2015-2016学年黑龙江省大庆市第四中学高一下学期期中考试数学试题

大庆四中 2015~2016 学年度第二学期期中考试高一年级

数学学科试题
考试时间:120 分钟 分值:150 分 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分

第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. tan 690? 的值为( A. ? 3 ) B. ? D.

3 3 C. 3 ? 3 ? ? ? 2.已知向量 a ? (4, 2) ,向量 b ? ( x,3) ,且 a ∥ b ,则 x 等于(

3

) A. 3 B. 5 C. 6 D. 9 3.等差数列相邻的四项为 a ? 1, a ? 3, b, a ? b ,那么 a, b 的值分别为( ) A.0,5 B. 1,6 C. 2,7 D.无法确定 4.已知等差数列 ?an ?的首项 a1 ? 范围为( A. ? ) B. ? , ? ?? ? 75 ?

1 ,从第 10 项起开始大于 1,那么公差 d 的取值 25
?
C. ? , ? ? 75 25 ?

a ? ?2,1?, a ? 3b ? ?5,4? ,则 sin? ? ( 5.若向量 a 与 b 的夹角为 ?,
A.

? 8 ? , ? ?? ? 75 ?

?8

?8

3?

D. ? ) D.

? 8 3? , ? 75 25 ? ?

10 10

B.

1 3
)

C.

3 10 10
B. 2 sin 6? cos 6? D.

4 5

6.下列各式中,最小的是( A. 2 cos 2 40? ? 1

C. sin 50? cos 37 ? ? sin 40? cos 53?

3 1 sin 41? ? cos 41? 2 2

7.已知向量 a ? 4, e 为单位向量,当他们之间的夹角为

? 时, a 在 e 方向上的投影与 3

e 在 a 方向上的投影分别为(
A. 2 3,

)

3 3 1 2 ,2 3 B. 2, C. D. 2, 2 2 2 3 ? ? 12 ?? ? 3? ? ? ? 8.若 ? , ? ? ? , ? ?, sin ?? ? ? ? ? ? , sin ? ? ? ? ? ,则 cos? ? ? ? ? ( 5 4 ? 13 4? ? 4 ? ? ? 56 16 56 56 16 A. B. ? C. ? D. 或? 65 65 65 65 65

)

9.等比数列 ?an ?中, a4 ? 2, a5 ? 5 ,则数列 ?lg an ?的前 8 项和等于( A. 6 B. 5 C. 3 D. 4 10.将函数 y ? sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |?

)

?

2 得曲线的一部分图象如下图,则 ? , ? 的值分别为(
A., ? C.,

) 的图象沿 x 轴方向左平移
)

? 个单位,所 3

?
3

B. 2 , ? D. 2 ,

?
3

?
3

?
3

11. 已 知

P 是 ?ABC 内 一 点 , 且 满 足 PA ? 2 PB ? 3PC ? 0 , 记 ?ABP, ?BCP ?ABP, ?BCP , ?ACP 的面积依次为 S1,S 2,S3 ,则 S1:S 2:S3 等于( )
A. 1:2:3 B. 1:4:9 C. 6:1:2 D. 3:1:2

12.定义

n 为 n 个正数 p1 , p2 ,? pn 的“均倒数” , p1 ? p2 ? ? ? pn a ?1 1 若已知正整数数列 ?an ?的前 n 项的“均倒数”为 ,又 bn ? n ,则 2n ? 1 4 1 1 1 ? ?? ? ?( ) b1b2 b2b3 b10b11 1 1 10 11 A. B. C. D. 11 12 11 12

第Ⅱ卷
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 45 和 80 的等比中项为______________

? ,则 AB ? BC =____________ 3 ? ? ?? 15.若函数 f ? x ? ? 2 sin ?x?? ? 0 ? 在区间 ?? , ? 上的最小值是 ? 2 ,则 ? 的最小 ? 3 4?
14.若 ?ABC 的面积为 2 3 ,且角 B 为 值为_________ 16.已知函数 f ?n ? ? n sin
2

则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2016 的值为__________

n? n ? N ? ,且 an ? f ?n ? ? f ?n ? 1? , 2

?

?

