高数第二章复习题参考答案

学年第一学期 高等数学》 第一学期《 华东政法大学 2008-2009 学年第一学期《高等数学》 第二章《导数与微分》参考答案 导数与微分》
一、填空题
1.设 f ' ( x0 ) = A ,则 lim

3.根据导数定义,函数 f ( x ) = x x ? 1 在点 x = 1 处的导数 f ' (1) = 4.函数 f ( x ) = sin x 在点 x = 0 处的导数 f ' (0 ) = 5.设函数 f ( x ) = ( x + 1)( x + 2)( x + 3) ? ( x + n) (其中 n 为正整数) ,则 f ' (0) = 6. 曲线 y = (1 + x )e x 在点 x = 0 处的切线方程为 y = 7.设 f ( x ) = x 2 ,则 f ' [ f ( x )] = 8.设 y = f (x ) ,且 lim

f ( x0 ? 3?x) ? f ( x 0 ) = ?x →0 ?x 2.函数 f ( x ) = 3 x x 在点 x = 0 处的导数 f ' (0 ) =

? 3A
0 不存在 不存在
n 1 n!∑ ↑ k =1 k 2x 2

2x + 1

f ( x 0 ) ? f ( x 0 + 2h ) = 3 ,则 dy | x = x0 = h →0 6h 9. y = x 2 + e ? x ,则 y" (0) =
10.设 x = a (t ? sin t ) , y = a (1 ? cos t ) ,则

? 9dx 3

d y = dx 2

2

11.设 0 < x < 1 ,则 d ( x arcsin

x) =

?1 a (1 ? cos t ) 2 1 1 ( arcsin x + )dx 2 x 2 1? x
y ? 8 = 3( x ? 5)

?x = 1 + t 2 12.曲线 ? 在 t = 2 处的切线方程 3 ? y=t
13.设 y = 2 x + 1 ,则其反函数 x = x ( y ) 的导数 x ′( y ) = 14.设 y = ln( x ? 1) + arctan 2 x ,则导数

dy 在点 x = 4 处的值为 dx

1 2 1 2 + arctan 4 4 17

二、单项选择题 1.设 f (x) 是可导函数,且 lim
h →0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) = 1 ,则 f ' ( x0 ) 为 2h
③-1 ④-2



①1

②2

2.设 f (x ) 在 x = 1 处可导,且 f ' (1) = 2 ,则 lim 3.函数 f (x ) = x 在 x = 0 处满足下列哪个结论
3

①1

②2

f (1 + x) ? f (1 ? x) = x →0 x ③4 ④3



④ ④可导 ②

①极限不存在 ②极限存在,不连续 ③连续,不可导 4.函数 f ( x ) 在区间 (a, b ) 内连续是 f ( x ) 在 (a, b ) 内可导的 ①充分但非必要条件 ②必要但非充分条件 ③充分必要条件 ④既非充分又非必要条件 5.设 f ( x ) 为奇函数,则其导数 f ′( x ) 的奇偶性为




①奇函数 ②偶函数 ③非奇非偶 ④奇偶性不定 6.设函数 f (x ) 可导,记 g ( x ) = f ( x) + f ( ? x ) ,则导数 g' ( x ) 为 ①奇函数 ②偶函数 ③非奇非偶 ④奇偶性不定 7.设函数 y = f (x) 有 f ' ( x 0 ) = ①与 ?x 等价的无穷小 ③与 ?x 低阶的无穷小



1 ,则当 ?x → 0 ,该函数在点 x = x0 处的微分 dy 是 ② 2 ②与 ?x 同阶的无穷小,但不等价 ④与 ?x 高阶的无穷小
,在 x = 0 处 ③可导,且 f ' (0) = 0 ③1 ④e
2

? x ? 1 8.函数 f ( x ) = ? 1 ? e x ? 0 ?
①不连续 ①0 10.设 e ①e
2x 2x

x≠0 x=0

② ④可导,且 f ' (0) = 1 ②

②连续但不可导 ②e

9.设 f ( x) = x ln x 在 x0 处可导,且 f ′( x0 ) = 2 ,则 f ( x0 ) = 为 f ( x) 的导函数,则 f ′′( x) = ② 2e 2 x ③ 4e 2 x ④0



