《线性代数与概率统计》作业题

《线性代数与概率统计》作业题
第一部分 单项选择题 1.计算
x1 ? 1 x1 ? 2 ? ?(A ) x2 ? 1 x2 ? 2

A. x1 ? x2 B. x1 ? x2 C. x2 ? x1 D. 2x2 ? x1

1
2.行列式 D ? ?1

1

1

1 1 ?( B ) ?1 ?1 1

A.3 B.4 C.5 D.6

? 2 3 ?1? ?1 2 3 ? ? ? ? 3.设矩阵 A ? ? 1 1 1 ? , B ? ? ?1 1 2 ? ,求 AB =(B) ? ? ? 0 ?1 1 ? ? ?0 1 1 ? ?
A.-1 B.0 C.1 D.2

?? x1 ? x2 ? x3 ? 0 ? 4.齐次线性方程组 ? x1 ? ? x2 ? x3 ? 0 有非零解,则 ? =?( C) ? x ?x ?x ?0 ? 1 2 3
A.-1 B.0 C.1 D.2

1

?0 ? ? 1 9 7 6? ?3 5.设 A ? ? ? 0 9 0 5? ? , B ? ?5 ? ? ? ?7 ?
A. ?

0? ? 6? ,求 AB =?( D) 3? ? 6? ?

?104 110 ? ? ? 60 84 ?

B. ?

?104 111? ? ? 62 80 ? ?104 111? ? ? 60 84 ? ?104 111? ? ? 62 84 ?

C. ?

D. ?

6.设 A 为 m 阶方阵, B 为 n 阶方阵,且 A ? a , B ? b , C ? ? A. (?1)m ab B. (?1) ab
n

?0 ?B

A? ? ,则 C =?( D) 0?

C. (?1)

n?m

ab

D. (?1) ab
nm

?1 ? 7.设 A ? ? 2 ?3 ?

2 2 4

3? ? ?1 1 ? ,求 A =?(D ) 3? ?

? 1 ? 3 A. ? ? ? 2 ? 1 ?

2? ? 5? ?3 2? 1 ?1? ? 3

2

? 1 3 ?2 ? ? ? 3 5? B. ? ? 3 ? 2 2? ? 1 1 ?1 ? ? ? ?1 ? 3 C. ? ?2 ?1 ? ? 1 ? 3 D. ? ? ? 2 ? 1 ? ?2 ? ? 5? ?3 2? 1 ?1 ? ? 3 ?2 ? ? 5? ?3 2? 1 ?1 ? ? 3

8.设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵,则下列结论中不正确的是(B ) A. [( AB)T ]?1 ? ( A?1 )T ( B?1 )T B. ( A ? B)?1 ? A?1 ? B?1 C. ( A )
k ?1

? ( A?1 )k (k 为正整数)
? k ? n A (k ? 0) (k 为正整数)
?1

D. (kA)

?1

9.设矩阵 Am?n 的秩为 r,则下述结论正确的是(D ) A. A 中有一个 r+1 阶子式不等于零 B. A 中任意一个 r 阶子式不等于零 C. A 中任意一个 r-1 阶子式不等于零 D. A 中有一个 r 阶子式不等于零

?3 2 ? 10.初等变换下求下列矩阵的秩, A ? ? 2 ?1 ?7 0 ?
A.0 B.1 C.2 D.3
3

? 1 ?3 ? ? 3 1 ? 的秩为?( C) 5 ?1 ? ?

11.写出下列随机试验的样本空间及下列事件的集合表示:掷一颗骰子,出现奇数点。(D) A.样本空间为 ? ? {1, 2,3, 4,5,6} ,事件“出现奇数点”为 {2, 4,6} B.样本空间为 ? ? {1,3,5} ,事件“出现奇数点”为 {1,3,5} C.样本空间为 ? ? {2, 4, 6} ,事件“出现奇数点”为 {1,3,5} D.样本空间为 ? ? {1, 2,3, 4,5,6} ,事件“出现奇数点”为 {1,3,5}

12.向指定的目标连续射击四枪,用 Ai 表示“第 i 次射中目标” ,试用 Ai 表示四枪中至少有 一枪击中目标(C) : A. A 1A 2A 3A 4 B. 1 ? A1 A2 A3 A4 C. A 1?A 2 ?A 3?A 4 D.1

13.一批产品由 8 件正品和 2 件次品组成,从中任取 3 件,则这三件产品全是正品的概率为 (B )

2 5 7 B. 15
A. C. 8 15 D.

