2013年高考数学复习 第四篇 三角函数、解三角形 第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数教案 理 新人教版

第1讲
【2013 年高考会这样考】

任意角、弧度制及任意角的三角函数

1.考查三角函数的定义及应用. 2.考查三角函数值符号的确定. 【复习指导】 从近几年的高考试题看, 这部分的高考试题大多为教材例题或习题的变形与创新, 因此学习 中要立足基础,抓好对部分概念的理解.

基础梳理 1.任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ②按终边位置不同分为象限角和轴线角. (2)终边相同的角 终边与角 α 相同的角可写成 α +k?360°(k∈Z). (3)弧度制 ①1 弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. ②规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,|α |= ,l 是 以角 α 作为圆心角时所对圆弧的长,r 为半径. ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制,比值 与所取的 r 的大小无关,仅与角的 大小有关. ④弧度与角度的换算:360°=2π 弧度;180°=π 弧度. ⑤弧长公式:l=|α |r, 1 1 2 扇形面积公式:S 扇形= lr= |α |r . 2 2 2.任意角的三角函数定义 设 α 是一个任意角,角 α 的终边上任意一点 P(x,y),它与原点的距离为 r(r>0),那么 角 α 的正弦、余弦、正切分别是:sin α = ,cos α = ,tan α = ,它们都是以角为自 变量,以比值为函数值的函数. 3.三角函数线 设角 α 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点 P,过 P 作
1

l r

l r

y r

x r

y x

PM 垂直于 x 轴于 M,则点 M 是点 P 在 x 轴上的正射影.由三角函数的定义知,点 P 的坐标为
(cos_α ,sin_α ),即 P(cos_α ,sin_α ),其中 cos α =OM,sin α =MP,单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A,单位圆在 A 点的切线与 α 的终边或其反向延长线相交于点 T,则 tan α =AT.我们把有向线段 OM、MP、AT 叫做 α 的余弦线、正弦线、正切线.

三 角 函 数 线 有向线段 MP 为正弦线 有向线段 AT 为正切线

有向线段 OM 为 余弦线

一条规律 三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦. (2)终边落 在 x 轴 上的角的集合 {β |β = kπ , k ∈Z}; 终边落 在 y 轴上的角的集 合
? ?β ? ? ? ?β ? ?



? π = +kπ ,k∈Z? ; 终 边 落 在 坐 标 轴 上 的 角 的 集 合 可 以 表 示 为 2 ? ? ? ?. ? ?

?β =kπ ,k∈Z ? 2 ?

两个技巧 (1)在利用三角函数定义时,点 P 可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点, |OP|=r 一定是正值. (2)在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧. 三个注意 (1)注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、小于 90°的角是概念不同的三类角,第一类 是象限角,第二类、第三类是区间角. (2)角度制与弧度制可利用 180°=π rad 进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必 须一致,不可混用. (3)注意熟记 0°~360°间特殊角的弧度表示,以方便解题. 双基自测 9π 1.(人教 A 版教材习题改编)下列与 的终边相同的角的表达式中正确的是 4

2

( A.2kπ +45°(k∈Z) C.k?360°-315°(k∈Z) 9 B.k?360°+ π (k∈Z) 4 5π D.kπ + (k∈Z) 4

).

9π 9 解析 与 的终边相同的角可以写成 2kπ + π (k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用, 4 4 所以只有答案 C 正确. 答案 C 2.若 α =k?180°+45°(k∈Z),则 α 在( A.第一或第三象限 C.第二或第四象限 ).

B.第一或第二象限 D.第三或第四象限

解析 当 k=2m+1(m∈Z)时,α =2m?180°+225°=m?360°+225°,故 α 为第三象 限角; 当 k=2m(m∈Z)时,α =m?360°+45°,故 α 为第一象限角. 答案 A

3.若 sin α <0 且 tan α >0,则 α 是( A.第一象限角 C.第三象限角

). B.第二象限角 D.第四象限角

解析 由 sin α <0 知 α 是第三、四象限或 y 轴非正半轴上的角,由 tan α >0 知 α 是第 一、三象限角.∴α 是第三象限角. 答案 C 4.已知角 α 的终边过点(-1,2),则 cos α 的值为( A.- 5 5 2 5 B. 5 2 5 C.- 5 ).

1 D.- 2

-1 5 解析 由三角函数的定义可知,r= 5,cos α = =- . 5 5 答案 A 5.(2011?江西)已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴非负半轴,若 P(4,y)是角 θ 终边上一点,且 sin θ =- 2 5 ,则 y=________. 5

解析 根据正弦值为负数且不为-1,判断角在第三、四象限,再加上横坐标为正,断定该 角为第四象限角,∴y<0,sin θ = 2 5 =- ? y=-8. 5 16+y
2

y

3

答案 -8

考向一 角的集合表示及象限角的判定 【例 1】? (1)写出终边在直线 y= 3x 上的角的集合; 6π θ (2)若角 θ 的终边与 角的终边相同,求在[0,2π )内终边与 角的终边相同的角; 7 3 α (3)已知角 α 是第二象限角,试确定 2α 、 所在的象限. 2 [审题视点] 利用终边相同的角进行表示及判断. π 解 (1)在(0,π )内终边在直线 y= 3x 上的角是 , 3 ∴终边在直线 y= 3x 上的角的集合为
? ? ?α ? ?

