浙江省杭州十四中2013-2014学年高一上学期期末数学试卷(康桥)

杭十四中二〇一三学年第一学期期末考试 高一年级数学学科试卷
注意事项: 1.考试时间:2014 年 1 月 20 日 8 时至 9 时 30 分; 2.答题前,务必先在答题卡上正确填涂班级、姓名、准考证号; 3.将答案答在答题卡上,在试卷上答题无效.请按题号在各题的答题区域(黑色线框)内作 答,超出答题区域书写的答案无效; 4.本卷满分 120 分.其中本卷 100 分,附加题 20 分,共 4 页; 5.本试卷不得使用计算器。

一、选择题:共 10 小题,每小题 3 分,计 30 分。 1.若角 600 ? 的终边上有一点 ?? 4, a ? ,则 a 的值是( A. ? 4 3 B. ? 4 3 C. 3
)

). D. 4 3

2.函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? 3 的定义域是( A. [?1,3) B. [?1,3]

C. (?1,3)

D. (??,?1] ? [3,??) )

?? ? ?? ? ? ? 3.设 a0 , b0 分别是与 a, b 同向的单位向量,则下列结论中正确的是(
?? ? ?? ? A. a0 ? b0 ?? ? ?? ? B. a0 ? b0 ? 1 ?? ? ?? ? C. | a0 | ? | b0 |? 2

?? ? ?? ? D. | a0 ? b0 |? 2

1 x( ) x 4.函数 y ? 2 的图象的大致形状是 x





? 个单位长度,再将图像上所有的点的 3 横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,则所得图像的函数解析式为( ) x ? x ? ? A. y ? sin( ? ) B. y ? sin( ? ) C. y ? sin(2 x ? ) 2 3 2 6 3 ? D. y ? sin(2 x ? ) 3
5.将函数 y=sinx 的图像上所有的点向左平移
?? ?? ? ?? ?? ? 6.已知 e1 , e2 为不共线的非零向量,且| e1 |=| e2 |,则以下四个向量中模最小者为(


? 1 ?? 1 ?? A. e1 ? e2 2 2

? 2 ?? 1 ?? B. e1 ? e2 3 3

? 2 ?? 3 ?? C. e1 ? e2 5 5

? 1 ?? 3 ?? D. e1 ? e2 4 4

7. 函数 f ( x) ? a x ? log a x在[1, 2] 上的最大值和最小值之差为 a 2 ? a ? 1 ,则 a 值为 (



1 1 B. 2 或 4 C. 或4 D. 2 2 2 ? f (4 ? x)( x ? ?2) 8. 函数 f ( x) ? ? ? x 在[2, +∞) 上为增函数, 且 f (0) ? 0 , 则 f ( x) 的最小值为 ( ( x ? ?2) ?2

A.2 或



A. f (2)

B. f (0)

C. f (?2)

D. f (4)

9.已知 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ), (? ? 0,| ? |? 则 f (0) 等于( A.﹣2 10. 已知函数 f ( x) ? 2 ? ) B.﹣1

?
2

) 在 [0,

4? ? 4? ] 上单调,且 f ( ) ? 0 , f ( ) ? 2 , 3 3 3

C. ?

3 2

D. ?

1 2

1 若存在实数 a, b(a ? b) , 使 y ? f ( x) 的定义域为 (a, b) 时, ( x ? 0) , x

值域为 (ma, mb) ,则实数 m 的取值范围是( A. (??,1) B. (0,1)

) D. (?1,1)

1 C. (0, ) 4 二、填空题:共 7 小题,每小题 4 分,计 28 分。

11.函数 f ( x) ? ? x ? 2 ? 1, x ? [?1, 4] 的值域是



? ?x ( x ? 0) ?sin 12.若 f ( x) ? ? ,则 f [ f (3)] = . 6 ? ? 1 ? 2 x( x ? 0) 3sin x ? 2cos x 13.已知 tan x ? 2 ,则 的值为 。 cos x ? 3sin x 2 4 14.已知 a 3 ? (a>0) ,则 log 2 a = . 9 3 ? ? 15.已知向量 a ? (6, 2) 与 b ? (?3, k ) 的夹角是钝角,则 k 的取值范围是

. .

