2018年高考数学考点通关练第七章平面解析几何50两条直线的交点与距离公式试题理

考点测试 50

两条直线的交点与距离公式

一、基础小题 1.原点到直线 x+2y-5=0 的距离为( A.1 C.2 答案 D 解析 由点到直线的距离公式得 d= |-5| 1+2
2

) B. 3 D. 5

= 5. )

2.过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是( A.x-2y-1=0 C.2x+y-2=0 答案 A

B.x-2y+1=0 D.x+2y-1=0

解析 设直线方程为 x-2y+c=0(c≠-2),又经过(1,0),故 c=-1,所求方程为 x- 2y-1=0. 3.“a=1”是“直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 C B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

1

解析 直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直?1+1?(-a)=0,所以选 C. 4.已知直线 3x+y-1=0 与直线 2 3x+my+3=0 平行,则它们之间的距离是( A.1 C.3 答案 B 3 1 -1 解析 ∵ = ≠ ,∴m=2,两平行线之间的距离 d= 2 3 m 3 B. 5 4 )

D.4

?-1-3? ? ? 2? 5 ?
3+1

= .选 B. 4 )

5. 已知点 M 是直线 x+ 3y=2 上的一个动点, 且点 P( 3, -1), 则|PM|的最小值为( A. 1 2 B.1 D.3

C.2 答案 B

| 3- 3-2| 解析 |PM|的最小值即点 P( 3,-1)到直线 x+ 3y=2 的距离,又 =1, 1+3 故|PM|的最小值为 1.选 B. 6. 已知点 M 是直线 l: 2x-y-4=0 与 x 轴的交点, 将直线 l 绕点 M 逆时针方向旋转 45°, 得到的直线方程是( A.x+y-3=0 C.3x-y+6=0 答案 B π? 2+1 ? 解析 设直线 l 的倾斜角为 α , 则 tanα =k=2, 则 k′=tan?α + ?= =-3, 4 ? ? 1-2?1 对比四个选项可知选 B. π 7.已知直线 l 的倾斜角为 ,直线 l1 经过点 A(3,2),B(-a,1),且 l1 与 l 垂直,直 4 线 l2:2x+by+1=0 与直线 l1 平行,则 a+b=( A.-4 C.0 答案 B 2-1 解析 由题知,直线 l 的斜率为 1,则直线 l1 的斜率为-1,所以 =-1,所以 a= 3+a 2 -4.又 l1∥l2,所以- =-1,b=2,所以 a+b=-4+2=-2,故选 B. ) B.-2 D.2 ) B.3x+y-6=0 D.x-3y-2=0

b

8.已知实数 x、y 满足 2x+y+5=0,那么 x +y 的最小值为( A. 5 C.2 5 答案 A 解析 B. 10 D.2 10

2

2

)

x2+y2表示点(x,y)到原点的距离.根据数形结合得 x2+y2的最小值为原点到
2

直线 2x+y+5=0 的距离,即 d=

5

= 5. 5 )

9. 已知直线 l 过点 M(3,4), 且与点 A(-2,2), B(4, -2)等距离, 则直线 l 的方程为( A.2x+3y-18=0 B.2x-y-2=0 C.3x-2y+18=0 或 x+2y+2=0 D.2x-y-2=0 或 2x+3y-18=0 答案 D

