江苏省泰州二中2012-2013学年高一数学下学期期中试题苏教版

泰州二中 2012-2013 学年高一下学期期中考试数学试题
(满分 160 分,时间 120 分钟) 一、填空题(每题 5 分,共 70 分) 1、一个三角形的两个内角分别为 30?和 45?,如果 45?角所对的边长为 8,那么 30?角所对 的边长是 ▲

2、在 ?ABC 中, a ? 2, b ?

2, A ? 45? ,则 C ? B ?





3、在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,若 a ? 1 , b ? 3 , ∠C=30?; 则△ABC 的面积是 ▲

4、不等式 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是___ _▲_ __. 5、已知两点 A ?1,3? 、 B ? ?1, ?4 ? 分别在直线 ax ? 3 y ? 1 ? 0 的异侧,则 a 的取值范围是__ ▲ _.

6、在等差数列 {a n } 中,若 a 3 ? ?5 , a 7 ? ?1 ,则 a 5 的值为____▲______。 7、在正整数 100 至 500 之间(含 100 和 500)能被 10 整除的个数为 8、等比数列{an},an>0,q≠1,且 a2、 ▲ . ▲ 。

a ? a4 1 a3、a1 成等差数列,则 3 = 2 a 4 ? a5

?x ? 0 ? 9、设 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值是 ▲ . ?2 x ? y ? 5 ?
10、不等式

x?3 ≤3 的解集为 x ?1



11、设 S n , Tn 分别是等差数列 ?an ? , ?bn ? 的前 n 项和,已知

S n 2n ? 1 ? , n? N *, Tn 4n ? 2



a10 a11 ? ? b3 ? b18 b6 ? b15





12、在△ABC 中, a ? x cm, b ? 3cm, B ? 45 , 若△ABC 有两解则 x 的取值范围是
0



13、在 ?ABC 中,a,b,c 分别是 ?A, ?B, ?C 的对边, ?A =60°,b=2 , ?ABC 面积为

3 ,则

2b ? 3c ? ?4a =___ _▲_ __. 4 sin A ? 2 sin B ? 3 sin C

14、若点 G 为 ?ABC的重心(三角形三边上 中线的交点)且AG ? BG ,则 cos(A+B)

1

的最大值为





二、简答题(共 6 题,共 90 分) 15、 (本题满分 14 分)解不等式

log 1 ( x 2 ? x ? 2) ? log 1 2( x ? 1)
2 2

16、 (本题满分 14 分)已知等差数列{an}中,a2=8,前 10 项和 S10=185. (1)求通项 an; (2)若从数列{an}中依次取第 2 项、第 4 项、第 8 项…第 2 项……按原来的顺序组成 一个新的数列{bn},求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
n

17、(本题满分 14 分)已知 ?ABC 的周长为 3 ? 3 ,且 sin B ? sin C ? 3 sin A 。 (1)求边 BC 的长; (2)若 ?ABC 的面积为 sin A ,求角 A 的度数。

18、 (本题满分 16 分) ?ABC 中,若已知三边为连续正整数,最大内角为钝角,①求最大 角的余弦值; ②求以此最大角为内角,夹此角两边之和为 4 的平行四边形的最大面积.

19、 (本题满分 16 分)设 ?a n ? 为递增等差数列,Sn 为其前 n 项和,满足 a1 ? a3 ? a5 ? s 70 , S11=33。 (1)求数列 ?a n ? 的通项公式 a n 及前 n 项和 Sn; (2)试求所有的正整数 m,使

a m ?1 a m ?3 为正整数。 a m?2
分 ) 已 知 数 列 {an} 和 {bn} 满 足 :

20 、 ( 本 题 满 分

16

a1 ? ? , an?1 ?

(1)若数列{an}前三项成等差数列,求 ? 的值; (2)试判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论; (3)设 0<a<b,Sn 为数列{bn}的前 n 项和.是否存在实数 λ ,使得对任意正整数 n,都有 a<Sn<b?若存在,求 λ 的取值范围;若不存在,说明理由.

2 an ? n, bn ? (?1) n (an ? 3n ? 9) ,其中 λ 为实数,n 为正整数. 3

2

高一数学参考答案: 一、填空题 1、 2、 3、

4 2

75?

3 4

4、

{x | ?3 ? x ? 1}

5. (??,?11) ? (?10,??) 6、 -3 9、 3 10、 (-∞,-3]∪(-1,+∞)

7、

41

8、

5 ?1 2

11、

41 78

12、

(3,3 2 )

13、

4 3 3

14、

?

4 5

二、简答题

16. (本题满分 14 分)已知 ?ABC 的周长为 3 ? 3 ,且 sin B ? sin C ? 3 sin A 。 (1)求边 BC 的长; (2)若 ?ABC 的面积为 sin A ,求角 A 的度数。 解: (1)由正弦定理得 AC ? AB ?

