2014届高三数学(理)一轮专题复习课件 空间点、直线、平面之间的位置关系


§8.3

空间点、直线、平面之间的位置关系

[高考调研
考纲解读 ?了解可以作为推理依据的公理和定 理. ?理解空间直线、平面位置关系的定 义. ?能运用公理、定理和已获得的结论 证明一些空间图形的位置关系的简 单命题.

明确考向]
考情分析 ?点、线、面的位置关系是本节的重 点,也是高考的热点. ?以考查点、线、面的位置关系为 主,同时考查逻辑推理能力与空间 想象能力. ?多以选择题、填空题的形式考查, 有时也出现在解答题中,属低中档 题.

知识梳理 1.平面的基本性质 名称 图示 文字表示 如果一条直线上的 公理 1 1 □____在一个平面 内,那么这条直线 在此平面内 A∈l,B∈l,且 A∈α,B∈α? 2 □__________ 符号表示

名称

图示

文字表示

符号表示 A、B、C三点不

公理 2

3 过□__________上的三 点,有且只有一个平面 如果两个不重合的平面有

共线?有且只有 一个平面α,使 A、B、C∈α

公理 3

一个公共点,那么它们有 4 且只有□____条过该点的 公共直线

P∈α,且P∈β ?α∩β=l,且P ∈l

2.空间两直线的位置关系 (1)

(2)平行公理: 8 公理4: □ __________的两条直线互相平行——空间平 行线的传递性. (3)等角定理: 空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 9 □__________.

(4)异面直线所成的角: ①定义:设a、b是两条异面直线,经过空间任一点O作 10 直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的 □ _____________ _叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). 11 ②范围:□__________.

3.直线与平面的位置关系

4.平面与平面的位置关系

1 答案: □ 两点

2 3 4 □ l?α □ 不在一条直线 □ 一

5 6 7 8 9 □ 相交 □ 平行 □ 任何 □ 平行于同一直线 □ 相 等或互补 个 10 11 □锐角(或直角) □
? π? ?0, ? 2? ?

12 13 □l?α □无数

14 15 16 17 18 □ l∩α=A □ 一个 □ l∥α □ 0个 □ α∥β

19 20 □0个 □α∩β

名师微博 ●两种方法 异面直线的判定方法: (1)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平 面内不经过该点的直线是异面直线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可 能共面,从而可得两线异面.

●三个作用 (1)公理1的作用:①检验平面:②判断直线在平面内; ③由直线在平面内判断直线上的点在平面内. (2)公理2的作用:公理2及其推论给出了确定一个平面或 判断“直线共面”的方法. (3)公理3的作用:①判定两平面相交;②作两平面相交 的交线;③证明多点共线.

基础自测 1.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是( A.异面 C.相交 B.平行 D.以上都有可能 )

解析:如图,a∥b,c与d相交,a与d异面.

答案:D

2.直线a,b,c两两平行,但不共面,经过其中两条直 线的平面的个数为( A.1 ) C.6 D.0

B.3

解析:以三棱柱为例,三条侧棱两两平行,但不共面, 显然经过其中的两条直线的平面有3个.

答案:B

3.若点Q在直线b上,b在平面β内,则Q、b、β之间的 关系可写作( ) B.Q∈b?β D.Q?b∈β

A.Q∈b∈β C.Q? β b?

解析:∵点Q在直线b上,∴Q∈b. 又直线b在平面β内,∴b?β. ∴Q∈b?β. ∴选B.

答案:B

4.已知a,b是异面直线,直线c∥直线a,则c与b( A.一定是异面直线 C.不可能是平行直线
解析:

)

B.一定是相交直线 D.不可能是相交直线

答案:C

5.下列命题中不正确的是__________. ... ①没有公共点的两条直线是异面直线; ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面; ③一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一 条直线不可能平行; ④一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两 个平面.

解析:没有公共点的两直线或平行或异面,故①错;命 题②错,此时两直线有可能相交;命题③正确,因为若直线 a 和 b 异面,c∥a,则 c 与 b 不可能平行,用反证法证明如下: 若 c∥b,又 c∥a,则 a∥b,这与 a,b 异面矛盾,故 c b;

命题④也正确,若 c 与两异面直线 a,b 都相交,由公理 3 可 知,a,c 可能确定一个平面,b,c 也可确定一个平面,这样, a,b,c 共确定两个平面.

答案:①②

考点一

平面的基本性质

[例1]

如下图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为

AB的中点,F为A1A的中点.求证: (1)E、C、D1、F四点共面; (2)CE、D1F、DA三线共点

证明:(1)连接A1B. ∵E、F分别是AB和AA1的中点, 1 ∴EF綊2A1B.

又A1D1綊B1C1綊BC,

∴四边形A1D1CB为平行四边形. ∴A1B∥CD1,从而EF∥CD1. ∴EF与CD1确定一个平面. ∴E、F、D1、C四点共面.

1 (2)∵EF綊2CD1, ∴直线D1F和CE必相交. 设D1F∩CE=P.延长D1F、CE交于点P. ∵P∈D1F且D1F?平面AA1D1D,∴P∈平面AA1D1D. 又P∈EC且CE?平面ABCD,∴P∈平面ABCD,

即P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点,而平面 ABCD∩平面AA1D1D=AD, ∴P∈AD.∴CE、D1F、DA三线共点.

