北京市海淀区2012届高三上学期期末考试数学(文)试题及答案

海淀区高三年级第一学期期末练习

文科) 数 学(文科)
2012.01 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 选择题: 在每小题给出的四个选项中 项是符合题目要求的. 项是符合题目要求的 (1)复数 i(1 ? 2i) = (A) ?2 + i (B) 2 + i (C) 2 ? i (D) ?2 ? i

uuu r
(2)如图,正方形 ABCD 中,点 E , F 分别是 DC , BC 的中点,那么 EF =

r 1 uuu 1 uuur (A) AB + AD 2 2 uuu 1 uuur r 1 (C) AB + AD 2 2

r 1 uuu 1 uuur (B) AB - AD 2 2 uuu 1 uuur r 1 (D) AB - AD 2 2
2 2

D

E

C F

A

B

(3)已知数列 {an } 满足: a1 = 1, an > 0, an +1 ? an = 1( n ∈ N*) ,那么使 an < 5 成 立的 n 的最大值为( (A)4 ) (B)5 (C)24 (D)25 开始 i=1,s=0 s=s+2 i -1i s≤100 否 输出 i (5)已知直线 l1 : k1 x + y + 1 = 0 与直线 l2 : k 2 x + y - 1 = 0 ,那么 “ k1 = k2 ”是“ l1 ∥ l2 ”的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
2 y

(4)某程序的框图如图 所示,若执行该程序,则输出的 i 值为 (A)5 (C)7 (B)6 (D)8

i= i +1 是

[21 世纪教育网]

结束

( 6 )函数 f ( x ) = A sin(2 x + ? )( A, ?  R ) 的 部 分图 象如图 所示 ,那 么

f (0) = 1 (A) 2
O x

(B) - 1

[来源:Z*xx*k. Com]

(C) -

3 2

(D) -

3

(7)已知函数 f ( x) = x x ? 2 x ,则下列结论正确的是

(A) f ( x ) 是偶函数,递增区 间是 (0,+  ) 是 (-  ,1) (C) f ( x ) 是奇函数,递减区间是 (- 1,1) 是 (-  , 0)

(B) f ( x ) 是偶函数,递减区间

(D) f ( x ) 是奇函数,递增区间

(8)点 A 到图形 C 上每一个点的距离的最小值称为点 A 到图形 C 的距离. 已知点 A(1, 0) , 圆 C : x 2 + 2 x + y 2 = 0 ,那么平面内到圆 C 的距离与到点 A 的距离之差为 1 的点的轨迹 是 (A)双曲线的一支 (C)抛物线 (B)椭圆 (D)射线

小题, 把答案填在题中横线上. 二、填空题:本大题共6小题,每小题 分,共30 分,把答案填在题中横线上 填空题 本大题共 小题 每小题6分 (9)双曲线
x2 y2 ? = 1 的离心率为 4 5 . .

(10)已知抛物线 y 2 = ax 过点 A( ,1) ,那么点 A 到此抛物线的焦点的距离为

1 4

ì ? x + y - 4  0, ? ? (11)若实数 x, y 满足 í 2 x + y - 5  0, 则 z = x + 2 y 的最大值为 . ? ? y - 1  0, ? ? ? (12)甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温(单位: °C )用茎叶图记录如下,根据
茎叶图可知, 两城市中平均温度较高的城市是_____________,气温波动较大的城市是
____________.

甲城市 9 8 7 7 3 2 ( 13 ) 已 知 圆 C : 0 1 2 2 0

乙城市

4 4

7 7

( x ? 1) 2 + y 2 = 8 ,过点

A(?1, 0) 的 直 线 l 将 圆 C 分 成 弧 长 之 比 为 1: 2 的 两 段 圆 弧 , 则 直 线 l 的 方 程
为 .

( 14 ) 已 知 正 三 棱 柱 ABC - A ' B ' C ' 的 正 ( 主 ) 视 图 和 侧 ( 左 ) 视 图 如 图 所 示 . 设

?ABC , ?A ' B ' C ' 的中心分别是 O, O ' , 现将此三棱柱绕直
线 OO ' 旋转,射线 OA 旋转所成的角为 x 弧度( x 可以取 到任意一个实数),对应的俯视图的面积为 S ( x ) ,则函数
4 3

S ( x) 的 最 大 值 为

;最小正周期

正(主)视图

侧(左)视图

. 为 说明: “三棱柱绕直线 OO ' 旋转”包括逆时针方向和顺时针方向,逆时针方向旋转时,OA 旋转所成的角为正角,顺时针方向旋转时, OA 旋转所成的角为负角.