3 5

14.甲乙两人同时向目标射击,甲射中目标的概率为 0.8,乙射中目标的概率是 0.85,两人 同时射中目标的概率为 0.68,则目标被射中的概率为( C) A.0.8 B.0.85 C.0.97 D.0.96
4

15.袋中装有 4 个黑球和 1 个白球,每次从袋中随机的摸出一个球,并换入一个黑球,继续 进行,求第三次摸到黑球的概率是(D )

16 125 17 B. 125 108 C. 125 109 D. 125
A.

16.设 A,B 为随机事件, P( A) ? 0.2 , P( B) ? 0.45 , P( AB) ? 0.15 , P( A | B) =( B )

1 6 1 B. 3 1 C. 2 2 D. 3
A.

17.市场供应的热水瓶中,甲厂的产品占 50% ,乙厂的产品占 30% ,丙厂的产品占 20% , 甲厂产品的合格率为 90% ,乙厂产品的合格率为 85% ,丙厂产品的合格率为 80% ,从市场 上任意买一个热水瓶,则买到合格品的概率为( D ) A.0.725 B.0.5 C.0.825 D.0.865

18.有三个盒子,在第一个盒子中有 2 个白球和 1 个黑球,在第二个盒子中有 3 个白球和 1 个黑球,在第三个盒子中有 2 个白球和 2 个黑球,某人任意取一个盒子,再从中任意取一个 球,则取到白球的概率为( C )

31 36 32 B. 36
A.
5

23 36 34 D. 36
C.

19.观察一次投篮,有两种可能结果:投中与未投中。令 X ? ? 试求 X 的分布函数 F ( x) =( C )。

?1, 投中; ?0, 未投中.

?0, x ? 0 ?1 ? A. F ( x ) ? ? , 0 ? x ? 1 ?2 ? ?1, x ? 1 ?0, x ? 0 ?1 ? C. F ( x ) ? ? , 0 ? x ? 1 ?2 ? ?1, x ? 1

?0, x ? 0 ?1 ? B. F ( x ) ? ? , 0 ? x ? 1 ?2 ? ?1, x ? 1 ?0, x ? 0 ?1 ? D. F ( x) ? ? , 0 ? x ? 1 ?2 ? ?1, x ? 1

20.设随机变量 X 的分布列为 P ( X ? k ) ?

k
15

, k ? 1, 2, 3, 4,5 ,则 P ( X ? 1或X ? 2) ? (C)

1 15 2 B. 15 1 C. 5 4 D. 15
A.

第二部分 计算题
? 2 3 ?1? ?1 2 3 ? ? ? ? 1.设矩阵 A ? ? 1 1 1 ? , B ? ? ?1 1 2 ? ,求 AB . ? ? ? 0 ?1 1 ? ? ?0 1 1 ? ? ? 2 3 ?1? ?1 2 3 ? ? 5 6 11 ? ?? ? ? ? 解: AB ? ? ? 1 1 1 ? ?1 1 2 ? = ? 2 4 6 ? ? ? 0 ?1 1 ? ?? ?0 1 1 ? ? ? ? ?1 0 ?1? ?
6

6 11 5 6 =0 | AB |? 2 4 6 = ? ? (?1) 4 6 2 4 ? 1 0 ?1

5

6 11

2 ?5 1 ?3 7 ?1 2.已知行列式 4 ?6 1 5 ?9 2
2

2 4 ,写出元素 a43 的代数余子式 A43 ,并求 A43 的值. 2 7
?5 2

解: A43 ? (?1)

4 ?3

M 43 ? ? ?3 7 4 4 ?6 2

? ?(2
= 54

7 4 ?3 4 ?3 7 ? (?5) ?2 ) ?6 2 4 2 4 ?6

?1 ?0 3.设 A ? ? ?0 ? ?0

1 1 0 0

0 0? 0 0? ? ,求 A 2 . 1 0? ? 2 ?1?

