高三数学北师大版(文)复习课件第1章 第3节 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”_图文

第1章 集合与常用逻辑用语
第三节 全称量词与存在量词、逻辑联结 词“且”“或”“非”

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[考纲传真] 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理 解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进 行否定.
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1.全称量词与全称命题 (1)“所有”“每一个 ”“任何”“ 任意一条”“一切”都是在

指定范围内,表示整体或全部的含义,这样的词叫作全称量词.

(2)含有全称量词的命题,叫作全称命题.

2.存在量词与特称命题 (1)“有些”“至少有一个 ”“有一个”“存在”都有表示个别

或一部分的含义,这样的词叫作存在量词.

(2)含有 存在量词

的命题,叫作特称命题.

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3.全称命题和特称命题的否定

命题

命题的否定

任意 x∈M,p(x)

存在 x∈M,﹁p(x)

存在 x∈M,p(x)

任意 x∈M,﹁p(x)

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4.简单的逻辑联结词 (1)常用的简单的逻辑联结词有“ 且 ”“ 或 ”“ 非 ”.

(2)命题 p 且 q,p 或 q,﹁p 的真假判断

p

q

p且q

p或q

﹁p









































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[常用结论] 1.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律: (1)p 或 q:有真则真. (2)p 且 q:有假则假. (3)p 与﹁p:真假相反. 2.含一个量词的命题的否定的规律是“改量词,否结论”. 3.命题 p 且 q 的否定是“﹁p 或﹁q”;命题 p 或 q 的否定是“﹁ p 且﹁q”.
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[基础自测]

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的

打“×”)

(1)命题“5>6 或 5>2”是假命题.

()

(2)命题﹁(p 且 q)是假命题,则命题 p,q 中至少有一个是假命

题.

()

(3)“长方形的对角线相等”是特称命题.

()

(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”. ( )

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[解析] (1)错误.命题 p 或 q 中,p,q 有一真则真. (2)错误.p 且 q 是真命题,则 p,q 都是真命题. (3)错误.命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形 的对角线相等”,是全称命题. (4)错误.“对顶角相等”是全称命题,其否定为“有些对顶角 不相等”. [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
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2.(教材改编)已知 p:2 是偶数,q:2 是质数,则命题﹁p,﹁q,

p 或 q,p 且 q 中真命题的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

B [p 和 q 显然都是真命题,所以﹁p,﹁q 都是假命题,p 或 q, p 且 q 都是真命题.]

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3.下列命题中的假命题是( ) A.任意 x∈R,2x-1>0 B.任意 x∈N*,(x-1)2>0 C.存在 x∈R,lg x<1 D.存在 x∈R,tan x=2
B [对于 B,当 x=1 时,(x-1)2=0,故 B 项是假命题.]

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4.命题:“存在 x∈R,x2-ax+1<0”的否定为________. 任意 x∈R,x2-ax+1≥0 [因为特称命题的否定是全称命题, 所以命题“存在 x∈R,x2-ax+1<0”的否定是“任意 x∈R,x2- ax+1≥0”.]
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5.若命题“任意 x∈R,ax2-ax-2≤0”是真命题,则实数 a 的取值范围是________.
[-8,0] [当 a=0 时,不等式显然成立. 当 a≠0 时,依题意知???aΔ<=0a,2+8a≤0, 解得-8≤a<0. 综上可知-8≤a≤0.]
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含有逻辑联结词的命题及真假判断

1.在一次跳伞训练中,甲、乙 两名学员各跳一次,设命题 p:甲降

A [﹁p:甲没有降落在指定范

落在指定范围.q:乙降落在指定范 围,

围.则命题“至少有一名学员没有 降落在指定范围”可表示为( )

﹁q:乙没有降落在指定范围.

A.(﹁p)或(﹁q)

则“至少有一名学员没有降落

B.p 或(﹁q) C.(﹁p)且(﹁q) D.p 且 q

在 指 定 范 围 ” 可 表 示 为 ( ﹁ p) 或 ( ﹁ q),故选 A.]

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2.若命题“p 或 q”是真 命题,“﹁p”为真命题,则 ()
A.p 真,q 真 C.p 真,q 假

B [命题“p 或 q”是真命题, 则 p 或 q 至少有一个真命题,又“﹁ p”是真命题,则 p 是假命题,从而 B.p 假,q 真 q 一定是真命题,故选 B.] D.p 假,q 假

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3.(2019·泰安模拟)已知命题 p:任意 x>0,ln(x+1)>0;命题 q:

若 a>b,则 a2>b2.下列命题为真命题的是( )

A.p 且 q

B.p 且(﹁q)

C.(﹁p)且 q

D.(﹁p)且(﹁q)

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B [∵x>0,∴x+1>1,∴ln(x+1)>ln 1=0. ∴命题 p 为真命题,∴﹁p 为假命题. ∵a>b,取 a=1,b=-2,而 12=1,(-2)2=4,此时 a2<b2, ∴命题 q 为假命题,∴﹁q 为真命题. ∴p 且 q 为假命题,p 且﹁q 为真命题,﹁p 且 q 为假命题,﹁p 且﹁q 为假命题.故选 B.]
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[规律方法] “p 且 q”“p 或 q”“﹁p”等形式命题真假的判 断步骤
(1)确定命题的构成形式. (2)判断其中命题 p,q 的真假. (3)依据“或”——一真即真,“且”——一假即假,“非”—— 真假相反,来确定“p 且 q”“p 或 q”“﹁p”等形式命题的真假.
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全称命题、特称命题 【例 1】 (1)(2019·武汉模拟)命题“存在 x∈(0,+∞),ln x=x -1”的否定是( ) A.任意 x∈(0,+∞),ln x≠x-1 B.任意 x?(0,+∞),ln x=x-1 C.存在 x∈(0,+∞),ln x≠x-1 D.存在 x?(0,+∞),ln x=x-1
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(2)下列命题中的假命题是( ) A.任意 x∈R,x2≥0 B.任意 x∈R,2x-1>0 C.存在 x∈N,sinπ2x=1 D.存在 x∈R,sin x+cos x=2