2 BC ,…(2 分)

? AB ? BC ? AC ? 3 ? 3 ,? 3BC ? BC ? 3 ? 3 ,因此 BC ? 3 。 分) (7
(2) ?ABC 的面积 S ?

又 AC ? AB ? 3 ,所以由余弦定理得:

1 AC ? AB ? sin A ? sin A ,? AC ? AB ? 2 , (9 分) 2

cos A ?

AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ( AC ? AB) 2 ? 2 AC ? AB ? BC 2 9 ? 4 ? 3 1 ? ? ? ,(13 分) 2 AC ? AB 2 AC ? AB 4 2
3

? ?A ? 60 0 。 (14 分)
17、 (14 分)

?a1 ? d ? 8 ? 设{an}公差为 d,有 ? ………………………………3 分 10 ? 9 ?10a1 ? 2 d ? 185 ?
解得 a1=5,d=3………………………………………………………………6 分 ∴an=a1+(n-1)d=3n+2………………………………………………9 分 (2)∵bn=a 2 n =3×2 +2 ∴Tn=b1+b2+…+bn =(3×2 +2)+(3×2 +2)+…+(3×2 +2)=3(2 +2 +…+2 )+2n =6×2 +2n-6.……………………………………………………………14 分 18. (本题满分 16 分) ?ABC 中,若已知三边为连续正整数,最大内角为钝角,①求最大 角的余弦值; ②求以此最大角为内角,夹此角两边之和为 4 的平行四边形的最大面积. 解:①设三边 a ? k ? 1, b ? k , c ? k ? 1 , k ? N 且 k ? 1 ,
?
n
1 2

n

n

1

2

n

a 2 ? b2 ? c2 k ?4 ? ? 0 ,解得 1 ? k ? 4 , 4 分) ( 2ab 2(k ? 1) ? ∵ k ? N , ∴ k ? 2 或 3 ,但 k ? 2 时不能构成三角形应舍去, 分) (6 1 当 k ? 3 时, a ? 2, b ? 3, c ? 4, cos C ? ? ; 分) (8 4 ②设夹 C 角的两边为 x, y , x ? y ? 4 ,
∵ C 为钝角, ∴ cos C ? 所以,S ? xy sin C ? x(4 ? x) ?

15 15 ? ? (? x 2 ? 4 x) ,或用基本不等式解,当 x ? 2 时, 4 4

S max ? 15 . 分) (8
19、 (16 分) 解: (1)设等差数列 {a n } 的首项为 a1 ,公差为 d ,依题意有

a1 (a1 ? 2d ) ? (a1 ? 4d ) ? 10a1 ? 45d ;…………………………………… 3 分[]
11a1 ? 55 d ? 33 ………………………………………………………………6 分
可以解得

a1 ? ?7, d ? 2 ………………………………………………………………8 分
∴ an ? 2n ? 9, S n ? n ? 8n ………………………………………………10 分
2

4

(2)

am?1am?3 (2m ? 7)( 2m ? 3) 4 ……………………13 分 ? ? 2m ? 5 ? am ? 2 2m ? 5 2m ? 5
要使

am ?1am ?3 4 为整数,只要 为整数就可以了, 2m ? 5 am ? 2

所以满足题意的正整数 m 可以为 2 和 3…………………………………16 分 20、 (16 分) ⒛(Ⅰ)证明: a1 ? ? , a 2 ?

2 4 8 ? ? 1, a3 ? ? ? 3 9 3 2 4 8 由条件可得 2( ? ? 1) ? ? ? ? ? ,所以 ? ? ?6 ……(4 分) 3 9 3 n+1 n+1 2 (Ⅱ)解:因为 bn+1=(-1) [an+1-3(n-1)+9]=(-1) ( an-2n+6) 3 2 2 n = (-1) ·(an-3n+9)=- bn 3 3
又 b1= ? (? ? 6) ,所以 当 λ =-6 时, bn=0(n∈N ),此时{bn}不是等比数列, 当 λ ≠-6 时,b1= ? (? ? 6) ≠0,由上可知 bn≠0,∴
+

bn ?1 2 ? ? (n∈N+). bn 3

Sn= ? (? ? 6) ?1 ? (? ) n ? 5 3
要使 a<Sn<b 对任意正整数 n 成立, 即 a<-

3

? ?

2 ? ?

3 2 n + (λ +6)·[1-(- ) ]<b(n∈N ) 5 3

3 b ? ? (? ? 6) ?            2 n 2 n 5 1 ? (? ) 1 ? (? ) ① 3 3 2 令f (n) ? 1 ? (? ) n,则 3 得
当 n 为正奇数时,1<f(n) ?

a

5 5 ;当n为正偶数时, ? f (n) ? 1, 3 9

5

∴f(n)的最大值为 f(1)=

5 5 ,f(n)的最小值为 f(2)= , 3 9

6


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