11.设 f ′(0) = 2 ,则当 x → 0 时, f ( x ) ? f (0) 是 x 的 ①低阶无穷小量 ②同阶无穷小量 ③高阶无穷小量 ④等价无穷小量



12、设 f ( x) 可导, F ( x) = f ( x)(1+ | sin x |) ,则 f (0) = 0 是 F ( x) 在 x = 0 可导的(①) ①充要条件 ②充分不必要条件 ③必要不充分条件 ④既非必要,又非充分条件。 13、函数 f ( x) 在 x0 处可导,则 lim ①-1 ② 0 ③1
?x →0 ?y ? dy ?x

等于( ② ) ④∞

三、求下列导数或微分
dy 1.设 y = x + x + x ,求 dx
2.设 y =

? 1+ 21x ?1 + ( ? ? 2 x+ x+ x ? 2 x+ x 1


? ?) ? ?

x sin

1 dy ,求 x dx

1 2 x

sin

1 1 1 ? cos ) x 2x x

4. y = x(sin ln x + cos ln x ) ,求 dy ( 2 cos ln xdx ) 5. y = arccos 1 ? x 2 ,求 dy ( 6.设 y = 3 x + x 3 + x sin 3 x ,求 y ′

3. y = e x (sin x + cos x ) ,求

y ' x = 0 (=2)
xdx x 1? x2

)

sin 3 x ? ?) x ? 1 1 2 7.设 y = x ? arctan + ln 1 + x ,求 y ' ( arctan ) x x ? 1 x +1 ? x ?1 1 ? 8.设 y = ( x > 1) ,求 dy ( ( x + 1 ? x ? 1)? ? ?dx ) ? ? x +1 + x ?1 ? 2 x +1 2 x ?1 ? (=100! ) 9.设 f ( x ) = x ( x ? 1)( x ? 2) ? ( x ? 100 ) ,求 f ′(0)
( y ′ = 3 x ln 3 + 3 x 2 + x sin 3 x ? 3 cos 3 x ln x +

? ?



10.设 y = 11. y =

x sin x ,求 dy 1+ x



sin x + x cos x + x 2 cos x dx ) (1 + x) 2


xe x dy ,求 x dx x?e
3

ex x2 ? ex

(x ? e )

(

x 2

))

x ?1 12.设 y = arctan( x + 2) + ln ( | x | > 1) ,求 y ′ x +1
13.设 y = x 6 ( x 2 + 1) 3 ( x + 2) 2 ,求 y ′ 14.设 y =

3x 2 1 ( + 2 ) 3 2 1 + ( x + 2) x ?1 6x 2 ? ?6 6 2 3 ( x ( x + 1) ( x + 2)? + 2 + ?) ? x x +1 x + 2 ?

( x + 1) 2 4 x ? 2
3

( x + 2) 2

,求 y ′



( x + 1) 2 4 x ? 2 ? 2 1 2 ? ? x + 1 + 4( x ? 2) ? 3( x + 2) ? ) 3 ( x + 2) 2 ? ?
1

1 ? ln x ) x2 2 x sin x ? ? 16.设 y = (1 + x 2 ) sin x ,求 dy ( (1 + x 2 ) sin x ?cos x ln(1 + x 2 ) + dx ) 1+ x2 ? ? ? 2 x + y ( x 2 + y 2 )e xy 17.由 ln( x 2 + y 2 ) + e xy = 1 确定 y 是 x 的函数 y (x ) ,求 y ′(x ) y ′ = ? 2 y + x( x 2 + y 2 )e xy
1

,求 y ′ 15.设 y = x x ( x > 0 )

(xx ?