解析 易知直线 l 的斜率存在,故可设直线 l 的方程为 y-4=k(x-3),即 kx-y+4- 3k=0. |-2k-2+4-3k| |4k+2+4-3k| 2 由已知得 = ,解得 k=2 或 k=- ,故直线 l 的方程 2 2 3 1+k 1+k 为 2x-y-2=0 或 2x+3y-18=0. 10.设 A,B 是 x 轴上的两点,点 M 的横坐标为 3,且|MA|=|MB|,若直线 MA 的方程为 x -y+1=0,则直线 MB 的方程是( A.x+y-7=0 C.x-2y+1=0 答案 A 解析 解法一:由|MA|=|MB|知,点 M 在 A,B 的垂直平分线上.由点 M 的横坐标为 3, 且直线 MA 的方程为 x-y+1=0,得 M(3,4).由题意,知直线 MA,MB 关于直线 x=3 对称, 故直线 MA 上的点(0,1)关于直线 x=3 的对称点(6,1)在直线 MB 上, ∴直线 MB 的方程为 x+y -7=0.选 A. 解法二:由点 M 的横坐标为 3,且直线 MA 的方程为 x-y+1=0,得 M(3,4),代入四个 选项可知只有 3+4-7=0 满足题意,选 A. 11.已知点 A(3,1),在直线 y=x 和 y=0 上分别找一点 M 和 N,使△AMN 的周长最短, 则最短周长为( A.4 C.2 3 答案 B ) B.2 5 D.2 2 ) B.x-y+7=0 D.x+2y-1=0

3

解析

y +1 x +3 ? ? 2 = 2 , 设点 A 关于直线 y=x 的对称点为 B(x ,y ),依题意可得? y -1 ? ?x -3=-1,
1 1 1 1 1 1

解得?

?x1=1, ? ? ?y1=3,

即 B(1,3),同样可得点 A 关于 y=0 的对称点 C(3,-1),如图所示,

则|AM|+|AN|+|MN|=|BM|+|CN|+|MN|≥|BC|,当且仅当 B,M,N,C 共线时,△AMN 的周 长最短,即|BC|= ?1-3? +?3+1? =2 5.选 B. 12.经过两条直线 2x-3y+3=0,x-y+2=0 的交点,且与直线 x-3y-1=0 平行的直 线的一般式方程为________. 答案 x-3y=0 解析 两条直线 2x-3y+3=0,x-y+2=0 的交点为(-3,-1),所以所求直线为 y+ 1 1= (x+3),即 x-3y=0. 3 二、高考小题 13. [2016?全国卷Ⅱ]圆 x +y -2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0 的距离为 1, 则 a=( 4 A.- 3 C. 3 答案 A 解析 圆的方程可化为(x-1) +(y-4) =4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线 ax+y
2 2 2 2 2 2

) 3 B.- 4 D.2

|a+4-1| 4 -1=0 的距离为 =1,解得 a=- .故选 A. 2 3 a +1 14.[2015?山东高考]一条光线从点(-2,-3)射出,经 y 轴反射后与圆(x+3) +(y -2) =1 相切,则反射光线所在直线的斜率为( 5 3 A.- 或- 3 5 5 4 C.- 或- 4 5 答案 D
2 2

) 3 2 B.- 或- 2 3 4 3 D.- 或- 3 4

4

解析 如图,作出点 P(-2,-3)关于 y 轴的对称点 P0(2,-3).由题意知反射光线与 圆相切,其反向延长线过点 P0.故设反射光线为 y=k(x-2)-3,即 kx-y-2k-3=0.∴圆 |-3k-2-2k-3| 4 3 心到直线的距离 d= =1,解得 k=- 或 k=- . 2 3 4 1+k 15.[2015?广东高考]平行于直线 2x+y+1=0 且与圆 x +y =5 相切的直线的方程是 ( ) A.2x+y+5=0 或 2x+y-5=0 B.2x+y+ 5=0 或 2x+y- 5=0 C.2x-y+5=0 或 2x-y-5=0 D.2x-y+ 5=0 或 2x-y- 5=0 答案 A 解析 设与直线 2x+y+1=0 平行的直线方程为 2x+y+m=0(m≠1), 因为直线 2x+y+m=0 与圆 x +y =5 相切, 即点(0,0)到直线 2x+y+m=0 的距离为 5, |m| 所以 = 5,|m|=5. 5 故所求直线的方程为 2x+y+5=0 或 2x+y-5=0. 16.[2014?江苏高考]在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x+2y-3=0 被圆(x-2) +(y +1) =4 截得的弦长为________. 答案 2 55 5
2 2 2 2 2 2 2 2

解析 圆(x-2) +(y+1) =4 的圆心为 C(2,-1),半径 r=2,圆心 C 到直线 x+2y- |2+2??-1?-3| 3 3=0 的距离为 d= = , 2 2 1 +2 5 所求弦长 l=2 r -d =2
2 2