?α =π +kπ ,k∈Z ? 3 ?

? ? ?. ? ?

6π θ 2π 2kπ (2)∵θ = +2kπ (k∈Z),∴ = + (k∈Z). 7 3 7 3 2π 2kπ 3 18 依题意 0≤ + <2π ? - ≤k< ,k∈Z. 7 3 7 7 θ 2π 20π 34π ∴k=0,1,2,即在[0,2π )内终边与 相同的角为 , , . 3 7 21 21 (3)∵α 是第二象限角, ∴k?360°+90°<α <k?360°+180°,k∈Z. ∴2k?360°+180°<2α <2k?360°+360°,k∈Z. ∴2α 是第三、第四象限角或角的终边在 y 轴非正半轴上. α ∵k?180°+45°< <k?180°+90°,k∈Z, 2 α 当 k=2m(m∈Z)时,m?360°+45°< <m?360°+90°; 2 当 k=2m+1(m∈Z)时,

m?360°+225°< <m?360°+270°;
α ∴ 为第一或第三象限角. 2 (1)相等的角终边一定相同,但终边相同的角却不一定相等,终边相同的角有无 数个,它们之间相差 360°的整数倍.
4

α 2

(2)角的集合的表示形式不是唯一的,如:终边在 y 轴非正半轴上的角的集合可以表示为
? ? ? π ?x?x=2kπ - 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 3π ,k∈Z?,也可以表示为?x?x=2kπ + ,k∈Z 2 ? ? ? ? ? ? ? ?. ? ?

【训练 1】 角 α 与角 β 的终边互为反向延长线,则( A.α =-β B.α =180°+β C.α =k?360°+β (k∈Z) D.α =k?360°±180°+β (k∈Z)

).

解析 对于角 α 与角 β 的终边互为反向延长线,则 α -β =k?360°±180°(k∈Z). ∴α =k?360°±180°+β (k∈Z). 答案 D 考向二 三角函数的定义 【例 2】? 已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m)(m≠0)且 sin θ = 的象限,并求 cos θ 和 tan θ 的值. [审题视点] 根据三角函数定义求 m,再求 cos θ 和 tan θ . 解 由题意得,r= 3+m ,∴ ∴m=± 5, 故角 θ 是第二或第三象限角. 当 m= 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3, 5),角 θ 是第二象限角,
2

2 m,试判断角 θ 所在 4

m
3+m

2



2 m,∵m≠0, 4

x - 3 6 ∴cos θ = = =- , r 2 2 4 y 5 15 tan θ = = =- . x - 3 3
当 m=- 5时,r=2 2,点 P 的坐标为(- 3,- 5),角 θ 是第三象限角.

x - 3 6 y - 5 15 ∴cos θ = = =- ,tan= = = . r 2 2 4 x - 3 3
任意角的三角函数值仅与角 α 的终边位置有关, 而与角 α 终边上点 P 的位置无 关.若角 α 已经给出,则无论点 P 选择在 α 终边上的什么位置,角 α 的三角函数值都是 确定的. 【训练 2】 (2011?课标全国)已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的非负半轴重合, 终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ =( 4 A.- 5 3 B.- 5 3 C. 5 4 D. 5
5

).

解析 取终边上一点(a,2a),a≠0,根据任意角的三角函数定义,可得 cos θ =± 3 2 cos 2θ =2cos θ -1=- . 5 答案 B 考向三 弧度制的应用 【例 3】? 已知半径为 10 的圆 O 中,弦 AB 的长为 10. (1)求弦 AB 所对的圆心角 α 的大小; (2)求 α 所在的扇形的弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S. [审题视点] (1)由已知条件可得△AOB 是等边三角形,可得圆心角 α 的值;

5 ,故 5

(2)利用弧长公式可求得弧长,再利用扇形面积公式可得扇形面积,从而可求弓形的面积. 解 (1)由⊙O 的半径 r=10=AB,知△AOB 是等边三角形, π ∴α =∠AOB=60°= . 3 π (2)由(1)可知 α = ,r=10, 3 π 10π ∴弧长 l=α ?r= ?10= , 3 3 1 1 10π 50π ∴S 扇形= lr= ? ?10= , 2 2 3 3 1 10 3 1 10 3 50 3 而 S△AOB= ?AB? = ?10? = , 2 2 2 2 2 3? ?π ∴S=S 扇形-S△AOB=50? - ?. ?3 2 ? 弧度制下的扇形的弧长与面积公式, 比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁 得多,用起来也方便得多.因此,我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式. 【训练 3】 已知扇形周长为 40,当它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大? 解 设圆心角是 θ ,半径是 r,则 2r+rθ =40,

S= lr= r(40-2r)=r(20-r)≤? ?2=100. 2
当且仅当 r=20-r,即 r=10 时,Smax=100. ∴当 r=10,θ =2 时,扇形面积最大,即半径为 10,圆心角为 2 弧度时,扇形面积最大. 考向四 三角函数线及其应用 【例 4】? 在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边的范围.并由此写出角 α 的集合: (1)sin α ≥ 3 1 ; (2)cos α ≤- . 2 2

1 2

1 2

?20? ? ?

