【人教版】2014届高三数学(理)第一轮夯实基础《选修参数方程》(知识梳理+典例讲解+习题自测,43ppt)_图文

选修 4-4-2 参数方程 考纲点击 1.了解参数方程,了解参数的意义. 2.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方 程 3.了解圆的平摆线、渐开线的形成过程,并能推导出它们 的参数方程.

考点梳理 1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上① ? ?x=f?t?, ____________的坐标 x,y 都是某个变数 t 的函数:? ? ?y=g?t?. 并且对于 t 的每一个允许值,由方程组所确定的点 M(x,y)都 在②__________,那么方程叫做这条曲线的参数方程,t 叫做 参变数, 简称③______.相对于参数方程而言, 直接给出点的坐 标间关系的方程叫做④__________.

2.直线的参数方程 过定点 P0(x0 ,y0)且倾斜角为 α 的直线的参数方程为⑤ __________________(t 为参数 ) ,则参数 t 的几何意义是⑥ ______________. 3.圆的参数方程 圆心为(a,b),半径为 r,以圆心为顶点且与 x 轴同向的射 线, 按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径成的角 α 为参数的 圆的参数方程为⑦__________________α∈[0,2π). 4.椭圆的参数方程 x2 y2 以椭圆的离心角 θ 为参数, 椭圆a2+b2=1(a>b>0)的参数 方程为⑧____________________θ∈[0,2π).

答案:①任意一点 ②这条曲线上 ③参数 ④普通方程 ? ?x=x0+tcosα, ⑤? ⑥ 有 向 线 段 P0 P 的 数 量 ⑦ ? ?y=y0+tsinα
? ?x=a+rcosα, ? ? ?y=b+rsinα ? ?x=acosθ, ⑧? ? ?y=bsinθ

考点自测 ? ?x=-1- 2t, 2 ? 1.已知直线 l 的参数方程为? 2 ? y=2+ 2 t ? ? 则直线 l 的斜率为( ) 2 A.1 B.-1 C. 2

(t 为参数),

2 D.- 2

3π ? ?x=-1+tcos 4 , 解析: 直线 l 的参数方程可化为? ?y=2+tsin3π, 4 ? 3π 线的斜率为 tan 4 =-1. 答案:B

故直

2.过点 M(2,1)作曲线

? ?x=4cosθ, C:? ? ?y=4sinθ

(θ 为参数)的弦, )

使 M 为弦的中点,则此弦所在直线的方程为( 1 A.y-1=-2(x-2) B.y-1=-2(x-2) 1 C.y-2=-2(x-1) D.y-2=-2(x-1)

解析:由于曲线表示的是圆心在原点,半径为 r=4 的圆, 所以过点 M 的弦与线段 OM 垂直, 1 ∵kOM=2,∴弦所在直线的斜率是-2. 故所求直线方程为 y-1=-2(x-2). 答案:B

3.圆(x-r)2+y2=r2(r>0),点 M 在圆上,O 为原点,以 ∠MOx=φ 为参数,那么圆的参数方程为( ) ? ? ?x=rcosφ, ?x=r?1+cosφ?, A.? B.? ? ? ?y=rsinφ ?y=rsinφ
? ?x=rcosφ, C.? ? ?y=r?1+sinφ? ? ?x=r?1+cos2φ?, D.? ? ?y=rsin2φ

解析:如图,设圆心为 O′,连接 O′M.

∵O′为圆心,∴∠MO′x=2φ. ? ?x=r+rcos2φ, ∴? ? ?y=rsin2φ. 答案:D

4 ? ?x=1+5t, ? π? 4.直线? (t 为参数)被曲线 ρ= 2cos?θ+4?所 ? ? ?y=1-3t 5 ? 截的弦长为__________.