小题, 解答应写出文字说明, 三、解答题:本 大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 解答题: 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. (15)(本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , A = 2 B , sin B = (Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)若 b = 2 ,求边 a , c 的长. (16)(本小题满分 13 分) 为加强大学生实践、创新 能力和团队精神的培养,促进高等教育教学改革,教育部门 主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段, 参加决赛的队伍按照抽 签方式决定出场顺序.通过预赛,选拔出甲、乙和丙三支队伍参加决赛. (Ⅰ)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率; (Ⅱ)求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率. (17)(本小题满分 13 分)

3 . 3

在四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, AC I BD = O . (Ⅰ)若 AC ⊥ PD ,求证: AC ⊥ 平面 PBD ; (Ⅱ)若平面 PAC ^ 平 面 ABCD ,求证: PB = PD ; (Ⅲ)在棱 PC 上是否存在点 M (异于点 C )使得 BM ∥平面
P

PAD ,若存在,求

PM 的值;若不存在,说明理由. PC
D O B

(18)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) = e x ( x 2 + ax ? a ) ,其中 a 是常数. (Ⅰ)当 a = 1 时,求 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [0, +∞ ) 上的最小值.

A

C

(19)(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 1 + 2 = 1(a > b > 0) 的右焦点为 F1 (1, 0) ,离心率为 . 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程及左顶点 P 的坐标; (Ⅱ)设过点 F1 的直线交椭圆 C 于 A, B 两点,若 ?PAB 的面积为

36 ,求直线 AB 的方程. 13

(20)(本小题满分 14 分) 若集合 A 具有以下性质: ① 0 ∈ A ,1 ∈ A ; ②若 x, y ∈ A ,则 x ? y ∈ A ,且 x ≠ 0 时, 则称集合 A 是“好集”. (Ⅰ)分别判断集合 B = {- 1, 0,1} ,有理数集 Q 是否是“好集”,并说明理由; (Ⅱ)设集合 A 是“好集”,求证:若 x, y ∈ A ,则 x + y ∈ A ; (Ⅲ)对任意的一个“好集” A , 分别判断下面命题的真假,并说明理由. 命题 p :若 x, y ∈ A ,则必有 xy ∈ A ; 命题 q :若 x, y ∈ A ,且 x ≠ 0 ,则必有

1 ∈ A. x

y ∈ A; x

海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学(文科) 2012.01 .
6 B 7 C 8 D

参考答案及评分标准
小题, 一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 选择题: 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 A 5 C

二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 填空题 本大题共6小题,每小题5 30分 (9)

3 2

(10)

5 4

(11)7 (14) 8 ;

(12)乙,乙

(13) y = x + 1 或 y = - x - 1

π 3

注:(13)题正确答出一种情况给3分,全对给5分;(12)、(14)题第一空3分;第二 空2分. 三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题:本大题共6小题, 80分 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15)(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)因为 A = 2 B , 所以 cos A = cos 2 B = 1- 2sin B . 因为 sin B =
2

………………………………… ……2 分

3 , 3 1 3 1 . 3
… ……………………………………3 分

所以 cos A = 1- 2?

(Ⅱ)由题意可知, B ? (0, ) .

π 2

所以 cos B =

1- sin 2 B =

6 . 3

………………………………………5 分

所以 sin A = sin 2 B = 2sin B cos B =

2 2 . 3
………………………………………7 分

因为

b a = ,b = 2, sin B sin A

所以

2 a = . 3 2 2 3 3

所以 a =

4 6 . 3

………………………………………10 分

由 cos A =

1 π 可知, A ? (0, ) .过点 C 作 CD ^ AB 于 D . 3 2
b ?cos A
4 6 6 ? 3 3 2? 1 3 10 . 3

所以 c = a ?cos B

………………………………………13 分

(16)(本小题满分 13 分) 解:基本事件空间包含的基本事件有“甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙, 丙乙甲”. ………………………………………2 分 (Ⅰ)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件 A ,事件 A 包含的基本事件 ,则 ………………………………………4 分 有“甲乙丙,乙甲丙”

P ( A) =

2 1 = . 6 3 1 . 3

所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为

………………………………………7 分 (Ⅱ)设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件 B ,事件 B 包含的基本事件 有“甲乙丙,乙甲丙,丙甲乙,丙乙甲”,则………………………………………10 分

P ( B) =

4 2 = . 6 3

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所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为

2 . 3

………………………………………13 分

(17)(本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:因为 底面 ABCD 是菱形 所以 AC ⊥ BD . 因为 AC ⊥ PD , PD I BD = D , 所以 AC ⊥ 平面 PBD . (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知 AC ⊥ BD . ………………………………………1 分 ………………………………………3 分

因为 平面 PAC ^ 平面 ABCD ,平面 PAC I 平面 ABCD = AC ,

BD ? 平面 ABCD ,
所以 BD ⊥ 平面 PAC . 因为 PO ? 平面 PAC , 所以 BD ⊥ PO . ………………………………………5 分 …………… …… ……………………7 分

因为 底面 ABCD 是菱形, 所以 BO = DO . 所以 PB = PD . (Ⅲ)解:不存在. 下面用反证法说明.
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………………………………………8 分 ………………………………………9 分

假设存在点 M (异于点 C )使得 BM ∥平面 PAD . 在菱形 ABCD 中, BC ∥ AD ,
[来源:21 世纪教育网]

P

因为 AD ? 平面 PAD , BC ? 平面 PAD , 所以 BC ∥平面 PAD . ………………………………………11 分 因为 BM ? 平面 PBC , BC ? 平面 PBC ,
D A B O M C

BC I BM = B ,
所以 平面 PBC ∥平面 PAD . ………………………………………13 分 而平面 PBC 与平面 PAD 相交,矛盾.

