【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版)选修2-2练习:第2章 5 简单复合函数的求导法则]

第二章

§5

一、选择题 1.函数 y=xln(2x+5)的导数为( x A.ln(2x+5)- 2x+5 C.2xln(2x+5) [答案] B [解析] 1 y′x=[xln(2x+5)]′=x′ln(2x+5)+x[ln(2x+5)]′=ln(2x+5)+x· · (2x+ 2x+5 2x . 2x+5 ) ) B.ln(2x+5)+ x D. 2x+5 2x 2x+5

5)′=ln(2x+5)+

1 2.已知 f(x)= sin2x+sinx,那么 f′(x)( 2 A.是仅最小值的奇函数 B.是既有最大值又有最小值的偶函数 C.是仅有最大值的偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数 [答案] B [解析] cosx.

1 1 1 f′(x)=( sin2x+sinx)′=( sin2x)′+(sinx)′= cos2x· (2x)′+cosx=cos2x+ 2 2 2

1 9 因为 f′(x)=cos2x+cosx=2cos2x+cosx-1=2(cosx+ )2- ,又-1≤cosx≤1,所以函 4 8 数 f′(x)既有最大值又有最小值. 因为 f′(-x)=cos(-2x)+cos(-x)=cos2x+cosx=f(x),所以 f′(x)是偶函数.故选 B. 3.(2014· 全国大纲理,7)曲线 y=xex A.2e C.2 [答案] C [解析] 本题考查了导数的应用和直线方程. 点(1,1)在曲线上, 对 y 求导得 y=ex 1+xex
- -1 -1

在点(1,1)处切线的斜率等于( B.e D.1

)

,所以在点(1,1)处的切线的斜率为 k=2.曲线上某一点的导函数值,就是过该点的切线的

斜率. 二、填空题

x 4.(2014· 三亚市一中月考)曲线 y= 在点(1,1)处的切线为 l,则 l 上的点到圆 x2+y2 2x-1 +4x+3=0 上的点的最近距离是________. [答案] 2 2-1 [解析] y′|x=1=- 1 | = =-1,∴切线方程为 y-1=-(x-1),即 x+y-2=0, ?2x-1?2 x 1

圆心(-2,0)到直线的距离 d=2 2,圆的半径 r=1, ∴所求最近距离为 2 2-1. π 5.曲线 y=sin3x 在点 P( ,0)处的切线方程为____. 3 [答案] 3x+y=π π [解析] y′x=cos3x· (3x)′=cos3x· 3=3cos3x.∴曲线 y=sin3x 在点 P( ,0)处的切线斜 3 π π 率为 3cos(3× )=-3,∴切线方程为 y=-3· (x- ),即 3x+y=π. 3 3 三、解答题 6.求下列函数的导数: (1)y=e3x;(2)y=cos42x-sin42x. [解析] (1)引入中间变量 u=φ(x)=3x,则函数 y=e3x 是由函数 f(u)=eu 与 u=φ(x)=3x 复合而成的. 查导数公式表可得 f′(u)=eu,φ′(x)=3. 根据复合函数求导法则可得 (e3x)′=f′(u)φ′(x)=eu· 3=3e3x. (2)y=cos42x-sin42x=(cos22x+sin22x)(cos22x-sin22x)=cos4x. 引入中间变量 u=φ(x)=4x, 则函数 y=cos4x 是由函数 f(u)=cosu 与 u=φ(x)=4x 复合而 成的. 查导数公式表可得 f′(u)=-sinu,φ′(x)=4. 根据复合函数求导法则可得 (cos42x-sin42x)′=(cos4x)′=f′(u)φ′(x)=-sinu· 4=-4sin4x.

一、选择题 π π 1.若函数 f(x)=3cos(2x+ ),则 f′( )等于( 3 2 A.-3 3 C.-6 3 [答案] B B.3 3 D.6 3 )

π [解析] f′(x)=-6sin(2x+ ), 3 π π π ∴f′( )=-6sin(π+ )=6sin =3 3. 2 3 3 2.函数 y=cos2x+sin x的导数为( cos x A.-2sin2x+ 2 x sin x C.-2sin2x+ 2 x [答案] A [解析] y′x=(cos2x+sin x)′=(cos2x)′+(sin x)′=-sin2x· (2x)′+cos x· ( x)′ ) cos x B.2sin2x+ 2 x cos x D.2sin2x- 2 x

cos x =-2sin2x+ . 2 x 3.y=log3cos2x 的导数是( A.-2log3e· tanx log3e C.-2log3cosx D. 2 cos x [答案] A [解析] y′= = = 1 log e· (cos2x)′ cos2x 3 ) B.2log3e· cotx

1 log e· 2cosx· (cosx)′ cos2x 3 1 log e· 2cosx(-sinx)=-2log3e· tanx. cos2x 3 )

1? 1? 4.已知 f(x)=x2+2f′? x,则 f′? ?-3?· ?-3?=( 2 A. 3 C.0 [答案] A 1? [解析] ∵f(x)=x2+2f′? x, ?-3?· 1? ∴f′(x)=2x+2f′? ?-3?, 1? ? 1? ? 1? ∴f′? ?-3?=2×?-3?+2f′?-3?, 1? ? 1? 2 ? 1? 2 ∴f′? ?-3?=-2×?-3?=3,即 f′?-3?=3. 2 B.- 3

D.无法确定

5.(2014· 山西六校联考)已知函数 f(x)的导函数为 f ′(x),且满足 f(x)=2xf ′(e)+lnx, 则 f ′(e)( )

