高中数学北师大版必修5第3章3《基本不等式》(第2课时 基本不等式与最大(小)值)ppt同步课件_图文

第三章 不等式

第三章
§3 第2课时 基本不等式

基本不等式与最大(小)值

1

课前自主预习

2

课堂典例讲练

4

本节思维导图

3

易混易错点睛

5

课 时 作 业

课前自主预习

下图是 2002 年在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会 标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明 暗使它看上去像一个风车,代表中国人民的热情好客.那么你 a+b 能用这个图来解释一下基本不等式 2 ≥ ab吗?

1.两个常用命题 x、y都为正数时,下面的命题成立. (1) 若 x + y = s( 和为定值 ) ,则当 x = y 时,积 xy 取得最大值
s2 ________ ; 4

(2) 若 xy = p( 积为定值 ) ,则当 x = y 时,和 x + y 取得最小值
2 p ________ .

2.基本不等式的变形公式 a2+b2 (1)ab≤ 2 ; (2)2(a2+b2)≥(a+b)2; a 2 2a (3)(b) ≥ b -1(b≠0); a+b 2 (4)ab≤( 2 ) ; 1 (5)a+a≥2(a∈R+).

a2+b2 a+b 3.不等式 2 ≥ab 和 2 ≥ ab的区别与联系 a2+b2 a+b (1) 2 ≥ab 与 2 ≥ ab成立的条件不同.前者中的 a、
非负实数 . 任意实数 ,后者中的 a、b 只能取___________ b 为___________

a=b 时取到等号,这一点在求 (2)两个不等式都是当且仅当 ____________
最值时经常用到.

1.在下列函数中,当 x 取正数时,最小值为 2 的是( 4 A.y=x+x
2

)

1 B.y=lgx+lgx

1 C.y= x +1+ 2 D.y=x2-2x+3 x +1
[答案] D
[ 解析] x 取正数时, A 选项中 y≥4, B 选项中 y 可为负值,

C 选项中 x2+1>1,则 y>2,只有 D 选项通过配方易得 y≥2.

1 2.若函数 f(x)=x+ (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a= x-2 ( ) A.1+ 2 C.3
[答案] C

B.1+ 3 D.4

[ 解析]

该题考查均值不等式求最值,注意 “一正二定三

相等”属基础题. 1 1 f(x)=x+ (x>2)=x-2+ +2 x-2 x-2 ≥2 1 ?x-2?· +2=4. x-2

1 当且仅当 x-2= x-2 即(x-2)2=1,∵x>2,∴x-2>0, ∴x-2=1,即 a=3.

3 . (2016· 武汉高二检测 ) 已知等比数列 {an} 的各项均为正 a3+a9 1 数,公比 q≠1,设 P=2(log0.5a5+log0.5a7),Q=log0.5 2 ,则 P 与 Q 的大小关系是( A.P≥Q C.P≤Q ) B.P<Q D.P>Q

[答案] D
[ 解析] 1 1 P=2(log0.5a5+log0.5a7)=2log0.5a5a7=log0.5a6,Q=

a3+a9 log0.5 2 <log0.5 a3a9=log0.5a6,所以 P>Q.

3 4.若 x>0,则 3+3x+x 的最小值为________.

[ 答案]
[ 解析]

9
3 ∵x>0,∴3+3x+x≥3+2 3 3x· x

=3+2×3=9. 当且仅当 x=1 时,取等号.

5.设x,y∈R,且x+y=3,则2x+2y的最小值为______.

[ 答案]
[ 解析]
x y

4 2
∵x+y=3,∴y=3-x,
x 3-x

∴2 +2 =2 +2
x

8 =2 +2x≥2
x

8 2· 2x=4 2,
x

8 3 3 x 当且仅当 2 =2x, 即 2 = 2 2, ∴x=2, y=2时, 等号成立. 别解:2x+2y≥2 2x· 2y=2 2x y=2 23=4 3(当且仅当 x=


3 y=2时取等号)

课堂典例讲练

利用基本不等式求最值
x4+3x2+3 求函数 y= 的最小值. 2 x +1

[ 分析]

若把分母视作一个整体,用它来表示分子,原式

即可构造成能利用基本不等式的形式.

[ 解析]

令 t=x2+1,则 t≥1,且 x2=t-1,

x4+3x2+3 ?t-1?2+3?t-1?+3 t2+t+1 1 ∴y= = = =t+ t +1. t t x2 +1 1 ∵t≥1,∴t+ t ≥2 1 t· t =2,

1 当且仅当 t= t ,即 t=1 时等号成立. ∴当 x=0 时,函数取得最小值 3.

[ 方法总结]

把已知函数解析式通过通分、配方、拆项等

操作便可转化成能利用基本不等式的形式.