4 ? ?x=1+5t, 解析:将方程? ?y=-1-3t, 5 ? ? π? ρ= 2cos?θ+4?分别化为普通方程: ? ? 3x+4y+1=0,x2+y2-x+y=0. ?1 1? 2 1 ? ? 圆心 C 2,-2 ,半径为 2 ,圆心到直线的距离 d=10, ? ? 1 1 7 2 2 弦长=2 r -d =2 - = . 2 100 5 7 答案: 5

5.设直线

? ?x=1+t, l1 的参数方程为? ? ?y=1+3t

(t 为参数),直线 l2

的方程为 y=3x+4,则 l1 与 l2 间的距离为__________.

解析:将直线 l1 的参数方程化成普通方程为 y=3x-2, 又 l2:y=3x+4,故 l1∥l2 上取一点(0,-2),其到 l2:3x-y |0+2+4| 3 10 +4=0 的距离就是 l1 与 l2 的距离,即 d= = . 5 10 3 10 答案: 5

疑点清源 1.过定点 P0(x0,y0),倾斜角为 α 的直线参数方程的标准式 ? ?x=x0+tcosα, 为? (t 为参数),t 的几何意义是直线上的点 P ? ?y=y0+tsinα 到点 P0(x0,y0)的数量,即 t=|PP0|时为距离.使用该式时直线 上任意两点 P1、P2 对应的参数分别为 t1、t2,则|P1P2|=|t1-t2|, 1 P1P2 的中点对应的参数为 (t1+t2). 2

? ?x=x0+at, 2.对于形如? ? ?y=y0+bt

(t 为参数),当 a2+b2≠1 时,

应先化为标准形式后才能利用 t 的几何意义解题. 3.解答参数方程的有关问题时,首先要弄清参数是谁, 代表的几何意义是什么;其次要认真观察方程的表现形式,以 便于寻找最佳化简途径.

题型探究 题型一 参数方程与普通方程的互化
? ?x=1+2t, 例 1.已知某曲线 C 的参数方程为? 2 ? ?y=at

(其中 t 是参

数,a∈R),点 M(5,4)在该曲线上. (1)常数 a=__________. (2)曲线 C 的普通方程为____________.

答案:(1)1 (2)(x-1)2-4y=0

点评:化参数方程为普通方程,关键是消去参数建立关于 x,y 的二元方程 F(x,y)=0,常用方法有代入消元法,加减消 元法,恒等式法,方法的选取是由方程结构决定的,需要注意 1 2 变量 x、 y 的取值范围. 常用的消参数公式有: ①t· = 1 ; ② sin θ t 2? ? ? ? ? ? ? ? 2 t 1 - t 12 12 ?2 ? ?2 2 ? ? ? +cos θ=1;③ t+ t - t- t ? =4;④? + 2 2 ?1+t ? ?1+t ? =1. ? ? ? ? ? ? ? ?

变式探究 1 下列参数方程与方程 y2=x 表示同一曲线的 是( ) 2 ? ? ?x=t, ?x=sin t, A.? (t 为参数) B.? (t 为参数) 2 ? ? y = t y = sin t ? ?
? ?x=t, C.? ? ?y= |t|

(t 为参数)

? 1-cos2t ?x= , 1 + cos t D.? ? ?y=tant

(t 为参数)

答案:D

题型二 直线和圆的参数方程 ? ?x=1+tcosα, 例 2. 已知直线 C1 : ? (t 为参数 ) , C2 : ? ?y=tsinα
? ?x=cosθ, ? ? ?y=sinθ

(θ 为参数).

π (1)当 α= 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3 (2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中 点,当 α 变化时,求 P 点的轨迹的参数方程,并指出它是什么 曲线.

π 解析:(1)当 α= 时,C1 的普通方程为 y= 3(x-1),C2 3 的普通方程为 x2+y2=1. ? ?y= 3?x-1?, 联立方程组? 2 2 解得 C1 与 C2 的交点坐标为 ? ?x +y =1, ?1 3? ? (1,0),? ,- ? . 2? ?2 ?

(2)C1 的普通方程为 xsinα-ycosα-sinα=0,过坐标原点 O 作 C1 的垂线方程为 xcosα+ysinα=0. ? ?xsinα-ycosα-sinα=0, 解方程组? ? ?xcosα+ysinα=0, 得 A 点坐标为(sin2α,-sinαcosα). 故当 α 变化时,P 点轨迹的参数方程为:

?x=1sin2α, ? 2 ? ?y=-1sinαcosα 2 ?

