最新选修4-4坐标系与参数方程_知识点总结汇编

坐标系与参数方程 知识点 (一)坐标系 1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P( x, y ) 是平面直角坐标系中的任意一点 ,在变换 ? : ? ? x? ? ? ?x ? y? ? ? ?y (? ? 0) 的作用下,点 P( x, y ) (? ? 0) 对应到点 P?( x?, y?) ,称 ? 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点 O ,叫做极点,自极点 O 引一条射线 Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单 位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平 面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系 ,而极坐标系则不可 .但极坐标系和平面直角坐标 系都是平面坐标系. (2)极坐标 设 M 是平面内一点,极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ? ;以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为 终边的角 ?xOM 叫做点 M 的极角,记为 ? .有序数对 ( ? ,? ) 叫做点 M 的极坐标,记作 M ( ? , ? ) . 一般地,不作特殊说明时,我们认为 ? ? 0, ? 可取任意实数. 特别地,当点 M 在极点时,它的极坐标为(0, ? )( ? ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有 无数种表示. 如果规定 ? ? 0, 0 ? ? ? 2? ,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标 ( ? ,? ) 表示;同时,极坐标 ( ? ,? ) 表示的点也是唯一确定的. 3.极坐标和直角坐标的互化 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度 单位,如图所示: (2)互化公式:设 M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是 ( x, y ) ,极坐 标是 ( ? ,? ) ( ? ? 0 ),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点M 直角坐标 ( x, y ) 极坐标 ( ? ,? ) 互化公式 ? x ? ? cos ? ? ? y ? ? sin ? ?? 2 ? x2 ? y 2 ? ? y ? tan ? ? ( x ? 0) x ? 在一般情况下,由 tan ? 确定角时,可根据点 M 所在的象限最小正角. 4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为 r 的圆 ? ? r (0 ? ? ? 2? ) 圆心为 ( r , 0) ,半径为 r 的圆 ? ? 2r cos ? (? ? 2 ?? ? ? 2 ) 圆心为 (r , ? 2 ) ,半径为 r 的圆 ? ? 2r sin ? (0 ? ? ? ? ) 圆心为 (r , ? 2 ) ,半径为 r 的圆 ? ? 2r sin ? (0 ? ? ? ? ) (1) ? ? ? ( ? ? R)或? ? ? ? ? ( ? ? R) 过极点,倾斜角为 ? 的直线 (2) ? ? ? ( ? ? 0)和? ? ? ? ? ( ? ? 0) 过点 ( a, 0) ,与极轴垂直的直线 ? cos ? ? a (? ? 2 ?? ? ? 2 ) 过点 ( a, 线 ? 2 ) , 与极轴平行的直 ? sin ? ? a(0 ? ? ? ? ) 注 : 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一 , 即 ( ? ,? ),( ? , 2? ? ? ),(? ? , ? ? ? ),(? ? , ?? ? ? ), 都表 示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只 要 求 至 少 有 一 个 能 满 足极 坐 标 方 程 即 可 . 例 如对 于 极 坐 标 方 程 ? ??, 点 M ( ? ? ? ? ?5 ? ? ? , ? 2 ? 或 ) ( , ? ?2 或 )(, )等多种形式,其中,只有 ( , ) 的极坐标满足方程 ? ? ? . 4 4 4 4 4 4 4 4 5.圆与直线一般极坐标方程 ( (1)圆的极坐标方程 ? ? , ) 可以表示为 4 4 若圆的圆心为 M ( ?0 ,?0 ) ,半径为 r,求圆的极坐标方程。 设 P( ? ,? ) 为圆上任意一点,由余弦定理,得 PM2 = OM2 +OP2 ?2OM· OPcos∠POM, 则圆的极坐标方程是: 2 r 2 ? ? 2 ? ?0 ? 2?0 ?cos ?? ??0 ? (2)直线的极坐标方程 O ρ θ0 P M ρ0 θ x 若直线 l 经过点 M ( ?0 ,?0 ) ,且极轴到此直线的角为 α ,求直线 l 的极坐标方程。 设直线 l 上任意一点的坐标为 P(ρ,θ),由正弦定理,得: OP OM = sin∠OMP sin∠OPM 整理得直线 l 的极坐标方程为 ρ l P(ρ,θ) ρ0 θ0 O θ M(ρ0,θ0) α x ?sin ?? ? ? ? ? ?0sin ??0 ? ? ? ⑴? ? a ⑷ ? ? 2a sin ? ⑵ ? ? 2a cos? ⑸ ? ? ?2a sin ? ⑶ ? ? ?2a cos? ⑹ ? ? 2a cos(? ? ? ) 6、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为 (a ? 0) : a ? ? M ? M ? x M x ? ? a O x O O a 图1 ? ? a M a ? 图2 ? ? 2 a cos ? ? 图3 ? ? ?2a cos? O x M ? ? M x a ? a ? (a,? ) O 图4 ? ? 2a sin ? 图5 ? ? ?2asin? O

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