2015届高考数学总复习第七章 第十一节轨迹方程的求法精讲课件 文

第七章 第十一节 轨迹方程的求法 用直接法求点的轨迹方程 【例1】 已知两条直线l1:2x-3y+2=0和l2:3x-2y+3 =0,有一动圆(圆心和半径都动)与l1、l2都相交,且l1、l2被圆 截得的弦长分别是定值26和24,求圆心的轨迹方程. 思路点拨: 弦长通常可与弦心距及半径相联系,因而 可由两个定圆心距与同一个半径的关系而得动圆圆心的几 何特征,从而进一步转化为方程. 自主解答: 解析:设动圆的圆心为 M(x,y), 半径为 r,点 M 到直线 l1,l2 的距离分别为 d1 和 d2. 由弦心距、半径、弦长间的关系得, ? ?2 ? ? ?2 r2-d2 1=26, r2-d2 2=24, 2 2 ? r - d ? 1=169, 即? 2 2 ? ?r -d2=144, 2 消去 r 得动点 M 满足的几何关系为 d2 - d 2 1=25, ?3x-2y+3?2 ?2x-3y+2?2 即 - =25. 13 13 化简得(x+1)2-y2=65. 即为所求的动点 M 的轨迹方程. 点评:利用题设条件建立动点坐标x与y的关系,再等价变 形得到轨迹方程F(x,y)=0. 变式探究 1.(2012· 襄阳调研)平面内动点 P(x,y)与 A(-2,0),B(2,0) 1 两点连线的斜率之积为4,则动点 P 的轨迹方程为( ) x2 2 A. 4 +y =1 x2 2 C. 4 +y =1(x≠± 2) x2 2 B. 4 -y =1 x2 2 D. 4 -y =1(x≠± 2) 1 解析:依题意有 kPA· kPB=4, y y 1 即 · =4(x≠± 2), x+2 x-2 x2 2 整理得 4 -y =1(x≠± 2).故选 D. 答案:D 用定义法求点的轨迹方程 【例 2】 如图,在平面直角坐标系中, N 为圆 A : (x + 1)2+y2=16上的一动点,点B(1,0),点M是BN的中点,点P在 →· → = 0. 线段AN上,且 MP BN (1)求动点P的轨迹方程; (2) 试判断以 PB 为直径的圆与圆 x2 + y2 = 4 的位置关系, 并说明理由. 自主解答: 解析:(1)由点 M 是 BN 的中点, →· → =0,可知 PM 垂直平分 BN, 又MP BN 所以|PN|=|PB|,又|PA|+|PN|=|AN|, 所以|PA|+|PB|=4>|AB|, 由椭圆定义知,点 P 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆. x2 y2 设椭圆方程为a2+b2=1,其中 2a=4,2c=2, 可得 a2=4,b2=a2-c2=3. x2 y2 可知动点 P 的轨迹方程为 4 + 3 =1. (2)设点 P(x0,y0),PB 的中点为 Q,则 |PB|= ?x0-1?2+y2 0 = = 3 2 2 x0-2x0+1+3- x0 4 1 2 1 x 0-2x0+4=2- x0, 4 2 ?x0+1 y0? ?, Q? , 2? ? 2 即以PB为直径的圆的圆心为 , 1 半径为 r1=1-4x0,又圆 x2+y2=4 的圆心为 O(0,0), 半径 r2=2, 又|OQ|= = = ?x0+1?2 ?y0?2 ? ? +? ? ?2? ? 2 ? 3 2? 1 2 1 1 1? x 0+ x0+ + ?3- x0? 4 2 4 4? 4 ? 1 2 1 1 16x0+2x0+1 =1+4x0, 故|OQ|=r2-r1,即两圆内切. 点评:根据题设条件,可以得出动点的轨迹是某种已知 曲线,则可以由该曲线的定义直接写出动点的轨迹方程. 变式探究 2 .已知两定点 F1( - 1,0) 、 F2(1,0) ,且 |F1F2| 是 |PF1| 与 |PF2|的等差中项,则动点P的轨迹方程是________. 解析:由|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项知: |PF1|+|PF2|=4>|F1F2|, 故动点 P 的轨迹是以定点 F1(-1,0)、F2(1,0)为焦点, x2 y2 长轴长为 4 的椭圆,故其方程为 4 + 3 =1. x2 y2 答案: 4 + 3 =1 用相关点代入法求轨迹方程 【例 3】 如图所示,已知 P(4,0) 是圆 x2 + y2 = 36 内的一 点 , A , B 是 圆 上 两 动 点 , 且 满 足 ∠ APB = 90° , 求 矩 形 APBQ的顶点Q的轨迹方程. 思路点拨:本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线 的轨迹方程.利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式 建立线段AB中点的轨迹方程. 解析:设AB的中点为R,坐标为(x1,y1), 则在Rt△ABP中,|AR|=|PR|. 又因为R是弦AB的中点,依垂径定理: 在Rt△OAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x21+y21), 又|AR|=|PR|= ?x1-4?2+y21 , 所以有(x1-4)2+y21=36-(x21+y21), 即x21+y21-4x1-10=0, 因此点 R 在一个圆上,而当 R 在此圆上运动时,点 Q 即在 所求的轨迹上运动. 设 Q(x,y),因为 R 是 PQ 的中点, x+4 y+0 所以 x1= 2 ,y1= 2 , 代入方程 x21+y21-4x1-10=0,得 ?x+4?2 ? y ?2 x+4 ? ? +? ? -4· -10=0, 2 2 2 ? ? ? ? 整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程. 点评:相关点代入法(代入转移法):动点P(x,y)依 赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化,并且Q(x0,y0)又 在某已知曲线上,则可先用 x , y 的代数式表示 x0 , y0 , 再将x0,y0代入已知曲线得要求的轨迹方程. 变式探究 3.M是抛物线y2=x上一动点,以OM为一边(O为原点),作 正方形MN

相关文档

高考数学总复习(整合考点+典例精析+深化理解)第七章 第十一节轨迹方程的求法精讲课件 文
高考数学总复习 第七章 第十一节轨迹方程的求法课件 文
2015届高考数学总复习 第七章 第十一节轨迹方程的求法课时精练试题 文(含解析)
2015届高考数学总复习 第七章 第十一节轨迹方程的求法课时精练 理
电脑版