A.e

-1 -1

B.-1 D.-e

C.-e

[答案] C 1 [解析] ∵f(x)=2xf ′(e)+lnx,∴f ′(x)=2f ′(e)+ , x 1 1 ∴f ′(e)=2f ′(e)+ ,解得 f ′(e)=- ,故选 C. e e 二、填空题 6.f(x)= ax-1,且 f′(1)=1,则 a 的值为________. [答案] 2 [解析] ∵f′(x)= 1 a · (ax-1)′= , 2 ax-1 2 ax-1

a ∴f′(1)= =1. 2 a-1 解得 a=2 b 7.(2014· 江苏,11)在平面直角坐标系 xOy 中,若曲线 y=ax2+ (a,b 为常数)过点 P(2, x -5),且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行,则 a+b 的值是________. [答案] -3 b b [解析] 曲线 y=ax2+ 过点 P(2,-5),则 4a+ =-5 x 2 b b 7 又 y′=2ax- 2,所以 4a- =- x 4 2
? ?a=-1, 由①②解得? 所以 a+b=-3. ?b=-2. ?

① ②

函数在某点处的导数值即为经过改点的切线的斜率. 三、解答题 8.求 f(x)=x2· e2x 的导数. [分析] 先用两个函数相乘的求导法则,再由复合函数求导法则求解. [解析] f′(x)=(x2)′e2x+x2· (e2x)′ =2xe2x+x2· (e2x)· 2 =e2x(2x+2x2)=2x(1+x)e2x. π 5π 9.某港口在一天 24 小时内潮水的高度近似满足关系 s(t)=3sin( t+ )(0≤t≤24),其 12 6 中 s 的单位是 m,t 的单位是 h,求函数在 t=18 时的导数,并解释它的实际意义. π 5 π π [解析] 函数 y=s(t)=3sin( t+ π)是由函数 f(x)=3sinx 和函数 x=φ(t)= t+ π 复合而 12 6 12 6

π 成的其中 x 是中间变量.由导数公式表可得 f′(x)=3cosx,φ′(t)= . 12 π π π 5π 再由复合函数求导法则得 y′t=s′(t)=f′(x)φ′(t)=3cosx· = cos( t+ ). 12 4 12 6 π 7π π 将 t=18 时代入 s′(t),得 s′(18)= cos = (m/h). 4 3 8 π 它表示当 t=18 时,潮水的高度上升的速度为 m/h. 8 10.求下列函数的导数: (1)y=log2(2x2+3x+1);(2)y=ln x2+1; e2x+e 2x sin2x (3)y=ln ;(4)y= x -x . x e +e


1 [解析] (1)方法一:设 y=log2u,u=2x2+3x+1,则 y′x=y′u· u′x= log2e· (4x+3) u = ?4x+3?log2e log2e · (4x+3)= 2 . 2x2+3x+1 2x +3x+1

方法二:y′=[log2(2x2+3x+1)]′ = ?4x+3?log2e log2e (2x2+3x+1)′= 2 . 2x +3x+1 2x +3x+1
2

1 1 1 (2)方法一:设 y=lnu,u= v,v=x2+1,则 y′x=y′u· u′v· v′x= ·v- · 2x u 2 2 = 1 1 1 x ·· 2 · 2x= 2 . 2 x + 1 x +1 x +1
2

方法二:y′=(ln x2+1)′=

1 1 1 1 x ( x2+1)′= 2 ·· 2 · 2x= 2 . 2 x + 1 x +1 x +1 x +1
2

1 方法三:y=ln x2+1= ln(x2+1), 2 1 1 1 x 所以 y′= [ln(x2+1)]′= ·2 · (x2+1)′= 2 . 2 2 x +1 x +1 sin2x? (3)y′=? ?ln x ?′ = = = x ?sin2x? ′ sin2x? x ? x-sin2x x 2cos2x· · sin2x x2 2 1 - . tan2x x
- -

e2x+e 2x ?ex+e x?2-2 (4)y= x -x = - e +e ex+e x 2 2ex - - =ex+e x- x -x=ex+e x- 2x , e +e e +1

2ex - 所以 y′=(ex)′+(e x)′-?e2x+1?′

?

?

2ex?e2x+1?-2ex· 2e2x - =ex-e x- 2x 2 ?e +1? 2ex?1-e2x? - =ex-e x- 2x . ?e +1?2 [点评] 应用指数、对数函数的求导公式,结合导数的四则运算法则及复合函数的求导 法则进行解题.求导过程中,可先适当进行变形化简,当然变形化简时要注意等价性.


相关文档

2014-2015学年高中数学 第2章 简单复合函数的求导法则同步练习 北师大版选修2-2
2015-2016学年高中数学 第2章 5简单复合函数的求导法则课时作业 北师大版选修2-2
【河东教育】2014-2015学年北师大版高中数学选修2-2同步练习:第2章 简单复合函数的求导法则]
【成才之路】学年高中数学 第2章 5简单复合函数的求导法则课时作业 北师大版选修22
【成才之路】高中数学 2.5 简单复合函数的求导法则课件 北师大版选修2-2
2015-2016学年高中数学 第2章 5简单复合函数的求导法则课件 北师大版选修2-2
【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版)选修2-2练习:第2章 4 导数的四则运算法则]
【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版)选修2-2练习:第3章 1 第1课时 导数与函数的单调性]
【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版)选修2-2练习:第3章 1 第2课时 函数的极值]
【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版)选修2-2练习:第1章 4 数学归纳法]
电脑版