解:A2 = 1 2 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

?2 ?5 4.求矩阵 A ? ? ?1 ? ?4 ?2 ?5 解: A ? ? ?1 ? ?4 ?1 ?0 ? ?0 ? ?0 ?5 ?8 ?7 ?1

?5 ?8 ?7 ?1 3 5 4 1 0? 1? ? 0? ? 0?

3 5 4 1 2 4 2 2

2 4 2 2

1? 3? ? 的秩. 0? ? 3? ?7 ?5 ?1 ?8 4 2 0 ? ?1 ?7 4 2 ? ? 3 2 1 ? ?0 9 ?5 ?2 → 1 2 3 ? ?0 27 ?15 ?6 ? ? 5 4 3 ? ?0 27 ?15 ?6 0? 1? ?→ 3? ? 3?

1? ? 1 ? 3? ? → ?2 0? ?4 ? ? 3 ? ?5

?7 4 2 9 ?5 ?2 0 0 0 0 0 0

7

所以,矩阵的秩为 2
? x1 ? x2 ? 3 x3 ? 1 ? 5.解线性方程组 ? 3 x1 ? x2 ? 3 x3 ? 1 . ? x ? 5x ? 9 x ? 0 2 3 ? 1

解:对增广矩阵施以初等行变换:
?1 1 ?3 1 ? ?1 1 ?3 1 ? ?1 1 ?3 1 ? ? ? ? ? ? ? A ? ?3 ?1 ?3 1 ? ? ?0 ?4 6 ?2 ? ? ? ?0 ?4 6 ?2 ? ? ? ? ?1 5 ?9 0 ? ? ?0 4 ?6 ?1? ? ?0 0 0 ?3? ?
所以,原方程组无解。

? ? x1 ? 2 x2 ? x3 ? 4 x4 ? 0 ?2 x ? 3x ? 4 x ? 5 x ? 0 ? 1 2 3 4 6..解齐次线性方程组 ? . ? x1 ? 4 x2 ? 13 x3 ? 14 x4 ? 0 ? ? x1 ? x2 ? 7 x3 ? 5 x4 ? 0

解:对系数矩阵施以初等变换:

4 ? ? ?1 ? ?1 ?2 1 ? 2 3 ?4 ?5? ? 0 ?→? A= ? ? 1 ?4 ?13 14 ? ? 0 ? ? ? ? 1 ?1 ?7 5 ? ? 0

?2 1 4 ? ? ?1 ?2 1 ? ?1 ?2 3 ? ? → ? 0 ?1 ?2 ?6 ?12 18? ? 0 0 0 ? ? ?3 ?6 9 ? ? 0 0 0

4? 3? ?→ 0? ? 0?

? ?1 0 5 ?2 ? ?1 0 ?5 2 ? ? 0 ?1 ?2 3 ? ?0 1 2 ?3? ? ?→? ? ? 0 0 0 0 ? ?0 0 0 0 ? ? ? ? ? ? 0 0 0 0 ? ?0 0 0 0 ? 与原方程组同解的方程组为:

? x1 ? 5 x3 ? 2 x4 ? 0 ? ? x2 ? x3 ? 3x4 ? 0
所以:方程组的一般解为
? x1 ? 5 x3 ? 2 x4 (其中, x3 , x4 为自由未知量) ? ? x2 ? ?2 x3 ? 3 x4

7.袋中有 10 个球,分别编有号码 1 到 10,从中任取一球,设 A={取得球 的号码是偶数},B={取得球的号码是奇数},C={取得球的号码小于 5},问下列 运算表示什么事件:
8

(1)A+B; (2)AB; (3)AC; (4) AC ; (5) B ? C ; (6)A-C.