(α 为参数),

? ?4x-1=-cos2α, 即? ? ?4y=-sin2α

(α 为参数).

消去参数 α,得 P 点轨迹的普通方程为 ? 1? 1 ?x- ?2+y2= . 4? 16 ? ?1 ? 1 ? ? 故 P 点的轨迹是圆心为 4,0 ,半径为4的圆. ? ?

点评:本题考查了直线和圆的位置关系以及两条直线的位 置关系,一般地,与直线 Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行和垂 直的直线方程分别为 Ax+By+C′ =0(C′≠C)和 Bx-Ay+ C″=0.

变式探究 2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C : ? ? ?x=5cosθ-1, ?x=4t+6, ? (θ 为参数)和直线 l:? (t 为参数), ? ? ?y=5sinθ+2 ?y=-3t-2 则直线 l 与圆 C 相交所得的弦长等于__________.

答案:4 6

题型三 圆锥曲线的参数方程 例 3.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ? ?x=cosφ, ?x=acosφ, ? (φ 为参数),曲线 C2 的参数方程为? ? ? ?y=sinφ ?y=bsinφ (a>b>0,φ 为参数).在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极 轴的极坐标系中,射线 l:θ=α 与 C1、C2 各有一个交点.当 α π =0 时,这两个交点间的距离为 2,当 α=2时,这两个交点重 合.

(1)分别说明 C1、C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; π (2)设当 α=4时,l 与 C1、C2 的交点分别为 A1、B1.当 α= π -4时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积.

解析:(1)C1 是圆,C2 是椭圆. 当 α= 0 时,射线 l 与 C1 , C2 交点的直角坐标分别为 (1,0)(a,0),因为这两点间的距离为 2,所以 a=3. π 当 α=2时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别为(0,1), (0,b),因为这两点重合,所以 b=1.

2 x (2)C1,C2 的普通方程分别为 x2+y2=1 和 9 +y2=1. π 2 当 α=4时,射线 l 与 C1 交点 A1 的横坐标为 x= 2 ,与 C2 3 10 交点 B1 的横坐标为 x′= 10 . π 当 α=- 时,射线 l 与 C1,C2 的两个交点 A2,B2 分别与 4 A1,B1 关于 x 轴对称,因此四边形 A1A2B2B1 为梯形. ?2x′+2x??x′-x? 2 故四边形 A1A2B2B1 的面积为 =5. 2

点评: 对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况 下, 我们可先化直角坐标的普通方程, 这样思路可能更加清晰.

变式探究 3 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ? ?x=2cosα, →= ? (α 为参数)M 是 C1 上的动点,P 点满足OP ? ?y=2+2sinα. → ,P 点的轨迹为曲线 C2. 2OM (1)求 C2 的方程; (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射 π 线 θ=3与 C1 的异于极点的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点 为 B,求|AB|.

解析:(1)设 P(x,y),则由条件知

?x y ? M?2,2?. ? ? ? ?x=4cosα, 即? ? ?y=4+4sinα.

?x ?2=2cosα, 由于 M 点在 C1 上, 所以? ?y=2+2sinα. ?2 从而
? ?x=4cosα, C2 的参数方程为? ? ?y=4+4sinα

(α 为参数).

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4sinθ, 曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=8sinθ. π π π 射线 θ=3与 C1 的交点 A 的极径为 ρ1=4sin3, 射线 θ=3与 π C2 的交点 B 的极径为 ρ2=8sin3. 所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2 3.

归纳总结 ?方法与技巧 1.直线与圆锥曲线的参数方程的应用 (1)根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义,有如下常用 结论: ①直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为 t1,t2,则弦长 l=|t1-t2|; ②定点 M0 是弦 M1M2 的中点?t1+t2=0; t 1+ t 2 ③设弦 M1M2 中点为 M,则点 M 对应的参数值 tM= (由此 2 可求|M2M|及中点坐标). (2)圆锥曲线的参数方程主要应用于设圆锥曲线上的点,从而讨 论最值或距离等问题.

