2

2 5 ,13. ,14. 41 5 2

第4页

= cos x ? 3 sin x ---------------------------------------2 分 = 2( cos x ?

1 2

? 3 sin x) ? 2 cos( x ? ) -------------------4 分 3 2

∴函数 f (x) 的最小正周期 T ? 2? ,值域为[-2,2].--------------------------6 分 (2)由 f (? ?

?

2 2 1 )=- 得 2 cos ? ? ? , cos ? ? ? ,------------7 分 3 3 3 3
∴ sin ? ? 1 ? cos
2

∵ ? 是第二象限角
2

? ? 1?

1 2 2 ----------8 分 ? 9 3

∴ cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ? ?

7 ,-----------------------------------9 分 9
-------------10 分

sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ?

4 2 ,---------------9

cos 2? ∴ = 1+ cos 2? -sin 2?

7 1? 2 2 9 --------------- ------------12 分 ? 2 7 4 2 1? ? 9 9 ?
3 ? 100 , -------1 分 0.03

16.解: (1)由频率分布表得 M ?

所以 m ? 100 ? (3 ? 3 ? 37 ?15) ? 42 ,---------2 分

n?

42 ? 0.42 , 100

N ? 0.03 ? 0.03 ? 0.37 ? 0.42 ? 0.15 ? 1 .---------3 分

直方图如右---------5 分 (2) 由题意知, 全区 90 分以上学生估计为 人.---------7 分 (3)设考试成绩在 ? 0,30? 内的 3 人分别为 A、B、C; 考试成绩在 ? 30,60? 内的 3 人分别为 a、b、c, 从不超过 60 分的 6 人中,任意抽取 2 人的结果有: (A,B),(A,C),(A ,a),(A,b),(A,c), (B,C),(B,a),(B,b),(B,c),(C,a), (C,b),(C,c),(a,b),(a,c),(b,c)共有 15 个. ---------10 分
第5页

42 ? 15 ? 600 ? 342 100

设抽取的 2 人的分数均不大于 30 分为事件 D. 则事件 D 含有 3 个结果: (A,B),(A,C) ,(B,C) ∴ P( D) ? ---------11 分 ---------12 分

3 1 ? . 15 5

17. (1)证明:∵ EF // AD , AD // BC ∴ EF // BC 且 EF ? AD ? BC ∴四边形 EFBC 是平行四边形 又∵G 是 FD 的中点 ∴ HG // CD ---------------------------------------4 分 ∵ HG ? 平面 CDE, CD ? 平面 CDE ∴GH∥平面 CDE ------------------------------7 分 (2)解:∵平面 ADEF⊥平面 ABCD,交线为 AD 且 FA⊥AD,
C D B A H G

∴H 为 FC 的中点-------------2 分

E

F

∴FA⊥平面 ABCD.---------------------------------------------------9 分

2 2 2 ∵ BC ? 6 , ∴ FA ? 6 又∵ CD ? 2, DB ? 4 2 , CD ? DB ? BC

∴BD⊥CD ----------------------------------------------------------------------------------------11 分 ∴ S? ABCD ? CD ? BD = 8 2 ∴ VF ? ABCD ?

1 1 S? ABCD ? FA = ? 8 2 ? 6 ? 16 2 -----------------------------------------14 分 3 3 1 2

18. 解: (1)由于 e= 又b ?

∴ a ? 2c

--------- 1 分

6 ? 3 2

∴ b ? 3, a ? c ? 3c ? 3
2 2 2 2

---------3 分

?c2 ? 1, a2 ? 4 --------- 4 分
所以椭圆的方程为:

x2 y2 ? ?1 4 3
3 2

---------5 分

(2)由(1)可知,直线与椭圆的一个交点为 P (1, ) , F (1,0)

3 3 2 9 ? 3? ,圆心为 ?1, ? ,半径为 ---------9 分 4 4 16 ? 4? 2 2 以椭圆长轴为直径的圆的方程是 x ? y ? 4 ,圆心是 ?0,0? ,半径是 2 --------- 11 分
则以 PF 为直径的圆方程是 ( x ? 1) ? ( y ? ) ?
2

5 3 ?3? 两圆心距为 1 ? ? ? ? ? 2 - ,所以两圆内切. 4 4 ?4?
2

2

--------- 14 分

19.解: (1)由

1 1 1 ? ? 1 ,知数列 { } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列,-----2 分 1 ? an?1 1 ? an 1 ? an
第6页