………………………………………14 分

(18)(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)由 f ( x) = e x ( x 2 + ax ? a ) 可得

f '( x) = e x [ x 2 + (a + 2) x] .
当 a = 1 时, f (1) = e , f '(1) = 4e .

………………………………………2 分 ………………………………………4 分

所以 曲线 y = f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? e = 4e ( x ? 1) , 即 y = 4ex ? 3e . (Ⅱ)令 f '( x) = e x [ x 2 + ( a + 2) x] = 0 , 解得 x = ?( a + 2) 或 x = 0 . ………………………………………8 分 ………………………………………6 分

当 ?( a + 2) ≤ 0 ,即 a ≥ ?2 时,在区间 [0, +∞ ) 上, f '( x) ≥ 0 ,所以 f ( x) 是 [0, +∞ ) 上的增函数. 所以 f ( x) 的最小值为 f (0) = ? a ; ………………………………………10 分

当 ?( a + 2) > 0 ,即 a < ?2 时, f '( x), f ( x ) 随 x 的变化情况如下表

x

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0

(0, ?(a + 2))

[来源:21 世纪教育网]

?(a + 2)

(?(a + 2), +∞)

f '( x) f ( x)

0



0

+


f (0)

f (?(a + 2))

由上表可知函数 f ( x ) 的最小值为 f ( ?( a + 2)) =

a+4 . ea + 2

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……………………………………13 分 (19)(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)由题意可知: c = 1 , 所以 b = a - c = 3 .
2 2 2

c 1 = ,所以 a = 2 . a 2

x2 y 2 所以 椭圆 C 的标准方程为 + = 1 ,左顶点 P 的坐标是 (- 2, 0) . 4 3
……………………………………4 分 (Ⅱ)根据题意可设直线 AB 的方程为 x = my + 1 , A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) .

ì x2 y 2 ? ? = 1, ? + 由í 4 可得: (3m 2 + 4) y 2 + 6my - 9 = 0 . 3 ? ? x = my + 1 ? ?
所以 ? = 36m 2 + 36(3m 2 + 4) > 0 , y1 + y2 = -

6m 9 , y1 y2 = . 2 2 3m + 4 3m + 4

……………………………………7 分 所以 ?PAB 的面积 S =

1 1 PF1 y2 - y1 = 创3 2 2

( y2 + y1 ) 2 - 4 y2 y1

……………………………………9 分

=

3 6m 2 36 18 m 2 + 1 () + = . 2 3m 2 + 4 3m 2 + 4 3m 2 + 4
………………………………………10 分

36 因为 ?PAB 的面积为 , 13
所以

m2 + 1 2 = . 2 3m + 4 13

令t =

m2 + 1 ,则

t 2 = (t  1) . 3t + 1 13
2

解得 t1 =

1 (舍), t2 = 2 . 6

所以 m =   3 . 所以直线 AB 的方程为 x + 3 y - 1 = 0 或 x -

3y - 1= 0 .
……………………………………13 分

(20)(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)集合 B 不是“好集”. 理由是:假设集合 B 是“好集”. 因为 - 1  B , 1 ∈ B ,所以 - 1- 1 = - 2  B . 这与 - 2  B 矛盾. ………………………………………2 分 有理数集 Q 是“好集”. 因为 0 ? Q , 1? Q , 对任意的 x, y ? Q ,有 x - y   ,且 x ≠ 0 时, Q 所以有理数集 Q 是“好集”. (Ⅱ)因为集合 A 是“好集”,
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1 ? Q. x

………………………………………4 分

所以 0 ∈ A .若 x, y ? A ,则 0 ? y ∈ A ,即 ? y ∈ A . 所以 x ? ( ? y ) ∈ A ,即 x + y ∈ A . (Ⅲ)命题 p, q 均为真命题. 理由如下: 对任意一个“好集” A ,任取 x, y ? A , 若 x, y 中有 0 或 1 时,显然 xy ∈ A . 下设 x, y 均不为 0,1 . 由定义可知: x ? 1, 所以 ………………………………………7 分 ………………………………………9 分

1 1 , ∈ A. x ?1 x

1 1 1 -  A ,即 ? A. x- 1 x x( x - 1)

所以 x ( x - 1)  A . 由(Ⅱ)可得: x ( x - 1) + x  A ,即 x ? A . 同理可得 y 2 ? A .
2

若 x + y = 0 或 x + y = 1 ,则显然 ( x + y ) 2  A . 若 x + y  0 且 x + y  1 ,则 ( x + y ) 2  A . 所以 2 xy = ( x + y ) 2 ? x 2 ? y 2 ∈ A . 所以

1 ∈ A. 2 xy

[来源:21 世纪教育网]

由(Ⅱ)可得: 所以 xy ∈ A .

1 1 1 = + ∈ A. xy 2 xy 2 xy

综上可知, xy ∈ A ,即命题 p 为真命题. 若 x, y ? A ,且 x ? 0 ,则 所以

1 ? A. x
……………… ……………………14 分

y 1 = y孜 x x

A ,即命题 q 为真命题.


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