18.已知 ye x = xe y ,求 y ' 19.已知 y x = x y ,求 y ' 20.已知 y = cot( x ? y ) ,求 y ' 21.已知 y + ln ( y ? x ) = 0 ,求 y '

ye x ? e y ) xe y ? e x y ( y ? x ln y ) ( ) x( x ? y ln x ) ( sec 2 ( x ? y ) ) 1 ( ) y ? x +1
(

22.由 e

x2 + y2

+ sin( xy ) = 5 确定 y 是 x 的函数 y ( x) ,求 y ' ( x) y ' =

2 xe x 2 ye

2

+ y2

+ y cos( xy ) + x cos( xy )

x2 + y 2

23.设函数 y = y ( x ) 由方程 ln( y + x 2 ) = x 3 y + sin x 确定,求 24.设方程 x ? y + arctan y = 0 确定了 y = y ( x ) ,求

dy dx

(=1)
x=0

dy dx

( y′ =

1+ y2 ) y2

25.求由方程 x 3 + y 3 ? 3axy = 0 ( a > 0 )确定的隐函数 y = y (x ) 的微分 dy

ay ? x 2 dx y 2 ? ax

26.已知 y (x ) 是由方程 sin y + xe y = 0 所确家的隐函数,求 y ′ ,以及该方程所表示的曲线

ey , ? 1) cos y + xe y f′ 27.设 y = y ( x ) 由方程 y = f [ x + g ( y )] 所确定,其中 f 和 g 均可导,求 y ′ ( ) 1? f ′ ? g′
在点 (0 , 0) 处切线的斜率。 (? 28.函数 y = y ( x ) 由方程 e x ? e y ? xy = 0 确定,求
x y

d2y dx 2

x =0

[解] 对方程两边关于 x 求导,得 e ? e y ′ ? y ? xy ′ = 0 ,两边关于 x 再求导,得


e x ? e y y ′ 2 ? e y y ′′ ? y ′ ? y ′ ? xy ′′ = 0
又当 x = 0 时, y = 0 ,于是 y ′(0) = 1 ,故 29.设 ?

d2y dx 2

= ?2
x=0

? x = e 2t cos 2 t
2t 2 ? y = e sin t

,求

dy dx
2 1 2 2 1 2



sin 2 t + sin t ? cos t ) cos 2 t ? sin t ? cos t

30.设 y = y (x ) 由 x = (1 + s ) 和 y = (1 ? s ) 所确定,试求 31.设 ?

1+ s2 dy (? ) dx 1? s2
(=-1)

? x = e cos 2 t
2

? y = e sin t ? x = e t cos t 2 dy e t (2 sin t + cos t ) 32.设 ? ,求 ( ) 2t dx cos t 2 ? 2t sin t 2 ? y = e sin t ? x = e 2t dy 3 33.若参数方程为 ? ,求 在 t = 0 时的值。 ( ) 2 dx 2 ? y = t + 3t + 2
34.设 ?

,求

dy dx

? x = 2 sin 3t d2y ,求 t dx 2 ? y = e + ln 2



e t (cos 3t + 3 sin 3t ) ) 36 cos 3 3t
( 3 + 2t )e 3t ) (

? x = e ?t d2y 35.设 ? ,求 t dx 2 ? y = te ? x = e 2t d2y 36.设 ? ,求 ?t dx 2 ?y = t ? e

(?

1 ? 4 t 3 ? 5t e ? e ) 2 4

? x = t + sin t + 2 d2y 37.设曲线方程为 ? ,求此曲线在点 x = 2 处的切线方程,及 dx 2 ? y = t + cos t dy 1 ? sin t dy 1 = , = , [解] 当 x = 2 时, t = 0 , y = 1 , dx 1 + cos t dx t =0 2
切线方程: y ? 1 =

1 sin t ? cos t ? 1 d 2 y d ? dy ? 1 ( x ? 2) ; 2 = ? ? ? = 2 dt ? dx ? dx dx (1 + cos t ) 3 dt

四、分析题
1. 设曲线 f (x ) 在 [0 , 1] 上可导,且 y = f (sin 2 x ) + f (cos 2 x ) ,求 ( y ′ = [ f ′(sin 2 x ) ? f ′(cos 2 x )] sin 2 x ) 2. 设曲线方程为 x 3 + y 3 + ( x + 1) cos(π y ) + 9 = 0 ,试求此曲线在横坐标为 x = ?1 的点 处的切线方程和法线方程。 3. 讨论函数 f ( x ) = ? ( y + 2 = ? ( x + 1) , y + 2 = 3( x + 1) )

dy dx

1 3

?sin x x ≥ 0 在 x = 0 处的可导性。 ?x ?1 x < 0 ( f (x ) 在 x = 0 处不连续,不可导) ?k + ln(1 + x) x ≥ 0 4. 设 f ( x ) = ? ,当 k 为何值时,点 x = 0 处可导;此时求出 f ′(x ) 。 sin x x<0 ? e