9 2 55 4- = . 5 5
2 2

17. [2014?重庆高考]已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1) +(y-a) =4 相交 于 A,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数 a=________. 答案 4± 15 解析 由△ABC 为等边三角形可得,C 到 AB 的距离为 3,即(1,a)到直线 ax+y-2=0

5

|a+a-2| 2 的距离 d= = 3,即 a -8a+1=0,可求得 a=4± 15. 2 1+a 三、模拟小题 18.[2016?河北邯郸质检]数学家欧拉在 1765 年提出定理:三角形的外心、重心、垂心 依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称之 为三角形的欧拉线.已知△ABC 的顶点 A(2,0),B(0,4),且 AC=BC,则△ABC 的欧拉线的方 程为( ) B.2x+y+3=0 D.2x-y+3=0 A.x+2y+3=0 C.x-2y+3=0 答案 C 解析 因为 AC=BC,所以欧拉线为 AB 的中垂线.又 A(2,0),B(0,4),所以 AB 的中点 1 为(1,2),kAB=-2.故 AB 的中垂线为 y-2= (x-1),即 x-2y+3=0,应选 C. 2 19.[2017?杭州月考]已知 P1(a1,b1)与 P2(a2,b2)是直线 y=kx+1(k 为常数)上两个不 同的点,则关于 x 和 y 的方程组?
? ?a1x+b1y=1, ?a2x+b2y=1 ?

的解的情况是(

)

A.无论 k、P1、P2 如何,总是无解 B.无论 k、P1、P2 如何,总有唯一解 C.存在 k、P1、P2,使之恰有两解 D.存在 k、P1、P2,使之有无穷多解 答案 B 解析 由题意,直线 y=kx+1 一定不过原点 O,P1、P2 是直线 y=kx+1 上不同的两点, → → 则OP1与OP2不平行, 因此 a1b2-a2b1≠0, 所以二元一次方程组?
? ?a1x+b1y=1, ? ?a2x+b2y=1

一定有唯一解.

20.[2016?韶关模拟]“C=2”是“点(1, 3)到直线 x+ 3y+C=0 的距离为 3”的 ( ) A.充要条件 C.必要不充分条件 答案 B 解析 若点(1, 3)到直线 x+ 3y+C=0 的距离为 3,则有 |1+3+C| 1 +? 3?
2 2

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

=3,解得 C

=2 或 C=-10,故“C=2”是“点(1, 3)到直线 x+ 3y+C=0 的距离为 3”的充分不必 要条件,选 B. 21. [2017?宜昌模拟]在平面直角坐标系 xOy 中, 将直线 l 沿 x 轴正方向平移 3 个单位, 沿 y 轴正方向平移 5 个单位,得到直线 l1,再将直线 l1 沿 x 轴正方向平移 1 个单位,沿 y 轴 负方向平移 2 个单位,又与直线 l 重合,则直线 l 与直线 l1 的距离是________. 答案 11 5

解析 设直线 l:ax+by+c=0,依题意可得 l1:a(x-3)+b(y-5)+c=0,再将直线
6

l1 沿 x 轴正方向平移 1 个单位,沿 y 轴负方向平移 2 个单位得直线 l:a(x-4)+b(y-3)+c
3 |-3a-5b+c+4a+3b-c| |a-2b| =0,故 a=- b,则直线 l 与直线 l1 的距离 d= = 2 2= 4 a2+b2 a +b

?-3b-2b? ? 4 ? ? ? 11 = . ?-3b?2+b2 5 ? 4 ? ? ?
22.[2017?淮安调研]已知入射光线经过点 M(-3,4),被直线 l:x-y+3=0 反射,反 射光线经过点 N(2,6),则反射光线所在直线的方程为________. 答案 6x-y-6=0 解析 设点 M(-3,4)关于直线 l:x-y+3=0 的对称点为 M′(a,b),则反射光线所在

b- 4 ? ?a-?-3??1=-1, 直线过点 M′,? -3+a b+4 ? ? 2 - 2 +3=0,

解得 a=1,b=0.又反射光线经过点 N(2,6),

y-0 x-1 所以所求直线的方程为 = ,即 6x-y-6=0. 6-0 2-1
23.[2016?衡阳一模]已知点 P 在直线 x+3y-2=0 上,点 Q 在直线 x+3y+6=0 上, 线段 PQ 的中点为 M(x0,y0),且 y0<x0+2,则 的取值范围是________. 1? ? 答案 ?-∞,- ?∪(0,+∞) 3

y0 x0

?