16.若不等式 3x 2 ? log a x ? 0 在 x ? (0, ) 内恒成立,则 a 的取值范围是 17.下列说法正确的序号为 (把你认为正确的都写出来) 1 1 ①y= sin2x 的周期为 ? ,最大值为 2 2 ②若 x 是第一象限的角,则 y ? sin x 是增函数 ③在 ?ABC 中若 sin A ? sin B 则 A ? B ? ? ?? ④ ? .? ? ? 0, ? 且 cos? ? sin ? 则 ? ? ? ? 2 ? 2? 三、解答题:共 4 小题,计 42 分。 18.已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的一段图像如图所示 (1)求此函数的解析式;

1 3

(2)求此函数在(-2π,2π)上的递增区间.

19.如右图,扇形 AOB 的弧的中点为 M,动点 C、D 分别在 OA、OB 上,且 OC=BD, OA=1,∠AOB=120. ??? ? ??? ? ???? ? (1)若点 D 是线段 OB 靠近点 O 的四分之一分点,用 OA 、 OB 表示向量 MC ;
???? ? ???? ? (2)求 MC ? MD 的取值范围。

20.已知函数 f(x)= log 1 [(a ? 1) x ? 2] .
a

(1)若 a>1,求 f(x)的定义域; 5 (2)若 f(x)>0 在[1, ]上恒成立,求实数 a 的取值范围. 4

x 2 ? (4a ? 1) x ? 8a ? 4, x ? 1. 21.设函数 f ( x ) ? ? ? ? loga x , ? x ? 1.

?

(1)当 a ? 时,求函数 f ( x ) 的值域; (2)若函数 f ( x ) 是(- ? ,+ ? )上的减函数,求实数 a 的取值范围.

1 2

四、附加题:本题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分.
?4 x ? 4, x ? 1, g ( x) ? log 2 x ,则方程 f ( x) = g ( x) 的解的个数 24. (1)已知函数 f ( x) ? ? ?0, x ? 1,

为(

) A.1 )

B.2 C.3 D.4 ? ? ? ? ? ? ? ? (2)已知 a , b 满足: | a |? 1 , | b |? 2 , | a ? b |? 3 ,则 | a ? b |? ( A.1 B. 3
? 3? 6

C. 2
3

D. 7

π? 2 π 2 π 25.已知函数 f ( x) ? cos ? ? 2 x ? ? ? sin ( ? x) ? sin ( ? x)

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期及图象的对称轴方程; (2)设函数 g ( x) ? [ f ( x)]2 ? f ( x), x ?[ 5? , 11? ] ,求 g ( x ) 的值域.
12 12

杭十四中二〇一三学年第一学期期末考试 高一年级数学学科试卷 一、选择题:共 10 小题,每小题 3 分,计 30 分。 1.A 2.B 3.C 4.D 5.A 6.A 7.A 8.A 9.B 10.B 二、填空题:共 7 小题,每小题 4 分,计 28 分。 1 ? 8 1 11. [-2,1] 12. 2 13. ? 14. 3 15. k<0 且 k≠-1 16. [ ,1) 5 27 17. 1,3,4 三、解答题:共 4 小题,计 42 分。 18.已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的一段图像如图所示 (1)求此函数的解析式; (2)求此函数在(-2π,2π)上的递增区间. ? 3? 解: (1) y ? 2 3 sin( x ? ) 5分 8 4 ? ? 3? ? (2)由 2k? ? ? x ? ? 2k? ? (k ? Z ) 得 2 8 4 2 16k ? 2 ? x ? 16k ? 10(k ? Z ) ?π 3π? ∴函数 y=2 3sin?8x- 4 ?的递增区间是[16k+2,16k+10](k∈Z). ? ? 当 k=-1 时,有[-14,-6],当 k=0 时,有[2,10]与定义区间求交集得此 函数在(-2π,2π)上的递增区间为(-2π,-6],[2,2π). 5 分 19.如右图,扇形 AOB 的弧的中点为 M,动点 C、D 分别在 OA、OB 上,且 OC=BD, OA=1,∠AOB=120. ??? ? ??? ? ???? ? (I)若点 D 是线段 OB 靠近点 O 的四分之一分点,用 OA 、 OB 表示向量 MC ;

???? ? ???? ? (II)求 MC ? MD 的取值范围。 ???? ? ? ??? ? 1 ??? 解: (I) MC = ? OA - OB 4分 4 ? ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ???? OC (II)设 ? k ,则 MC ? (k ? 1)OA ? OB , MD ? ?OA ? kOB OA ???? ? ???? ? 1 1 3 1 MC ? MD = [(k ? )2 ? ] 由 k ? [0, ] 2 2 4 2 3 1 得取值范围是 [ , ] 。 6分 8 2 20.已知函数 f(x)= log 1 [(a ? 1) x ? 2] .
a