三.解答题:本大题共 6 小题,共 60 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。
17(本小题满分 10 分) 已知等差数列 ?an ?的前 n 项和为 S n , S 7 ? 0, a3 ? 2a2 ? 12. (1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)求 S n ? 15n ? 50 的最小值.

18(本小题满分 12 分) 如图,边长为 2 的菱形 ABCD 中, ?A ? 60? ,E、F 分别是 BC,DC 的中点,G 为 BF、 DE 的交点,若 AB ? a, AD ? b (1)试用 a, b 表示 AE , BF , CG ; (2)求 BF ? CG 的值.

D G

F

C

E A B

19(本小题满分 12 分)

已知数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ? ?3n ? 49n .
2

(1)请问数列 ?an ?是否为等差数列?如果是,请证明; (2)设 bn ? an ,求数列 ?bn ?的前 n 项和.

20(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,已知 c ? 2, C ? (1)若 ?ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; (2)若 sin C ? sin ?B ? A? ? 2 sin 2 A ,求 ?ABC 的面积.

?
3



21(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ?

(1)求 f ? x ? 的最小正周期和单调增区间;

1 sin 2 x ? 3 cos 2 x 2

(2)若将 f ? x ? 的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数

?? ? g ? x ? 的图像,当 x ? ? , ? ? 时,求函数 g ? x ? 的值域. ?2 ?

22(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ?满足: a1 ? ? (1)证明数列 ?

? 2an ? 3 2 , an ?1 ? n? N? 3 3an ? 4

?

?

? 1 ? ? 是等差数列,并求 ?an ?的通项公式; ? an ? 1 ?

(2)若数列 ?bn ?满足: bn ?

3n n ? N ? ,求 ?bn ?的前 n 项和 S n . an ? 1

?

?

大庆四中 2015~2016 学年度第二学期期中考试高一年级

数学学科试题答案
一.选择题 1-5 BCCDA 二.填空题 13. ? 60 6-10 ABCDB 14.-4 15. 11-12 DC 16.4032

7.(1)由 S 7 ? 0得7 a4 ? 0 ..............................................2 所以 ?

3 2

n?a1 ? an ? n?? 12 ? 4n ? 16 ? ? ? 2n 2 ? 14n ........................7 2 2 2 所以 S n ? 15n ? 50 ? 2n ? 29n ? 50
(2) S n ?
2

所以数列 ?an ?的通项公式为 an ? 4n ? 16 ..................................5

a1 ? 3d ? 0 解得 a1 ? ?12, d ? 4 ..........................4 ?a1 ? 2d ? 2?a1 ? d ?12 ?

29 ? 441 ? ..................................9 ? 2? n ? ? ? 4 ? 8 ? 29 29 ? 因为 n ? N , 且 7 ? ? 8? 4 4 所以当 n ? 7 时, S n ? 15n ? 50 的最小值为 2 ? 7 2 - 29 ? 7 ? 50 ? ?55 ........10
18.解: (1)由题意 AE ? AB ? BE ? a ?

1 b ......................................2 2

1 BF ? BC ? CF ? ? a ? b 2 ,.........................................4
E、F 分别是 BC,DC 的中点,G 为 BF、DE 的交点 所以 G 为 ?BCD 的重心,设 BD 中点为 H ,则

2 2 1 1 1 1 1 CG ? CH ? ? CA ? ? AC ? ? a ? b ? ? a ? b ..............6 3 3 2 3 3 3 3 1 1 1 ? ? ? ? (2) BF ? CG ? ? ? a ? b ? ? ? ? a ? b ? 3 ? ? 2 ? ? 3 2 1 1 1 2 ? a ? a ? b ? b .......................................9 6 6 3 1 2 1 1 2 ? a ? a b cos 60? ? b 6 6 3 1 1 1 1 ? ? 4 ? ? 2? 2? ? ? 4 6 6 2 3 ? ?1 .....................................................12
19.(1)由 S n ? ?3n ? 49n, 可得
2

? ?