?

|x0+3y0-2| |x0+3y0+6| y0 解析 依题意可得 = , 化为 x0+3y0+2=0, 又 y0<x0+2, 设 = x0 10 10

kOM,

如图当点 M 位于线段 AB(不包括端点)上时,kOM>0,当点 M 位于射线 BN 上除 B 点外时, 1? 1 y0 ? kOM<- .所以 的取值范围是?-∞,- ?∪(0,+∞). 3? 3 x0 ? 24.[2016?河南焦作一模]著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,割裂分家万 事休. ”事实上, 有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决, 如: ?x-a? +?y-b?
2 2 2

可以转化为平面上点 M(x,y)与点 N(a,b)的距离.结合上述观点,可得 f(x)= x +4x+20 + x +2x+10的最小值为________. 答案 5 2
7
2

解析 ∵f(x)= x +4x+20+ x +2x+10= ?x+2? +?0-4? + ?x+1? +?0-3? ,∴f(x)的几何意义为点 M(x,0)到两 定点 A(-2,4)与 B(-1,3)的距离之和, 设点 A(-2,4)关于 x 轴的对称点为 A′, 则 A′为(- 2,-4). 要 求 f(x) 的 最 小 值 , 可 转 化 为 |MA| + |MB| 的 最 小 值 , 利 用 对 称 思 想 可 知 |MA| + |MB|≥|A′B|= ?-1+2? +?3+4? =5 2,即 f(x)= x +4x+20+ x +2x+10的 最小值为 5 2.
2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

一、高考大题 本考点在近三年高考中未涉及此题型. 二、模拟大题 1.[2016?保定月考]已知直线 l 经过直线 2x+y-5=0 与 x-2y=0 的交点 P. (1)点 A(5,0)到 l 的距离为 3,求 l 的方程; (2)求点 A(5,0)到 l 的距离的最大值. 解 (1)经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x+y-5)+λ (x-2y)=0, 即(2+λ )x+(1-2λ )y-5=0, ∴ |10+5λ -5| ?2+λ ? +?1-2λ ?
2 2

=3,

1 解得 λ =2 或 λ = . 2 ∴l 的方程为 x=2 或 4x-3y-5=0.
?2x+y-5=0, ? (2)由? ? ?x-2y=0,

解得交点 P(2,1).

如图,过 P 作任一直线 l,设 d 为点 A 到 l 的距离, 则 d≤|PA|(当 l⊥PA 时等号成立).
8

∴dmax=|PA|= 10. 2. [2017?江西九江月考]已知直线 l1: x+a y+1=0 和直线 l2: (a +1)x-by+3=0(a,
2 2

b∈R).
(1)若 l1∥l2,求 b 的取值范围; (2)若 l1⊥l2,求|ab|的最小值. 解 (1)因为 l1∥l2,所以-b-(a +1)a =0,
2 2

? 2 1?2 1 2 2 4 2 即 b=-a (a +1)=-a -a =-?a + ? + , 2? 4 ?
因为 a ≥0,所以 b≤0. 又因为 a +1≠3,所以 b≠-6. 故 b 的取值范围是(-∞,-6)∪(-6,0]. 1 ? 1? 2 2 (2)因为 l1⊥l2,所以(a +1)-a b=0,显然 a≠0,所以 ab=a+ ,|ab|=?a+ ?≥2,
2 2

a

?

a?

当且仅当 a=±1 时等号成立,因此|ab|的最小值为 2.

9


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