(1)若 a>1,求 f(x)的定义域; 5 (2)若 f(x)>0 在[1, ]上恒成立,求实数 a 的取值范围. 4 2 (1)解:由 a>1,a﹣1>0,解(a﹣1)x﹣2>0 得 x ? a ?1 2 ∴f(x)的定义域是 ( 5分 ,??) ; a ?1 1 5 (2)解:①若 a>1,则 0 ? ? 1 ,即在[1, ]上恒有 0<(a﹣1)x﹣2<1 a 4 ? (a ? 1) ? 2 ? 0 17 ? ∵a﹣1>0,∴(a﹣1)x﹣2 为单调增函数,只要 ? ,∴ 3 ? a ? 5 (a ? 1) ? ? 2 ? 1 5 ? 4 ? 5 1 ②若 0<a<1,则 ? 1 ,即在[1, ]上恒有(a﹣1)x﹣2>1 4 a 5 17 ∵a﹣1<0,∴(a﹣1)x﹣2 为单调减函数,只要(a﹣1)× ﹣2>1,∴ a ? 4 5 17 ∵0<a<1,∴a∈? 综上,a 的取值范围为 (3, ) 6分 5
x 2 ? (4a ? 1) x ? 8a ? 4, x ? 1. 21.设函数 f ( x ) ? ? ? ? loga x , ? x ? 1. ?

(1)当 a ? 时,求函数 f ( x ) 的值域; (2)若函数 f ( x ) 是(- ? ,+ ? )上的减函数,求实数 a 的取值范围.
? 2 1 ? x ? 3 x , x ? 1. 解: (Ⅰ) a ? 时, f ( x) ? ? 2 ?log 1 x, x ? 1. ? 2

1 2

当 x ? 1 时 , f ( x) ? x 2 ? 3x 是 减 函 数 , 所 以 f ( x) ? f (1) ? ?2 , 即 x ? 1 时 , f ( x) 的 值 域 是
(?2,??)

当 x ? 1 时 , f ( x ) ? log 1 x 是 减函 数 , 所以 f ( x) ? f (1) ? 0 , 即 x ? 1 时 , f ( x) 的 值 域 是
2

(??,0]

于是函数 f ( x) 的值域是 (??,0] ? (?2,??) ? R

5分

(Ⅱ) 若函数 f ( x) 是(- ? ,+ ? )上的减函数,则下列①②③三个条件同时成立: ①当 x ? 1, f ( x) ? x 2 ? (4a ? 1) x ? 8a ? 4 是减函数, 于是 ② x ? 1时, f ( x ) ? log 1 x 是减函数,则 0 ? a ? 1.
2

4a ? 1 1 ? 1, 则 a ? . 4 2

1 ③ 12 ? (4a ? 1) ? 1 ? 8a ? 4 ? 0 ,则 a ? . 3 1 1 于是实数 a 的取值范围是 [ , ] 4 3

6分

四、附加题:本题两个大题,每小题 10 分,共 20 分。

?lg( x ? 1), x ? 0 ? ? 22 . ( 1 ) 函数 f ( x ) ? ? 图象上关于坐标原点 O 对称的 点有 n 对 ,n c o s x, x ? 0 ? 2 ?
=( D ) A. 3 B.4 C.5 D.无数对 5分 ??? ? ??? ? ???? ???? (2) 已知△ABC 为等边三角形, AB=2 ,设点 P,Q 满足 AP=? AB , AQ =(1 ? ? ) AC , ? ? R ,
??? ? ??? ? 3 1 若 BQ ? CP= ? ,则 ? = . 2 2 ? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ??? 解:∵ BQ = AQ ? AB = (1 ? ? ) AC ? AB , CP = AP ? AC = ? AB ? AC ,
??? ? ???? ??? ? ??? ? 3 又 ∵ BQ ? CP= ? , 且 | AB|=| AC|=2 , 2 ??? ? ???? ??? ? ???? AB ? AC =| AB?|| AC|cos 600 =2 ,
??? ? ???? < AB, AC >=600 ,

B

P C Q A

???? ??? ? ??? ? ???? 3 ∴ [(1 ? ? ) AC ? AB](? AB ? AC )= ? , 2 ??? ?2 ??? ? ???? ???? 3 ?| AB| +(? 2 ? ? ? 1) AB ? AC +(1 ? ? )| AC|2 = , 2 3 1 所以 4? +2(? 2 ? ? ? 1)+4(1 ? ? )= ,解得 ? = . 2 2

5分

23 .已知集合 M 是满足下列性质的函数 f ( x) 的全体:在定义域 D 内存在 x0 ,使得
f ( x0 ? 1) ? f ( x0 ) ? f (1) 成立.

