2013年高中数学解题思路大全:利用[反客为主]巧解题

利用[反客为主]巧解题
樊宏标

数学中的“反客为主”也称更换主元,是指在解题过程中将两个字母的主次互换,使 问题达到消元、降次、化归的目的,将复杂问题简单化。用这种方法时必须抓住问题的实 质,要求同学们挣脱知识框架的束缚,激活多元思维,搭建解题新平台。现以下面几道题 为例进行说明。 例 1 若不等式 2 x ? 1 ? m( x 2 ? 1) 对满足 | m |? 2 的所有 m 都成立,求 x 的取值范围。 解:对该不等式,一般是将 x 看成变量,这样就会使问题变得烦琐,但如果将 m 看成 变量,原不等式可整理为关于 m 的一次不等式 ( x 2 ? 1)m ? (2 x ? 1) ? 0 ,问题转化为一次函 数 f (m) ? ( x 2 ? 1)m ? (2 x ? 1) 在区间 ? 2 ? m ? 2 上恒小于零。故问题等价于解不等式组
?f (?2) ? 0 7 ?1 3 ?1 ,解之可得 。 ?x? ? 2 2 ?f (2) ? 0

评注:当方程或不等式中出现参数时,同学们往往以自变量为主元,有时易致使解题 思路受阻,解题过程不畅。若将题中已知范围的参数与自变量“主、客转化”,问题就会 变得简单。

? ?? 例 2 设 ? ? ?0, ? ,且 cos 2 ? ? 2m sin ? ? 2m ? 1 ? 0 恒成立,求 m 的取值范围。 ? 2?
解:将以 ? 为主元转换成以 m 为主元,由条件知 2m(sin ? ? 1) ? sin 2 ? 。 (1)当 sin ? ? 1 时, m ? R 。 (2)当 sin ? ? 1 时, 2m ?
sin 2 ? sin 2 ? 恒成立,只须 2m 大于 的最大值。 sin ? ? 1 sin ? ? 1



1 sin 2 ? 1 ? ?? ?2?0 ? sin ? ? 1 ? ? 2 ,由 ? ? ?0, ? 知 sin ? ? 1 ? sin ? ? 1 sin ? ? 1 sin ? ? 1 ? 2?

当且仅当 sin ? ? 1 ? ?1 ,即θ =0 时等号成立。所以,m>0。

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例 3 已知二次函数 f ( x ) ? ax 2 ? x (a ? R,a ? 0) ,若 x ? [0, 时,总有 | f ( x ) |? 1 ,试求 a 1] 的取值范围。 解:当 x=0 时, | f (0) |? 0 ? 1 恒成立。 当 x≠0 时, | ax 2 ? x |? 1 ,

? 1? ? 1 ?a ? ?? 2 ? x ? ?ax 2 ? x ? ?1 ? ? ?x ? 即 ? 1 ? ax 2 ? x ? 1 ,即 ? 2 ,即 ? ?ax ? x ? 1 ?a ? 1 ? 1 ? ? x2 x ?


1 ? t ,因为 x ? ?0, ,所以 t ? [1, ?) ,上述问题转化为 t ? [1, ?) 时恒有 ? ? 1? x

?a ? ?( t 2 ? t ) ?a ? (? t 2 ? t ) max ? ? ,即当 t ? [1, ?) 时, ? 。 ? ? 2 ?a ? t ? t ?a ? ( t 2 ? t ) min ? ?
?a ? ?2 解之得 ? ,因 a≠0,故 ? 2 ? a ? 0 。 ?a ? 0

评注:上述几例都是利用了“反客为主”的思想,用未知变量将参数表示出来。还利 用了 a ? f ( x ) 恒成立 ? a ? f ( x ) max ;a ? f ( x ) 恒成立 ? a ? f ( x ) min 等结论,求得参数的取值 范围。

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