2x 当 x>0 时,求 f(x)= 2 的值域. x +1
[ 解析] 2x 2 ∵x>0,∴f(x)= 2 = 1. x +1 x+ x

1 1 1 ∵x+x ≥2,∴0< 1≤2. x+ x ∴0<f(x)≤1.当且仅当 x=1 时取“=”号. 2x 所以函数 f(x)= 2 的值域为(0,1]. x +1

利用均值不等式证明不等式

1 已知 a, b 都是正数, 且 a+b=1, 求证: (1+a)(1 1 +b)≥9.
[ 分析] 结合条件 a+b=1,将不等式左边进行适当变形,

然后利用均值不等式进行放缩即可.

[ 证明]

解法 1:∵a>0,b>0,且 a+b=1,

a+b a+b 1 1 ∴(1+a)(1+b)=(1+ a )(1+ b ) b a b a =(2+a)(2+b)=5+2(a+b) ≥5+4 ba a· b=9.

1 b a 当且仅当a=b,即 a=b=2时取“=”. 1 1 ∴(1+a)(1+b)≥9.

1 1 1 1 1 解法 2:(1+a)(1+b)=1+b+a+ab a+b 1 =1+ ab +ab 1 1 2 ∵a+b=1,∴(1+a)(1+b)=1+ab a+b 2 1 又∵a>0,b>0,∴ab≤( 2 ) =4, 1 1 ∴ab≥4,当且仅当 a=b=2时取“=”, 1 1 ∴(1+a)(1+b)≥1+2×4=9.

[方法总结]

(1)利用均值不等式证明不等式,关键是所证

不等式中必须有“和”式或“积”式,通过将“和”式转化为 “积”式或将“积”式转化为“和”式,从而达到放缩的效 果. (2)注意多次运用均值不等式时等号能否取到.

b+c-a c+a-b a+b-c 已知 a、b、c 为正数,求证: a + b + c ≥3.

[ 证明]

b c c a a b b a c 左边=a+a-1+b+b-1+ c + c -1=(a+b)+(a

a c b +c )+(b+c )-3. ∵a,b,c 为正数, b a ∴a+b≥2(当且仅当 a=b 时取“=”号);

c a a+c ≥2(当且仅当 a=c 时取“=”号); c b b+c ≥2(当且仅当 b=c 时取“=”号). b a c a c b 从而(a+b)+(a+c )+(b+c )≥6(当且仅当 a=b=c 时取等 号). b a c a c b ∴(a+b)+(a+c )+(b+c )-3≥3. b+c-a c+a-b a+b-c 即 a + b + c ≥3.

不等式的证明技巧—字母轮换不等式的证法
已知 a、b、c 是正实数 bc ac ab 求证: a + b + c ≥a+b+c.

[ 分析]

由可要证的不等式两边是三项,而均值不等式只

有两项,故可尝试多次使用均值不等式.

[ 证明]

∵a、b、c 是正实数, bc ac bc ac 即 a=b 时, 取 a· b =2c(当且仅当 a = b ,

bc ac ∴ a + b ≥2 等号); ac ab b + c ≥2 等号); ab bc c + a ≥2 等号).

ac ab ac ab b· c =2a(当且仅当 b = c ,即 b=c 时,取

ab bc bc ab c· a =2b(当且仅当 a = c ,即 a=c 时,取

上面三个不等式相加得 bc ac ab 2· 取等 a +2· b +2· c ≥2a+2b+2c(当且仅当 a=b=c 时, 号). bc ac ab ∴ a + b + c ≥a+b+c.
[ 方法总结] 1.使用均值不等式时, 一定要注意是否满足条 件,等号能否成立. 2. 对于证明多项和的不等式时, 可以考虑分段应用均值不 等式或其变形,然后整体相加(乘)得结论.

已知 a 、 b 、 c 为两两不相等的实数,求证: a2 + b2 + c2>ab +bc+ca. [证明] ∵a2+b2>2ab,b2+c2>2bc,c2+a2>2ca,

以上三式相加得:2(a2+b2+c2)>2ab+2bc+2ca,
∴a2+b2+c2>ab+bc+ca.

利用基本不等式求参数的范围
若正数 a , b 满足 ab = a + b + 3 ,求 ab 的取值范 围.
[ 分析] 由 ab=a+b+3 出发,求 ab 的范围,关键是寻找

ab 与 a+b 之间的联系,由此想到基本不等式 a+b≥2 ab.

[ 解析]

令 ab=t(t>0).

∵a,b 均为正数, ∴ab=a+b+3≥2 ab+3, 即得 t2≥2t+3, 解得 t≥3 或 t≤-1(舍去), ∴ ab≥3, 故 ab≥9,∴ab 的取值范围是[9,+∞).
[ 方法总结 ] 均值不等式是联系相乘与相加的基本不等

式,解题时,应灵活运用.

