2019-2020学年高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式教案新人教A版必修4.doc

2019-2020 学年高中数学第三章三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦余 弦正切公式教案新人教 A 版必修 4
1.知识与技能 (1)能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式,并灵活运用. (2)能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式. (3)掌握两角和与差的正切公式及变形应用. 2.过程与方法 经历以两角差的余弦公式为基础导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式的过程,了解它们的 内在联系;体会化归与转化的数学思想方法. 3.情感、态度与价值观 通过本节的学习和运用实践,使学生学会用联系转化的观点去处理问题,加强学生的应用意识, 激发学生的学习兴趣,体会数学的科学价值与应用价值. 重点:两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用. 难点:两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 和角与差角的正弦、余弦和正切公式的推导 以公式 C(α -β )为基础推导的其他公式 (1)推导 cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β . 在公式 C(α -β )中,令-β 代替 β ,则有 cos(α +β )= cos α cos(-β )+sin α sin(-β )=cos α cos β -sin α sin β . 即 cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β .(C(α +β )) (2)推导 sin(α +β )=sin α cos β +cos α sin β 和 sin(α -β )=sin α cos β -cos α sin β .

运用 C(α +β )和诱导公式,有 sin(α +β )=cos

=cos

=cos

cos β +sin

sin β

=sin α cos β +cos α sin β .
即 sin(α +β )=sin α cos β +cos α sin β .(S(α +β )) 在公式 S(α +β )中用-β 代替 β ,可以得到 sin(α -β )=sin α cos(-β )+cos α sin(-β )=sin α cos β -cos α sin β , 即 sin(α -β )=sin α cos β -cos α sin β .(S(α -β ))

(3)推导公式 tan(α +β )=

和 tan(α -β )=

.

当 cos(α +β )≠0 时,将公式 S(α +β ),C(α +β )的两边分别相除,

有 tan(α +β )=

.

当 cos α cos β ≠0 时,将上式的分子、分母分别除以 cos α cos β ,

得 tan(α +β )=

.(T(α +β ))

由于 tan(-β )=

=-tan β ,

在 T(α +β )中以-β 代替 β ,可得 tan(α -β )=

,

即 tan(α -β )=

.(T(α -β ))

(4)公式 T(α ±β )在 α ≠kπ +

,β ≠kπ +

,α +β ≠kπ +

(T(α +β )须满足),α -

β ≠kπ +

(T(α -β )须满足),k∈Z 时成立,否则是不成立的.

当 tan α ,tan β 或 tan(α +β )的值不存在时,不能使用 T(α ±β )公式,处理有关问题时应改用

诱导公式或其他方法来解,比如化简 tan

,因为 tan

的值不存在,不能用 T(α -β ),而应

改用诱导公式 tan

=cot β .

公式 S(α +β ),C(α +β ),T(α +β )给出了任意角 α ,β 的三角函数值(指正弦、余弦和正切)与其和角 α +β 的三角函数值之间的关系,为方便起见,我们把这三个公式都叫做和角公式. 类似地,公式 S(α -β ),C(α -β ),T(α -β )都叫做差角公式.


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