【成才之路】2016-2017学年高中数学人教版选修2-1习题 第3章 空间向量与立体几何 3.1.4 Word版含答案

第三章 3.1 3.1.4 一、选择题 1.对于向量 a、b、c 和实数 λ,下列命题中真命题是 导学号 33780753 ( A.若 a· b=0,则 a=0 或 b=0 B.若 λa=0,则 λ=0 或 a=0 C.若 a2=b2,则 a=b 或 a=-b D.若 a· b=a· c,则 b=c [答案] B [解析] a· b=0?a⊥b,|a|2=|b|2?(a+b)· (a-b)=0?(a+b)⊥(a-b); a· b=a· c?a⊥(b-c);故 A、C、D 均错. → → → → 2. 长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 若AB=3i, AD=2j, AA1=5k, 则AC1= 导学号 33780754 ( ) A.i+j+k C.3i+2j+5k [答案] C → → → → → → → [解析] AC1=AB+BC+CC1=AB+AD+AA1=3i+2j+5k. 3.给出下列命题: ①若{a,b,c}可以作为空间的一个基底,d 与 c 共线,d≠0,则{a,b,d}也可作为空间 的基底;②已知向量 a∥b,则 a、b 与任何向量都不能构成空间的一个基底;③A、B、M、N → → → 是空间四点,若BA、BM、BN不能构成空间的一个基底,那么 A、B、M、N 共面;④已知向 量组{a,b,c}是空间的一个基底,若 m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一个基底.其中正 确命题的个数是 导学号 33780755 ( A.1 C .3 [答案] D [解析] 根据基底的概念,空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底,否则 → → → 就不能构成空间的一个基底.显然②正确,③中由BA、BM、BN共面且过相同点 B,故 A、B、 M、N 共面. 下面证明①④正确. ) B .2 D.4 1 1 1 B. i+ j+ k 3 2 5 D.3i+2j-5k ) ①假设 d 与 a、b 共面,则存在实数 λ,μ,使 d=λa+μb,∵d 与 c 共线,c≠0,∴存在 实数 k,使 d=kc, λ μ ∵d≠0,∴k≠0,从而 c= a+ b, k k ∴c 与 a、b 共面与条件矛盾.∴d 与 a,b 不共面. 同理可证④也是正确的. 4.已知 a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|= 19,则向量 a 与 b 之间的夹角〈a,b〉为 导学号 33780756 ( A.30° C.60° [答案] C [解析] 由题意 a+b=-c,两边平方得, |c|2=|a|2+|b|2+2|a||b|cos〈a,b〉 , 即 19=4+9+2×2×3cos〈a,b〉 , 1 所以 cos〈a,b〉= ,所以〈a,b〉=60° . 2 5.在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 M、N 分别是 A1B、B1C1 上的点,且 BM=2A1M,C1N= → → → → 2B1N.设AB=a,AC=b,AA1=c,用 a、b、c 表示向量MN为 导学号 33780757 ( ) ) B.45° D.以上都不对 1 1 A. a+ b-c 3 3 1 1 1 C. a- b+ c 3 3 3 [答案] D 1 1 B.a+ b+ c 3 3 1 1 1 D. a+ b+ c 3 3 3 1 1 1 1 → → → → 1→ → 1 → 1 [解析] MN=MA1+A1B1+B1N= BA1+AB+ B1C1= (c-a)+a+ (b-a)= a+ b+ c. 3 3 3 3 3 3 3 6.若 a=e1+e2+e3,b=e1-e2-e3,c=e1+e2,d=e1+2e2+3e3({e1,e2,e3}为空间的一 个基底)且 d=xa+yb+zc,则 x,y,z 分别为 导学号 33780758 ( 5 1 A. ,- ,-1 2 2 5 1 C.- , ,1 2 2 [答案] A 5 1 B. , ,1 2 2 5 1 D. ,- ,1 2 2 ) [解析] d=xa+yb+zc =x(e1+e2+e3)+y(e1-e2-e2)+z(e1+e2) =(x+y+z)e1+(x-y+z)e2+(x-y)e3 ?x+y+z=1 =e1+2e2+3e3∴?x-y+z=2 ? ? ?x-y=3 x= ? ? 2 1 ?? y=- 2 ? ?z=-1 5 二、填空题 7.若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数 x、y、z 使得 xa+yb+zc=0,则 x、y、z 满足的条件是________. 导学号 33780759 [答案] x=y=z=0 y z [解析] 若 x≠0,则 a=- b- c,即 a 与 b,c 共面. x x 由{a,b,c}是空间向量的一个基底知 a、b、c 不共面,故 x=0,同理 y=z=0. 8.设命题 p:{a,b,c}为空间的一个基底,命题 q:a、b、c 是三个非零向量,则命题 p 是 q 的________条件. 导学号 33780760 [答案] 充分不必要 [解析] {a,b,c}为空间的一个基底,则 a、b、c 一定不共面,则它们三者中无零向量, 反之,若 a、b、c 是三个非零向量,它们可能共面,此时{a,b,c}不可能成为空间的一个基 底. 三、解答题 9.如图,已知正方体 ABCD-A′B′C′D′,点 E 是上底面 A′B′C′D′的中心,取 → → → 向量AB、AD、AA′为基底的基向量,在下列条件下,分别求 x、y、z 的值. 导学号 33780761 → → → → (1)BD′=xAD+yAB+zAA′; → → → → (2)AE=xAD+yAB+zAA′. → → → → → → [解析] (1)∵BD′=BD+DD′=BA+AD+DD′ → → → → → → → =-AB+AD+AA′,又BD′=xAD+yAB+zAA′, ∴x=1,y=-1,z=1. 1 → → → → → (2)∵AE=AA′+A′

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