S n ?1 ? ?3?n ? 1? ? 49?n ? 1??n ? 2? ,....................................2
2

两式相减可得:

an ? ?6n ? 52?n ? 2 ?, 而由a1 ? S1 ? 46, 可得an ? ?6n ? 52, ...............4

(2)记数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ,

于是由 an ?1 ? an ? ?6 可知数列 ?an ?为等差数列...........................6

当n ? 8时,Tn ? ?3n 2 ? 49n; .........................................8 当n ? 9时,Tn ? 2 S8 ? S n ? 400 ? ? 3n 2 ? 49n ? 3n 2 ? 49n ? 400 ........11
故数列 ?bn ?的前 n 项和为 Tn ? ? 20.(1) S ?ABC ?
2 2

?

?

1 1 ? ab sin C ? ab sin ? 3 所以 ab ? 4 ...................2 2 2 3

? ? 3n 2 ? 49n?n ? 8? ...................12 2 ?3n ? 49n ? 400?n ? 9 ?

又 4 ? a ? b ? 2ab cos

?

所以 a ? b ? 4, .......................................................4

3

? a 2 ? b 2 ? ab ? ?a ? b ? ? 3ab
2

解得a ? b ? 2 .......................................................6 (2) sin C ? sin ?B ? A? ? sin ?B ? A? ? sin ?B ? A? ? 2 sin 2 A 化简得 2 sin B cos A ? 4 sin A cos A ,....................................8 sin B ? 2 sin A, 由正弦定理得 b ? 2a , 当 cos A ? 0时,

2 3 4 3 2 3 ,b ? , 所以S ?ABC ? ; ..........10 3 3 3 ? ? 2 3 当 cos A ? 0时,A ? ,B ? ,b ? 2 6 3 1 2 3 故S ?ABC ? bc ? 2 3 2 3 综上所述, ?ABC 的面积为 .......................................12 3 1 1 3 2 ?1 ? cos 2 x ? 21(1) f ? x ? ? sin 2 x ? 3 cos x ? sin 2 x ? 2 2 2 1 3 3 ?? 3 ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin ? 2 x ? ? ? 2 2 2 3? 2 ? 因此 f ? x ? 的最小正周期为 ? ...........................................3 ? ? ? ? 5? 令 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z ,解得 k? ? ? x ? k? ? ,k ?Z 2 3 2 12 12 ? 5? ? ? ? x ? k? ? ?,k ? Z ...............6 所以 f ? x ? 的单调增区间为 ?k? ? 12 12 ? ? ?? 3 ? 5.由条件可知 g ? x ? ? sin ? x ? ? ? . 3? 2 ? ? ? ? 2? ? ?? ? 当x ? ? , ? ?时,有x ? ? ? , ?, 3 ? 6 3 ? .................................8 ?2 ?
由 4 ? a 2 ? b 2 ? ab 得 a ?

?? ? ?1 ? 从而y ? sin ? x ? ?的值域为? , 1 3? ? ?2 ? ? ...................................10

?1 ? 3 2 ? 3 ? ?? 3 ? 于是y ? sin ? x ? ? ? 的值域为? , ? 3? 2 2 2 ? ....................12 ? ? ? 2an ? 3 a ?1 22(1) 因为an ?1 ? 1 ? ?1 ? n 3an ? 4 3an ? 4 3a ? 4 1 1 所以 ,...................................2 ? n ? 3? an ?1 ? 1 an ? 1 an ? 1 1 1 所以 ? ?3 an ?1 ? 1 an ? 1
所以 ? 所以

? 1 ? ? 是首项为 3,公差为 3 的等差数列,.........................4 a ? 1 ? n ?

1 1 ? 3n, 所以an ? ? 1 ......................................6 an ? 1 3n

(2)由已知 bn ?

S n ? 32 ?1 ? 33 ? 2 ? ? ? 3n ? ?n ? 1? ? 3n ?1 ? n ①
3S n ?
①-②得

3n ? 3n ?1 ? n ..........................................8 an ? 1

33 ?1 ? 34 ? 2 ? ? ? 3n ?1 ? ?n ? 1? ? 3n ? 2 ? n ②.................10

? 2 S n ? 32 ? 33 ? ? ? 3n ?1 ? 3n ? 2 ? n ?
所以 S n ?

3n ? 2 ? 9 n n ? 2 ? ?3 ?4 2

32 3n ? 1 ? 3n ? 2 ? n 3 ?1 2n ? 1 n ? 2 9 ? ? 3 ? ........................12 4 4

?

?


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