北京市重点中学2014-2015学年高二下期中考试数学试题(理)及答案

北京市 2014~2015 学年度第二学期期中考试

高 二数学(理)试卷
(考试时间:100 分钟 总分:100 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合要求的.) 1.已知复数 z 满足: zi ? 2 ? i ( i 是虚数单位) ,则 z 的虚部为( ) A. ? 2i B. 2 i C. 2 D. ? 2 2.图书馆的书架有三层,第一层有 3 本不同的数学书,第二层有 5 本不同的语 文书,第三层有 8 本不同的英语书,现从中任取一本书,共有( )种不同的 取法。 A.120 B.16 C.64 D.39
x2 1 3.已知曲线 y ? ? 3ln x ? 1 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( ) 2 4 1 A.3 B.2 C.1 D. 2 1 1 4.由直线 y ? , y ? 2 ,曲线 y ? 及 y 轴所围成的封闭图形的面积是( ) 2 x 1 5 A. 2ln 2 B. 2 ln 2 ? 1 C. ln 2 D. 2 4

5.以下说法正确的是( ) A.在用综合法证明的过程中,每一个分步结论都是结论成立的必要条件 B.在用综合法证明的过程中,每一个分步结论都是条件成立的必要条件 C.在用分析法证明的过程中,每一个分步结论都是条件成立的充分条件 D.在用分析法证明的过程中,每一个分步结论都是结论成立的必要条件 6.设函数 f ( x) ? x ln x ,则 f ( x) 的极小值点为( ) A. x ? e B. x ? ln 2 C. x ? e2 D. x ?
1 e

7.已知 21 ? 1 ? 2 , 22 ? 1? 3 ? 3 ? 4 , 23 ?1? 3 ? 5 ? 4 ? 5 ? 6 ,. . . ,以此类推,第 5 个等式 为( ) A. 24 ?1? 3 ? 5 ? 7 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 B. 25 ?1? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 C. 24 ?1? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ?10 D. 25 ?1? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ?10 8.在复平面内,复数 3 ? 4i ,i ? 2 ? i ? 对应的点分别为 ? ,? ,则线段 ?? 的中点 C 对 应的复数为( A. ?2 ? 2i ( ) ) B. 2 ? 2i
1 4

C. ? 1 ? i

D. 1 ? i

9 .已知函数 f ? x ? ? x 2 ? cos x, f ? ? x ? 是函数 f ? x ? 的导函数,则 f ? ? x ? 的图象大致是

10.设函数 y ? f ? x ? 在区间 ? a, b ? 上的导函数为 f ? ? x ? , f ? ? x ? 在区间 ? a, b ? 上的导函数 为 f ?? ? x ? ,若区间 ? a, b ? 上 f ?? ? x ? ? 0 ,则称函数 f ? x ? 在区间 ? a, b ? 上为“凹函数” ,已
1 5 1 x ? mx 4 ?2 x 2 在 ?1,3? 上为“凹函数” ,则实数 m 的取值范围是( 20 12 31 31 A. ( ??, ) B. [ ,5] C. (??,3] D. ? ??,5? 9 9

知 f ? x? ?



二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分.) 11.函数 f ( x) ? x3 ? ax ? 2 在 (1, ??) 上是增函数,则实数 a 的取值范围是 12 .设集合 A ? ? 1,2,3,4,5?, a, b ? A , 则方程 个.
? ? ?? ?sin x, x ? ?0, 2 ? ? ? ,则 2 13.设 f ( x) ? ? ? ?0 f ( x)dx 为 ? 1, x ? ? ? , 2 ? ? ? ?2 ? ? ?
y x

x2 y2 ? ? 1 表示焦点位于 y 轴上的椭圆有 a b



14.已知复数 z ? x ? yi?x, y ? R, x ? 0?且 z ? 2 ? 3 ,则 的范围为



15. 在平面上, 我们用一直线去截正方形的一个角, 那么截下的一个直角三角形, 2 2 2 按如图所标边长,由勾股定理有 c ? a ? b .设想正方形换成正方体,把截线换 成如图截面, 这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O ? LMN ,如果用 . S1 , S 2 , S 3 表示三个侧面面积, S 4 表示截面面积,那么类比得到的结论是