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(1)A (2)D [(1)改变原命题中的二个地方即可得其否定,存在 改为任意,否定结论,即 ln x≠x-1,故选 A.
(2)当 x∈R 时,x2≥0 且 2x-1>0,故 A、B 是真命题. 当 x=1 时,sinπ2x=1,故 C 是真命题. 由 sin x+cos x= 2sin????x+π4????≤ 2, 故 D 是假命题.]
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[规律方法] 1.对全称(特称)命题进行否定的两步操作 (1)改写量词:找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的 含义加上量词,再改变量词. (2)否定结论:对原命题的结论进行否定. 2.全称命题、特称命题的真假判断方法 (1)要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合 M 中的每个 元素 x 验证 p(x)成立;但要判断全称命题是假命题,只要能找出集合 M 中的一个 x=x0,使得 p(x0)不成立即可. (2)要判断一个特称命题是真命题,只要在限定集合 M 中,至少 能找到一个 x=x0,使 p(x0)成立即可,否则,这一特称命题就是假命 题.
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(1)命题:“存在 x>0,使 2x(x-a)>1”,这个命题 的否定是( )
A.任意 x>0,使 2x(x-a)>1 B.任意 x>0,使 2x(x-a)≤1 C.任意 x≤0,使 2x(x-a)≤1 D.任意 x≤0,使 2x(x-a)>1
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(2)下列命题中,真命题是( ) A.任意 x∈R,x2-x-1>0 B.任意 α,β∈R,sin(α+β)<sin α+sin β C.存在 x∈R,x2-x+1=0 D.存在 α,β∈R,sin(α+β)=cos α+cos β
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(1)B (2)D [(1)命题的否定为任意 x>0,使 2x(x-a)≤1,故选 B.
(2)因为 x2-x-1=????x-12????2-54≥-54,所以 A 是假命题.当 α=β =0 时,有 sin(α+β)=sin α+sin β,所以 B 是假命题.x2-x+1= ????x-12????2+34≥34,所以 C 是假命题.当 α=β=π2时,有 sin(α+β)=cos α +cos β,所以 D 是真命题,故选 D.]
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根据命题的真假求参数的取值范围

【例 2】 (1)已知命题“存在 x∈R,使 2x2+(a-1)x+12≤0”

是假命题,则实数 a 的取值范围是( )

A.(-∞,-1)

B.(-1,3)

C.(-3,+∞)

D.(-3,1)

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(2)已知 p:存在 x∈R,mx2+1≤0,q:任意 x∈R,x2+mx+1

>0,若 p 或 q 为假命题,则实数 m 的取值范围为( )

A.m≥2

B.m≤-2

C.m≤-2 或 m≥2

D.-2≤m≤2

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(1)B (2)A [(1)原命题的否定为任意 x∈R,2x2+(a-1)x+12> 0,由题意知,为真命题,
则 Δ=(a-1)2-4×2×12<0, 则-2<a-1<2,则-1<a<3,故选 B.
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(2)依题意知,p,q 均为假命题.当 p 是假命题时,任意 x∈R, mx2+1>0 恒成立,则有 m≥0;当 q 是假命题时,则有 Δ=m2-4≥0, m≤-2 或 m≥2.
因此,由 p,q 均为假命题得???mm≥ ≤0-,2或m≥2, 即 m≥2,故选 A.]
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[规律方法] 根据命题的真假求参数的取值范围的方法与步骤 (1)求出当命题 p,q 为真时所含参数的取值范围. (2)根据复合命题的真假判断命题 p,q 的真假性. (3)根据命题 p,q 的真假情况,利用集合的运算(并、交、补)求 出参数的取值范围.
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(1)已知命题 p:任意 x∈[1,2],使得 ex-a≥0.若﹁p

是假命题,则实数 a 的取值范围为( )

A.(-∞,e2]

B.(-∞,e]

C.[e,+∞)

D.[e2,+∞)

(2)已知命题 p:存在 x∈R,x2-ax+4=0;命题 q:关于 x 的函

数 y=2x2+ax+4 在[3,+∞)上是增函数,若 p 且 q 是真命题,则实

数 a 的取值范围是________.

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(1)B (2)[-12,-4]∪[4,+∞) [(1)﹁p 是假命题,则 p 是真 命题,当 x∈[1,2]时,e≤ex≤e2,由题意知 a≤(ex)min,x∈[1,2],因 此 a≤e,故选 B.
(2)若 p 是真命题,则 Δ=a2-16≥0,解得 a≤-4 或 a≥4. 若 q 是真命题,则-a4≤3,即 a≥-12. 由 p 且 q 是真命题知,命题 p、q 均是真命题. 因此 a 的取值范围是[-12,-4]∪[4,+∞).]
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