1 ? 1 ? n ? 1 ? n , ------------------------------------3 分 1 ? an

1 .------------------------------------------------------------------------4 分 n 1 n n (2)由(1)得 bn =n ? 2n an = n ? 2 (1- )=(n-1)2 n
∴ an ? 1 ? ∴ Sn = 22 +2 ? 23 +3 ? 24 +---+(n-2) ? 2n-1 +(n-1) ? 2n ---------------------------①--------5 分

2Sn =23 +2 ? 24 +3 ? 25 +---+(n-2) ? 2n +(n-1) ? 2n+1 -------------------②--------6 分
①-②得 -Sn =22 +23 +2 4 +---+ 2n -(n-1) ? 2n+1 = 22 (2n?1 -1)-(n-1)2n +1 =(2-n)2n +1 -4 ∴ Sn = (n-2)2n +1 +4 .----------------------------------------------------------------------------------8 分

(3)由(1)得 cn ?

1 ? an ?1 n

1? ?

n n ? 1 ? n ? 1 ? n ---------------------------------10 分 n n ?1 n

=

1 1 ----------------------------------------------------------------12 分 ? n n ?1
n

∴ Tn ?

? ck ? ? (
k ?1 k ?1

n

1 1 1 1 1 1 1 ?( ? ) ??? ( ? ) ? ) ? 1? 2 2 3 n n ?1 k k ?1

? 1?

1 <1---------------------------------------------------------------------------14 分 n ?1
1 ? ln x , x ? (0, ??) , x

20.解: (1)当 a ? ?1 时, f ( x) ? 则 f '( x) ? ?

1 1 x ?1 ? ? 2 ,---------------------------------------------------1 分 x2 x x

∵当 0 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 ∴函数 f ( x ) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增。---------------------3 分 (2)∵ f '( x) ? ?

1 a ax ? 1 ? ?? 2 , 2 x x x

①当 a ? 0 时,∵ x ? (0, e] ,∴ ax ? 1 ? 0 ? f '( x) ? 0 函数 f ( x ) 在 (0, e] 上单调递减,∴ f ( x) min ? f (e) ? ②当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 得 x ? ?

1 ? a ---e

--------5 分

1 a

第7页

1 1 1 1 ? e, 即 a ? ? 时,对 x ? (0, ? ) ,有 f '( x) ? 0 ;即函数 f ( x) 在 (0, ? ) 上单调递减; a e a a 1 1 对 x ? (? , e] ,有 f '( x) ? 0 ,即函数 f ( x ) 在 (? , e] 上单调递增; a a 1 1 ∴ f ( x) min ? f (? ) ? ? a ? a ln(? ) ;--------------------------------7 分 a a 1 1 当 ? ? e, 即 a ? ? 时,对 x ? (0, e] 有 f '( x) ? 0 ,即函数 f ( x ) 在 (0, e] 上单调递减; a e 1 ∴ f ( x) min ? f (e) ? ? a ;---------------------------------8 分 e
当?

综上得 f ( x) min

1 ?1 ? e ? a(a ? ? e ) ? ?? --------------1 ??a ? a ln(?a)(a ? ? ) ? e ?

--------9 分

(3) (1 ? )

1 1 1 ? e ? (n ? 1) ln(1 ? ) ? 1 ? ln(1 ? ) ? ,--------10 分 n n n ?1 1 1 1 ? 1? , 令 1 ? ? x , 1 ? x ? 2 )则 ( n n ?1 x 1 1 1 ∴要证 ln(1 ? ) ? 只需证 ln x ? 1 ? ( 1 ? x ? 2 ) ,--------------12 分 n n ?1 x
n ?1

1 n

由(1)知当 a ? ?1 时, f ( x)min ? f (1)

1 1 ? ln x ? f (1) ? 1 ,即 ln x ? 1 ? ,-----------------------------------13 分 x x ∵ 1 ? x ? 2 ,∴上式取不到等号 1 1 n ?1 即 ln x ? 1 ? ,∴ (1 ? ) ? e .------------------------------------------------------14 分 x n
∴ f ( x) ?

揭阳一中 2012-2013 学年度第二学期高二级期中考试 文科数学答题卡
分数统计栏 题 号 分 数 一、选择题 题号 答案 二、填空题 11. 三、解答题 15.
第8页





15

16

17

18

19

20

总分

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12.

13.

14.

16.
0.016 0.015 0.014 0.013 0.012 0.011 0.010 0.009 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001

频率/组 距

30 00

60

90 0

120

150 分数

17.

第9页

请把 18、19、20 题的答案写在背面。

第 10 页


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