方法点睛

要证明点共线或线共点的问题,关键是转化

为证明点在直线上,也就是利用平面的基本性质3,即证点 在两个平面的交线上.或者选择其中两点确定一直线,然后 证明另一点也在此直线上.

变式训练1 下列如图所示是正方体和正四面体,P、 Q、R、S分别是所在棱的中点,则四个点共面的图形是 __________.









解析:在④图中,可证Q点所在棱与面PRS平行,因 此,P、Q、R、S四点不共面.可证①中四边形PQRS为梯 形;③中可证四边形PQRS为平行四边形;②中如图所示取 A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形,且 PMQNRS为正六边形.

答案:①②③

考点二

异面直线

[例2]

如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分

别是A1B1、B1C1的中点.问:

(1)AM和CN是否是异面直线?说明理由. (2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.

解析:(1)不是异面直线.理由: 连接MN、A1C1、AC. ∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点,∴MN∥A1C1. 又∵A1A綊C1C,∴A1ACC1为平行四边形.

∴A1C1∥AC,得到MN∥AC. ∴A、M、N、C在同一平面内,故AM和CN不是异面直 线.

(2)是异面直线.证明如下: ∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴B、C、C1、D1不共 面. 假设D1B与CC1不是异面直线, 则存在平面α,使D1B?平面α,CC1?平面α. ∴D1、B、C、C1∈α. ∵D1B?平面A1BCD1,C∈平面A1BCD1,C?D1B,

∴过D1B与C有且仅有一个平面,即平面A1BCD1,于是α 与平面A1BCD1是同一个平面. 由假设知,C1∈平面A1BCD1与已知矛盾. ∴假设不成立,即D1B与CC1是异面直线.

方法点睛

证明两直线为异面直线的方法:①定义法

(不易操作).②反证法:先假设两条直线不是异面直线,即 两直线平行或相交,由假设的条件出发、经过严密的推理, 导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.

变式训练2 在下图中,G、H、M、N分别是正三棱柱 的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH、MN是异面直线的 图形有__________(填上所有正确答案的序号).

(1)

(2)

(3)

(4)

解析:如题干图(1)中,直线GH∥MN; 图(2)中,G、H、N三点共面,但M?面GHN,因此直线 GH与MN异面; 图(3)中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面; 图(4)中,G、M、N共面,但H?面GMN, ∴GH与MN异面.所以图(2)、(4)中GH与MN异面.

答案:(2)(4)

考点三
[例3]

异面直线所成的角
正方体ABCD-A1B1C1D1中,

(1)求AC与A1D所成角的大小; (2)若E、F分别为AB、AD的中点,求A1C1与EF所成角的大 小.

解析:(1)如图,连接B1A、B1C,由ABCD-A1B1C1D1是 正方体, 易知A1D∥B1C, 从而B1C与AC的夹角就是AC与A1D所成的角. ∵AB1=AC=B1C, ∴∠B1CA=60° . 即A1D与AC所成角为60° .

(2)如图,连接A1C1、EF、BD,在正方形ABCD中,AC ⊥BD,AC∥A1C1.

∵E、F为AB、AD的中点, ∴EF∥BD. ∴EF⊥AC. ∴EF⊥A1C1. 即A1C1与EF所成的角为90° .

方法点睛

求异面直线所成的角常采用“平移线段

法”,平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线 平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形 平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.

变式训练3

已知A是△BCD平面外的一点,E,F分别

是BC,AD的中点. (1)求证:直线EF与BD是异面直线; (2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.

解析:(1)假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面, 从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A、B、C、D在同 一平面内,这与A是△BCD平面外的一点相矛盾.故直线EF 与BD是异面直线. (2)如图,取CD的中点G,连接EG、FG,则EG∥BD, 所以相交直线EF与EG所成的角,即为异面直线EF与BD所成 的角.

1 在Rt△EGF中,由EG=FG= 2 AC,求得∠FEG=45° , 即异面直线EF与BD所成的角为45° .

易错矫正(二十五)

点、直线、平面位置关系考虑不全 致误

[试题]

(2011· 四川)l1,l2,l3是空间三条不同的直线, )

则下列命题正确的是(

A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3共面 D.l1,l2,l3共点?l1,l2,l3共面

错解:甲同学:A

乙同学:C

丙同学:D.

错因:受平面几何知识限制,未能全面考虑空间中的情 况.

正解:在空间中,垂直于同一直线的两条直线不一定平 行,故A错;两平行线中的一条垂直于第三条直线,则另一 条也垂直于第三条直线,B正确;相互平行的三条直线不一 定共面,如三棱柱的三条侧棱,故C错;共点的三条直线不 一定共面,如三棱锥的三条侧棱,故D错.

答案:B

点评:由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考 虑,这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多, 特别是当直线和平面的个数较多时,各种位置关系错综复 杂、相互交织,如果考虑不全面就会导致一些错误的判 断.可借助正方体、三棱锥、三棱柱模型来分析.


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