6

[审题视点] 作出满足 sin α = 终边的范围. 解

3 1 ,cos α =- 的角的终边,然后根据已知条件确定角 α 2 2

(1)作直线 y=

3 交单位圆于 A、B 两点,连接 OA、OB,则 OA 与 OB 围成的区域(图中阴影部 2

分)即为角 α 的终边的范围,故满足条件的角 α 的集合为
? ? ?α ? ?

?2kπ +π ≤α ≤2kπ +2π ,k∈Z ? 3 3 ?

? ? ?. ? ?

1 (2)作直线 x=- 交单位圆于 C、D 两点,连接 OC、OD,则 OC 与 OD 围成的区域(图中阴影部 2 分)即为角 α 终边的范围,故满足条件的角 α 的集合为
? ? ?α ? ?

?2kπ +2π ? 3 ?

? ? 4 ≤α ≤2kπ + π ,k∈Z?. 3 ? ?

利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是: (1)用边界值定出角的终边位置; (2)根据不等式(组)定出角的范围; (3)求交集,找单位圆中公共的部分; (4)写出角的表达式. 【训练 4】 求下列函数的定义域: (1)y= 2cos x-1; (2)y=lg(3-4sin x).
2

1 解 (1)∵2cos x-1≥0,∴cos x≥ . 2 由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).

7

π π? ? ∴定义域为?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z). 3 3? ? (2)∵3-4sin x>0, 3 2 ∴sin x< , 4 ∴- 3 3 <sin x< . 2 2
2

利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),

π π? ? ∴定义域为?kπ - ,kπ + ?(k∈Z). 3 3? ?

8

规范解答 7——如何利用三角函数的定义求三角函数值 【问题研究】 三角函数的定义:设 α 是任意角,其终边上任一点 P(不与原点重合)的坐标 为(x,y),它到原点的距离是 r(r= x +y >0),则 sin α = 、cos α = 、tan α = 分 别是 α 的正弦、余弦、正切,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数,这样的函 数称为三角函数,这里 x,y 的符号由 α 终边所在象限确定,r 的符号始终为正,应用定义 法解题时,要注意符号,防止出现错误.三角函数的定义在解决问题中应用广泛,并且有时 可以简化解题过程. 【解决方案】 利用三角函数的定义求三角函数值时,首先要根据定义正确地求得 x,y,r 的值;然后对于含参数问题要注意分类讨论. 【示例】? (本题满分 12 分)(2011?龙岩月考)已知角 α 终边经过点 P(x,- 2)(x≠0), 且 cos α = 3 x,求 sin α 、tan α 的值. 6
2 2

y r

x r

y x

只要确定了 r 的值即可确定角 α 经过的点 P 的坐标,即确定角 α 所在的象限, 并可以根据三角函数的定义求出所要求的值. [解答示范] ∵P(x,- 2)(x≠0), ∴P 到原点的距离 r= x +2,(2 分) 又 cos α = ∴cos α = 3 x, 6
2

x 3 = x, 2 x +2 6

∵x≠0,∴x=± 10,∴r=2 3.(6 分)

当 x= 10时,P 点坐标为( 10,- 2), 由三角函数定义,有 sin α =- 6 5 ,tan α =- ;(9 分) 6 5

当 x=- 10时,P 点坐标为(- 10,- 2), ∴sin α =- 6 5 ,tan α = .(12 分) 6 5

当角的终边经过的点不固定时,需要进行分类讨论,特别是当角的终边在过坐标 原点的一条直线上时, 在根据三角函数定义求解三角函数值时, 就要把这条直线看做两条射 线,分别求解,实际上这时求的是两个角的三角函数值,这两个角相差 2kπ +π (k∈Z),
9

当求出了一种情况后也可以根据诱导公式求另一种情况. 4 【试一试】 已知角 α 的终边在直线 3x+4y=0 上,求 sin α +cos α + tan α . 5 3 [尝试解答] 取直线 3x+4y=0 上的点 P1(4,-3),则|OP1|=5,则 sin α =- ,cos α 5 4 3 = ,tan α =- , 5 4 4 3 4 4 ? 3? 故 sin α +cos α + tan α =- + + ??- ? 5 5 5 5 ? 4? 2 =- ; 5 取直线 3x+4y=0 上的点 P2(-4,3), 3 4 3 则 sin α = ,cos α =- ,tan α =- . 5 5 4 4 3 4 4 ? 3? 4 故 sin α +cos α + tan α = - + ??- ?=- . 5 5 5 5 ? 4? 5 4 2 4 综上,sin α +cos α + tan α 的值为- 或- . 5 5 5

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