1 x≥0 ) 1+ x sin x ?e cos x x < 0 ? f ( x) 5. 若 y = f (x ) 是奇函数且在点 x = 0 处可导,则点 x = 0 是函数 F ( x ) = 什么类型的 x
(当 k = 1 时, f (x ) 在点 x = 0 处可导;此时 f ′( x) = ? 间断点?说明理由。 且在点 x = 0 处可导, f (x ) 在点 x = 0 处连续, f (0) = ? f (0) , 知 [解] 由 f (x ) 是奇函数, 则 f (0) = 0 ,于是 lim F ( x ) = lim
x →0 x →0

? ?

故点 x = 0 是函数 F (x ) 第一类间断点(可去) 。 6. 试确定常数 a , b 的值,使得函数 f ( x) = ?
x→0

f ( x ) ? f ( 0) = f ′(0) 存在, x?0

? 2e x + a x<0 处处可导。 2 ? x + bx + 1 x ≥ 0 [解] 为使 f (x ) 在点 x = 0 处连续,必须 lim f ( x ) = lim f ( x) = f (0) ,即 ? +
x →0

为使 f (x ) 在点 x = 0 处可导,必须 f ?′ (0) = f +′ (0) ,即

x→0

lim? f ( x) = 2 + a , lim+ f ( x) = f (0) = 1 ,所以 a = ?1 ,
x→0

f ( x ) ? f ( 0) 2(e x ? 1) = lim? = 2, x→0 x→0 x?0 x f ( x ) ? f ( 0) x 2 + bx f +′ (0) = lim = lim = b ,所以 b = 2 x →0 + x →0 + x?0 x 2 ?x = 1 + t 3 d y 7. 验证 ? ( ?1 < t < 1) ,满足方程 y +2=0 dx 2 y = 1? t ? 1+ t ( )′ 2 dy 1+ t d y 2 2 d2y 1? t [解] =? , =? =? = ? 3 ,即 y 3 2 + 2 = 0 。 3 1 dx dx dx 2 y 1? t (1 ? t ) 2 2 1+ t f ?′ (0) = lim?
8. 已知函数 f ( x) = ?

? x2 x ≤1 在 (?∞ , + ∞) 上可导,求 a 和 b 的值。 ?ax + b x > 1 [解] 为使 f (x ) 在点 x = 1 处连续,必须 lim f ( x ) = lim f ( x ) = f (1) ,即 ? +
x →1 x →1

为使 f (x ) 在点 x = 1 处可导,必须 f ?′ (1) = f +′ (1) ,即

x →1?

lim f ( x) = 1 = f (1) , lim f ( x) = a + b ,于是 a + b = 1 , +
x →1

f ( x) ? f (1) x2 ?1 = lim = 2, x →1 x →1? x ? 1 x ?1 f ( x) ? f (1) ax + b ? 1 f +′ (1) = lim = lim+ = a ,于是 a = 2 x →1+ x→0 x ?1 x ?1 故 a = 2 , b = ?1 五、证明题 ? 1+ x ?1 ? x>0 1.证明函数 f ( x ) = ? 在点 x = 0 处连续,但不可导。 x ? 0 x≤0 ? f ?′ (1) = lim ?



[解]

f (0) = 0 , lim? f ( x) = 0 , lim+ f ( x) = lim +
x→0

1+ x ?1 x

x→0

x →0

= 0,

即 lim f ( x) = f (0) ,所以 f (x) 在 x = 0 处连续。
x →0

又因为 f +′ (0) = lim +
x →0

f ( x) ? f (0) 1+ x ?1 = lim = lim x →0 + x →0 + x?0 x x

1 x (1 + x)

=∞

所以 f (x ) 在 x = 0 处不可导。




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