16. 对定义在区间 D 上的函数 f ( x) 和 g ( x) , 如果对任意 x ? D , 都有 f ( x) ? g ( x) ? 1成 立,那么称函数 f ( x) 在区间 D 上可被 g ( x) 替代, D 称为“替代区间” .给出以下命 题: ① f ( x) ? x 2 ? 1 在区间 (??,??) 上可被 g ( x) ? x 2 ? 替代;
1 1 3 替代的一个“替代区间”为 [ , ] ; 4x 4 2 ③ f ( x) ? ln x 在区间 [1, e] 可被 g ( x) ? x ? b 替代,则 e ? 2 ? b ? 2 ;
1 2

② f ( x) ? x 可被 g ( x) ? 1 ?

④ f ( x) ? lg(ax2 ? x)(x ? D1 ), g ( x) ? sin x( x ? D2 ) ,则存在实数 a(a ? 0) ,使得 f ( x) 在区间

D1 ? D2 上被 g ( x) 替代;

其中真命题的有

三、解答题(本大题共 4 小题,共 36 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 步 骤.) 17.(本小题共 8 分) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 2, x ? 2 是 f ( x) 的一个极值点,求: (1)实数 a 的值; (2) f ( x) 在区间 ?? 1, 3?上的最大值和最小值。

18. (本小题共 8 分) 若 a 、 b 、 c 均为实数,且 a ? x 2 ? 2 y ?
?
2

, b ? y 2 ? 2Z ? , c ? Z 2 ? 2 x ?
3

?

?
6

求证: a 、 b 、 c 中至少有一个大于 0 。

19. (本小题共 10 分)

x 已知函数 f ( x) ? e ? ax ?1(a ? R) .

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若函数 F ( x) ? f ( x) ? x 2 在 ?1, 2? 上有且仅有一个零点,求 a 的取值范围;
1 2

20. (本小题共 10 分)
1 1 ? a a 1 1 已知数列 ?an ? 的各项均为正整数,对于任意 n ? N * ,都有 2 ? 成 ? n n?1 ? 2 ? an?1 1 ? 1 an n n ?1 立,且 a2 ? 4 .

(1)求 a1 , a3 的值; (2)猜想数列 ?an ? 的通项公式,并给出证明.

北京市 2014~2015 学年度第二学期期中考试 高二(理)试卷答案及评分标准

一、选择题
序号 答案 1 D 2 B 3 A 4 A 5 B 6 D 7 D 8 D 9 A 10 C

二、填空题 11. ??3, ??? 12.10 13. 3 ?
?
2
2 2 2 2 ? s ? s2 ? s3 ? s4 14. ? ? ? 3, 3 ? 15. 1

16.①②③ 三、解答题 17. (1)因为, f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax,
f ( x) 在 x ? 2 处有极值,所以, f ?(2) ? 0, 即 3 ? 4 ? 4a ? 0, 所以, a ? ?3 。
3 2

(1 分) (2 分) (3 分) (4 分)

(2)由(1)知 a ? ?3 ,所以 f ( x) ? x ? 3x ? 2, f ?( x) ? 3x 2 ? 6 x 当 x 变化时 f ?( x), f ( x) 的变化情 况如下表: 令 f ?( x) ? 0, 得 x1 ? 0, x2 ? 2 ,

x f ?( x)
f ( x)

?1

?? 1, 0?
+

0 0
2

?0, 2?
-

2

?2, 3?
+

3
2

0
?2

?2

从上表可知 f ( x) 在区间 ?? 1, 3? 上的最大值是 2 ,最小值是 ? 2 。

(7 分) (8 分)

18.

证明:假设 a, b, c 都不大于 0 , 即 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ∴a ?b?c ? 0 ∵ a ? b ? c ? x ? 2y ?
2

(4 分)

?