答:(1)A+B={取得球的号码是整数} ; (2)AB={取得球的号码既是奇数又是偶数} (3)AC={取得球的号码是 2.4} (4) ={取得球的号码是 1.3.5.6.7.8.9.10} (5) B ? C ={取得球的号码是 6.8} (6)A-C={取得球的号码是 6.8.10}

8.一批产品有 10 件,其中 4 件为次品,现从中任取 3 件,求取出的 3 件产 品中有次品的概率。

答:6.(C<4.1>*C<6.2>+C<4.2>*C<6.1>+C<4.3>)/C<10.3>=5/6
1 9.设 A,B,C 为三个事件, P(A)=P(B)=P(C)= , P( AB) ? P( BC ) ? 0 , 4 1 P( AC ) ? ,求事件 A,B,C 至少有一个发生的概率。 8 1 1 解:因为 P(A)=P(B)=P(C)= , P( AB) ? P( BC ) ? 0 , P( AC ) ? ,所以 A,B 4 8 和 B,C 之间是独立事件,但 A,C 之间有相交,所以 P(A,B,C 至少有一个 发生)=1-(1-1/4-1/4-1/4-1/8)=5/8

10.一袋中有 m 个白球,n 个黑球,无放回地抽取两次,每次取一球,求: (1)在第一次取到白球的条件下,第二次取到白球的条件概率; (2)在第一次取到黑球的条件下,第二次取到白球的条件概率。 解:用 A 表示“第一次取到白球” ,B 表示“第二次取到白球” 。 (1)袋中原有 m+n 个球,其中 m 个白球。第一次取到白球后,袋中还有 m+n-1 球,其中 m-1 个为白球。故 m ?1 P( B | A) ? ; m ? n ?1 (2)袋中原有 m+n 个球,其中 m 个白球,第一次取到黑球后,袋中还有 m+n-1 个球,其中 m 个为白球。故 m P ( B | A) ? . m ? n ?1
9

11.设 A,B 是两个事件,已知 P( A) ? 0.5 , P( B) ? 0.7 , P( A ? B) ? 0.8 , 试求: P( A ? B) 与 P( B ? A) 。 解:由于 =0.5 0.7 0.8 0.4 所以, 0.4 0.3 12.某工厂生产一批商品,其中一等品点
1 ,每件一等品获利 3 元;二等品 2

,则有

0.5 0.4 0.1

0.7

1 1 占 ,每件二等品获利 1 元;次品占 ,每件次品亏损 2 元。求任取 1 件商品获 3 6

利 X 的数学期望 E ( X ) 与方差 D( X ) 。

答:7.E(X)=-2*1/6+1*1/3+3*1/2=3/2 D(X)=(-2-1.5)^2*1/6+(1-1.5)^2*1/3+(3-1.5)^2*1/2=3.25

13.某工厂采用三种方法生产甲乙丙丁四种产品,各种方案生产每种产品的 数量如下列矩阵所示: 甲乙丙丁
?5 9 7 4 ? 方法一 ? A?? ?7 8 9 6 ? 方法二 ? ?4 6 5 7? ? 方法三

若甲乙丙丁四种产品的单位成本分别为 10、12、8、15(万元) ,销售单位 价格分别为 15、16、14、17(万元) ,试用矩阵运算计算用何种方法进行生产获 利最大?

?10 ? ?15 ? ?12 ? ?16 ? ? ? 解:设单位成本矩阵 C ? ,销售单价矩阵为 P ? ? ? ,则单位利润矩阵 ?8 ? ?14 ? ? ? ? ? ?15 ? ?17 ? ?5 ? ?5 ? 5 9 7 4 ? ? ?4? ? 4 ? ?111? ? ? ? ? 为 B ? P ?C ? , 从而获利矩阵为 L ? AB ? 7 8 9 6 ? ? ? ?133? , 于是可知, ? ? ?6 ? ? ? ?6 ? ? ? ? ?4 6 5 7? ?? ? ? ?88 ? ? ?2? ?2?
10

采用第二种方法进行生产,工厂获利最大。 14.某市场零售某蔬菜,进货后第一天售出的概率为 0.7,每 500g 售价为 10 元;进货后第二天售出的概率为 0.2,每 500g 售价为 8 元;进货后第三天售 出的概率为 0.1, 每 500g 售价为 4 元, 求任取 500g 蔬菜售价 X 元的数学期望 E ( X ) 与方差 D( X ) 。

答:E(X)=10*0.7+8*0.2+4*0.1=11.4 D(X)=(10-11.4)^2*0.7+(8-11.4)^2*0.2+(4-11.4)^2*0.1=9.16

11


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