2.参数方程化为普通方程:化参数方程为普通方程的基 本思路是消去参数,常用的消参方法有代入消去法、加减消去 法、恒等式(三角的或代数的)消去法,参数方程通过代入消元 或加减消元消去参数化为普通方程,不要忘了参数的范围. 3.普通方程化为参数方程:化普通方程为参数方程的基 本思路是引入参数,即选定合适的参数 t,先确定一个关系 x =f(t)(或 y=φ(t)),再代入普通方程 F(x,y)=0,求得另一关系 y=φ(t)(或 x=f(t)).一般地,常选择的参数有角、有向线段的 数量、斜率,某一点的横坐标(或纵坐标).普通方程化为参数 方程需要引入参数,选择的参数不同,所得的参数方程也不一 样.

?失误与防范 在曲线方程之间的互化时, 要做到互化准确, 不重不漏, 保持转化前后的等价性.

新题速递 1.(2013· 广东卷)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 与 C2 ? ?x= 5cosθ π ? 的参数方程分别为 (θ 为 参 数 , 0≤θ≤ 2 ) 和 ? ?y= 5sinθ ? ?x=1- 2t 2 ? ? 2 ? y=- 2 t ? ? __________.

(t 为参数 ) ,则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为

解析: 曲线 C1 与 C2 的直角坐标方程分别为: x2 +y2 = 5(0≤x≤ 5,0≤y≤ 5)和 y=x-1. 2 2 ? ?x +y =5, 由? 消去 y 得:x2-x-2=0,解得 x=2. ? ?y=x-1 代入 y=x-1,得 y=1. ∴交点坐标为(2,1). 答案:(2,1)

2.(2012· 辽宁卷)在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2+y2=4, 圆 C2:(x-2)2+y2=4. (1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别 写出圆 C1,C2 的极坐标方程,并求出圆 C1,C2 的交点坐标(用 极坐标表示); (2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程.

解析:(1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ=2, 圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4cosθ. ? ?ρ=2, π 解? 得 ρ=2,θ=± , 3 ? ?ρ=4cosθ ? π? ? π? 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为?2,3?,?2,-3?. ? ? ? ?

? ?x=ρcosθ, (2)解法一:由? ? ?y=ρsinθ,

得圆 C1 与 C2 交点的直角坐标分别为(1, 3),(1,- 3). ? ?x=1, 故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为? ? ?y=t, - 3≤t≤ 3. ? ? ? ?x=1, ?或参数方程写成? - 3≤y≤ 3? ? ?y=y, ? ?

解法二:将 x=1 1 =cosθ. 于是圆 C1 与 π ≤θ≤3.

? ?x=ρcosθ, 代入? ? ?y=ρsinθ,

得 ρcosθ=1,从而 ρ

? ?x=1, C2 的公共弦的参数方程为 ? ? ?y=tanθ,

π - 3

3 . (2013· 新 课 标 全 国 卷 ) 已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 是 ? ?x=2cosφ ? (φ 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极 ? ?y=3sinφ 轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2.正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A,B,C,D 以逆时针次序排列,点 A ? π? 的极坐标为?2,3?. ? ? (1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2 的 取值范围.

? π π? 解析:(1)由已知可得 A?2cos3,2sin3?, ? ? ? ?π π? ?π π ? ? B?2cos?3+2?,2sin?3+2??, ? ? ? ? ?? ? ?π ? ?π ?? C?2cos?3+π?,2sin?3+π??, ? ? ? ? ?? ? ?π 3π? ?π 3π?? D?2cos?3+ 2 ?,2sin?3+ 2 ??, ? ? ? ? ??

即 A(1, 3),B(- 3,1),C(-1,- 3),D( 3,-1). (2)设 P(2cosφ,3sinφ),令 S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2, 则 S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ. 因为 0≤sin2φ≤1,所以 S 的取值范围是[32,52].


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