1 1 m 设 a>b>c 且 + ≥ 恒成立,求 m 的取值范围. a-b b-c a-c [ 解析] 由 a>b>c,知 a-b>0,a-c>0,b-c>0.
a-c a-c 因此,原不等式等价于 + ≥m, a-b b-c a-c a-c ?a-b?+?b-c? ?a-b?+?b-c? b-c + = + =2 + + a-b b-c a-b b-c a-b a-b ≥2+2 b-c b-c a-b · =4. a-b b-c

b-c a-b 当且仅当 = ,即当 2b=a+c 或 a=c(舍去)时,等 a-b b-c 号成立,∴m≤4.

实际应用问题
如右图,动物园要围成相同 面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有 的墙,其他各面用钢筋网围成. (1)现有可围 36 m 长的材料, 每间虎笼 的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大? (2)若使每间虎笼面积为 24 m2,则每间虎笼的长、宽各设 计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小?

[分析]

设每间虎笼长x m,宽y m,则问题(1)是在4x+6y

=36的前提下求xy的最大值;而问题(2)则是在xy=24的前提下
求4x+6y的最小值.因此,使用均值定理解决.
[ 解析] 设每间虎笼长 x m,宽 y m,则由条件知:4x+6y =36,即 2x+3y=18. 设每间虎笼面积为 S,则 S=xy. 解法一:由于 2x+3y≥2 2x· 3y=2 6xy, 27 ∴2 6xy≤18,得 xy≤ 2 , 27 即 S≤ 2 ,当且仅当 2x=3y 时,等号成立.

? ?2x+3y=18 由? ? ?2x=3y ? ?x=4.5 解得? ? ?y=3



故每间虎笼长为 4.5 m,宽为 3 m 时,可使面积最大.

3 解法二:由 2x+3y=18,得 x=9-2y. 3 ∵x>0,∴9-2y>0,∴0<y<6,
? 3 ? 3 S=xy=?9-2y?y=2(6-y)· y. ? ?

∵0<y<6,∴6-y>0,
? 3? ??6-y?+y?2 27 ∴S≤2· ? ? =2. 2 ? ?

当且仅当 6-y=y,即 y=3 时,等号成立,此时 x=4.5. 故每间虎笼长 4.5 m,宽 3 m 时,可使面积最大.

(2)由条件知 S=xy=24. 设钢筋网总长为 l,则 l=4x+6y. 解法一:∵2x+3y≥2 2x· 3y=2 6xy=24, ∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48, 当且仅当 2x=3y 时,等号成立.
? ?2x=3y, 由? ? ?xy=24, ? ?x=6, 解得? ? ?y=4.

故每间虎笼长 6 m,宽 4 m 时,可使钢筋网总长最小.

24 解法二:由 xy=24 得 x= y .
?16 ? 96 ∴l=4x+6y= y +6y=6? y +y?≥6×2 ? ?

16 y=48.当且仅 y·

16 当 y =y,即 y=4 时,等号成立,此时 x=6. 故每间虎笼长 6 m,宽 4 m 时,可使钢筋网总长最小.

某种汽车,购车费用是10万元,每年使用的保险费、汽油
费约为0.9万元,年维修费第一年是 0.2万元,以后逐年递增 0.2 万元,问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少?

[ 分析]

年平均费用等于总费用除以年数,总费用包括:

购车费、保险费、汽油费以及维修费用总和,因此应先计算总 费用,再计算年平均费用.

[ 解析]

设使用 x 年平均费用最少.

由条件知:汽车每年维修费构成以 0.2 万元为首项,0.2 万 元为公差的等差数列. 因此,汽车使用 x 年总的维修费用为 ?0.2+0.2x?· x 万元. 2

设汽车的年平均费用为 y 万元,则有 ?0.2+0.2x?· x 10+0.9x+ 10+x+0.1x2 2 y= = x x 10 x =1+ x +10≥1+2 10 x x· 10=3.

10 x 当且仅当 x =10,即 x=10 时,y 取最小值. 答:汽车使用 10 年平均费用最少.

易混易错点睛

4 已知 0<x<1,求函数 f(x)=3+lgx+lgx的最值.
[ 误解] 4 f(x)=3+lgx+lgx≥3+2 4 lgx· lgx

=3+2×2=7,∴f(x)min=7.

[ 辨析]

4 ∵0<x<1,∴lgx<0,lgx<0,不满足“各项必须全

为正数”这一前提条件,不能直接应用基本不等式.

[ 正解]

4 ∵0<x<1,∴lgx<0,lgx<0,

4 4 ∴-lgx>0,-lgx>0,∴(-lgx)+(-lgx) ≥2 4 ?-lgx?· ?-lgx?=4,

4 当且仅当-lgx= , -lgx 1 即 lgx=-2,x=100时,取等号.

4 ∴lgx+lgx≤-4. 4 ∴f(x)=3+lgx+lgx≤3+(-4)=-1. ∴f(x)有最大值-1.

本节思维导图

?利用基本不等式求最值 ? 基本不等式的应用?利用基本不等式证明不等式 ?解决实际应用问题 ?


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