2 3 2 2 = ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? ( z ? 1) ? ? ? 3 ? 0 与上式 矛盾 ∴ a, b, c 中至少有一个大于 0 (8 分)
2

? y 2 ? 2z ?

?

? z 2 ? 2x ?

?
6

19.(1)解: f ?( x) ? e x ? a (1 分) 当 a ? 0 时, f ?( x) ≥ 0 ,则 f ( x) 在 (??, ??) 上单调递增 (2 分) ln a) 上单调递减, f ( x) 在 (ln a, ? ?) 上单调递增. (4 分) 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (??, 1 ex ? x2 ? 1 1 2 2 (2)解:由 F ( x) ? f ( x) ? x ? 0 ,得 a ? x 2 考查函数 g ( x) ?
ex ? 1 2 1 x ?1 ( x ? 1)e x ? x 2 ? 1 2 2 ( x ? ?1, 2? ),则 g ?( x) ? x2 x

(5 分) (6 分) (7 分) (8 分)

令 h( x) ? ( x ? 1)e x ?

1 2 x ? 1 , h?( x) ? x(e x ? 1) 2

当 1 ? x ? 2 时, h?( x) ? 0 ,∴ h( x) 在 ?1, 2? 上单调递增 ∴ h( x) ≥ h(1) ?
ex ?

1 ? 0 , g ?( x) ? 0 ,∴ g ( x) 在 ?1, 2? 上单调递增 2

∴ g ( x) ?

1 2 x ?1 1 3 2 在 ?1, 2? 上的最小值为 g (1) ? e ? ,最大值为 g (2) ? (e2 ? 3) x 2 2

(9 分) ∴当 e ?

1 3 1 ≤ a ≤ ? e2 ? 3? 时,函数 F ( x) ? f ( x) ? x2 在 ?1, 2? 上有且仅有一个零点 2 2 2
(10 分)

1 1 ? a an?1 1 1 20. (1)因为 2 ? , a2 ? 4 ? n ? 2? an ?1 1 ? 1 an n n ?1 1 2 2 1 ?1 1? 1 1 ? 2 ? ? ? ? 2 ? ,即有 2 ? ? ? ? 2 ? , 当 n ? 1 时,由 2 ? 4 a1 4 a1 a2 a1 ? a1 a2 ? 2 8 解得 ? a1 ? .因为 a1 为正整数,故 a1 ? 1 . (2 分) 3 7 ?1 1 ? 1 1 ? 6? ? ? ? 2 ? , 当 n ? 2 时,由 2 ? a3 4 ? 4 a3 ?
解得 8 ? a3 ? 10 ,所以 a3 ? 9 . (2)由 a1 ? 1 , a2 ? 4 , a3 ? 9 ,猜想: an ? n 下面用数学归纳法证明. 1? 当 n ? 1 , 2 , 3 时,由(1)知 an ? n 均成立.
2
2

(4 分) (5 分) (6 分)

2? 假设 n ? k ? k ≥3? 成立,则 ak ? k ,
2

由条件得 2 ? 所以

k ? k 2 ? k ? 1? k 3 ? k ? 1? , ? ak ?1 ? k 2 ? k ?1 k ?1 k ?1 1 2 2 ? ak ?1 ? ? k ? 1? ? 所以 ? k ? 1? ? 2 k ? k ?1 k ?1 k ?1 1 ?1,0 ? ? 1, 因为 k ≥ 3 , 0 ? 2 k ? k ?1 k ?1 2 ? 又 ak ?1 ? N ,所以 ak ?1 ? ? k ? 1? .
即 n ? k ? 1 时, an ? n 也成立.
2

? 1 1 1 ? 1 ? k ? k ? 1? ? 2 ? ? ? 2? 2 , ak ?1 ak ?1 ? k ?k
(8 分) (9 分)

由 1?,2? 知,对 任意 n ? N? , an ? n .
2

(10 分)


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