(1)函数 f ( x) ?

1 是否属于集合 M ?说明理由; x

(2)若函数 f ( x) ? kx ? b 属于集合 M ,试求实数 k 和 b 满足的约束条件;
a 属于集合 M ,求实数 a 的取值范围. x ?1 1 解: (1)根据题意得到 D=(﹣∞,0)∪(0,+∞),若 f ( x) ? ? M , x

(3)设函数 f ( x) ? lg

2

则存在非零实数 x0,使得

1 1 ? ? 1, 即 x02+x0+1=0, x0 ? 1 x0

1 ? M .…(3 分) x (2)D=R,由 f(x)=kx+b∈M,存在实数 x0,使得 k(x0+1)+b=kx0+b+k+b,解得 b=0, 所以,实数 k 和 b 的取得范围是 k∈R,b=0.…(3 分)

因为此方程无实数解,所以函数 f ( x) ?

(3)由题意,a>0,D=R.由 f ( x) ? lg 使得 lg
a a a ? lg 2 ? lg 2 ( x0 ? 1) ? 1 x0 ? 1 2

a ? M ,存在实数 x0, x ?1
2

a a2 ? 所以, , 2 ( x0 ? 1) 2 ? 1 2( x0 ? 1)

化简得(a2﹣2a)x02+2a2x0+2a2﹣2a=0, 1 当 a=2 时, x0 ? ? ,符合题意. 2 当 a>0 且 a≠2 时,由△≥0 得 4a4﹣8(a2﹣2a) (a2﹣a)≥0, 化简得 a2﹣6a+4≤0, 解得 a ? [3 ? 5, 2) ? (2,3 ? 5] . 综上,实数 a 的取值范围是 [3 ? 5,3 ? 5] .…(4 分)
24. (1)B. (2)D.
π? ? 25.解: (1)由已知, f ( x) ? cos ? 2 x ? ? ? 1 ,…………………………………………..( 1 分 ) 3? ?

则 f ( x ) 的最小正周期 T ?

2?

?

?

2? ? ? ;……………………………………….………..( 2 分 ) 2

令 2x ?

π π k ? k? (k ? Z ) ,得对称轴方程为 x ? ? ? (k ? Z ) ………………………………( 4 分 ) 3 6 2
5? 11? π ? 3? , ] ,可得 2 x ? ? [ , ] ,由余弦函数图象,可知 12 12 3 2 2

(2)设 t ? f ( x), y ? g ( x) ? t2 ? t ,由 x ? [

π? ? cos ? 2 x ? ? ? [?1, 0] ,则 t ?[0,1] .…………………………………………………. (7 分 ) 3? ?

因此,要求 g ( x) 在 [

5? 11? 1 1 , ] 上的值域,即求 y ? t 2 ? t 在 [0,1] 上的值域,当 t ? 时, ymin ? ? ,当 12 12 2 4

1 t ? 0或1 时, ymax ? 0 ,因此 g ( x ) 的值域为 [- ,0] .……………………………………(10 分) 4


相关文档

2013-2014学年浙江省杭州十四中高一下学期期中数学试卷(带解析)
浙江省杭州十四中2013-2014学年高二上学期期末数学(文)试卷(康桥) Word版含答案
浙江省杭州十四中2012-2013学年高一上学期期中数学试题
【数学】浙江省杭州市十四中2013-2014学年高二上学期期末考试(理)(康桥)
【数学】浙江省杭州市十四中2013-2014学年高二上学期期末考试(文)(康桥)
浙江省杭州十四中2013-2014学年高二上学期期末化学试卷(康桥) Word版含答案
浙江省杭州十四中2013-2014学年高二上学期期末数学(理)试卷(康桥) Word版含答案
浙江省杭州十四中2013-2014学年高一语文下学期期中试卷苏教版
浙江省杭州十四中2013-2014学年高一下学期期中数学试卷 Word版含答案
电脑版