高中数学第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.5平面上两点间的距离课时作业苏教版必修2

拼十年寒 窗挑灯 苦读不 畏难; 携双亲 期盼背 水勇战 定夺魁 。如果 你希望 成功, 以恒心 为良友 ,以经 验为参 谋,以 小心为 兄弟, 以希望 为哨兵 。

2.1.5 平面上两点间的距离
[学业水平训练] 1.已知点 A(1,-1),B(2,3),则线段 AB 的长为________. 2 2 解析:AB= - + -1- = 1+16= 17. 答案: 17 2. 已知点 A(x,5)关于点(1, y)的对称点为(-2, -3), 则点 P(x, y)到原点的距离是________. x-2 5-3 解析:根据中点坐标公式得到 =1 且 =y, 2 2 解得 x=4,y=1,所以点 P 的坐标为(4,1),则点 P(x,y)到原点的距离 2 2 d= - + - = 17. 答案: 17 3.已知点 A(1,2),B(3,1),则线段 AB 的垂直平分线方程是________. 2-1 1 解析:∵kAB= =- ,∴AB 的中垂线的斜率为 2, 1-3 2 1+3 1+2 3 又 AB 中点为( , ),即(2, ), 2 2 2 3 故线段 AB 的垂直平分线方程是 y- =2(x-2), 2 即 4x-2y=5. 答案:4x-2y=5 4.x 轴上任一点到定点(0,2),(1,1)距离之和的最小值是________. 2 2 解析: 点(1,1)关于 x 轴的对称点坐标为(1, -1), 要求的最小值为 - + -1- = 10. 答案: 10 5.已知 A(1,2),B(-1,1),C(0,-1),D(2,0),则四边形 ABCD 的形状为________. 1 1 解析:由 kAB= ,kCD= ,kBC=-2,kAD=-2 得 2 2 AB ∥CD,BC∥AD,AB⊥BC,ABCD 为矩形, 2 2 又 AB= + + - = 5, 2 2 BC= -1- + + = 5,∴AB=BC, 故 ABCD 为正方形. 答案:正方形 6.直线 l1:x-y+1=0 关于点 P(1,1)对称的直线 l2 的方程为________. 解析:法一:设点 M(x,y)是直线 l2 上的任意一点,点 M 关于点 P(1,1)的对称点为 N,则 N 点坐标为(2-x,2-y). ∵直线 l1 与 l2 关于点 P(1,1) 对称, ∴点 N(2-x,2-y)在直线 l1 上, ∴(2-x)-(2-y)+1=0,即 x-y-1=0. ∴直线 l2 的方程为 x-y-1=0. 法二:因为点 P 不在直线 l1 上,所以 l2∥l1,设 l2 的方程为 x-y+c=0,在 l1 上取点 A(- 1,0),则 A 关于点 P 的对称点 A′(3,2)在直线 l2 上,所以 3-2+c=0,即 c=-1,所以 l2 的方程为 x-y-1=0. 答案:x-y-1=0 7.已知过点 P(0,1)的直线 l 和两直线 l1:x-3y+10=0,l2:2x+y-8=0 相交于两点, 点 P(0,1)恰好是两交点的中点,求直线 l 的方程. 解:法一:过点 P 与 x 轴垂直的直线显然不合要求,故设直线 l 的方程为 y=kx+1,若与
1

两已知直线分别交于 A,B 两点,则解方程组?

?y=kx+1 ? ?x-3y+10=0 ?

? ?y=kx+1 和? , ?2x+y-8=0 ? 7 7 可得 xA= ,xB= . 3k-1 k +2 7 7 由题意 + =0, 3k-1 k+2 1 ∴k=- .故所求直线方程为 x+4y-4=0. 4 法二:设 l 与 l1、l2 的交点分别为 A(x1,y1)、B(x2,y2). ∵A 为 l1 上的点,B 为 l2 上的点, ∴x1-3y1+10=0,2x2+y2-8=0. ∵AB 的中点为 P(0,1), ∴x1+x2=0,y1+y2=2. ∴x2=-x1,y2=2-y1. ?x1-3y1+10=0, ?x1=-4, ? ? ∴? ∴? ? ? ?2x1+y1+6=0, ?y1=2. ∴x2=4,y2=0.∴A(-4,2)、B(4,0). 2-0 ∴直线 l 的方程为 y-0= (x-4), -4-4 即 x+4y-4=0. 8.求证:梯形中位线平行于上底和下底且等于上底与下底和的一半. 证明:如图为梯形 ABCD,以线段 BC 的中点为原点,直线 BC 为 x 轴,建立如图所示的直角 坐标系.分别取 AB,CD,AC 的中点 E,F,G.连结 EG,GF. a-c b 设 A(a,b),C(c,0),则 B(-c,0).AB 的中点 E 的坐标是( , ),AC 的中点 G 的坐标是 2 2 a+c b ( , ). 2 2

EG=

a-c a+c
2 - 2

2



b b
- 2 2

2

=|c|;

1 2 ∴又 E,G 的纵坐标相同,∴EG∥BC. 1 同理可证,FG= AD,FG∥AD. 2

BC=2|c|.∴EG= BC.

1 于是可得 EF∥AD∥BC,EF=EG+FG= (BC+AD). 2 而 EF 即为梯形的中位线, 故梯形中位线平行于上底和下底且等于上底和下底和的一半. [高考水平训练] 1. 光线从点 A(-3,5)出发, 经 x 轴反射后经过点 B(2,10), 则光线从 A 到 B 的距离为________. 解析:利用光学原理,求出点 B(2,10)关于 x 轴的对称点 B′(2,-10).根据两点间的距离 公式, 2 2 得 AB′= -3- + + =5 10. 答案:5 10 2 2.在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一直线与函数 f(x)= 的图象交于 P、Q 两点,

x

2

则线段 PQ 长的最小值是________. 解析:由题知:直线的斜率 k 存在且 k>0,

y=kx ? ? 设方程为 y=kx,则由? 2 ?y=x ? k k

2 ? ?x= k 得? ? ?y= 2k

2 ? ?x=- k 或? ? ?y=- 2k



2 2 2 ∴PQ =4( +2k),令 f(k)= +2k. ∵k>0,且当 0<k<1 时,函数 f(k)为减函数, 当 k>1 时,函数 f(k)为增函数, ∴当 k=1 时,函数 f(k)取最小值 4, 2 即 PQ 取得最小值 16,PQ 取得最小值 4. 答案:4 3.求点 A(2,2)关于直线 2x-4y+9=0 的对称点坐标. 解:设点 A′(a,b)是点 A(2,2)关于直线 2x-4y+9=0 的对称点,则有 AA′与已知直线垂 直且线段 AA′的中点在已知直线上. 1 b-2 ? ?2·a-2=-1, ∴? a+2 b+2 ? ?2· 2 -4· 2 +9=0. 解得 a=1,b=4. ∴所求对称点坐标为(1,4). 4.已知倾斜角为 45°的直线 l 过点 A(1,-2)和点 B,B 在第一象限,AB=3 2. (1)求点 B 的坐标. (2)对于平面上任一点 P, 当点 Q 在线段 AB 上运动时, 称 PQ 的最小值为 P 与线段 AB 的距离. 已 知点 P 在 x 轴上运动,写出点 P(t,0)到线段 AB 的距离 h 关于 t 的函数关系式. 解:(1)直线 AB 方程为 y=x-3,设点 B(x,y), ?y=x-3 ? 由? 及 x>0,y>0 2 2 ? x- + y+ =18 ? 得 x=4,y=1,点 B 的坐标为(4,1). (2)设线段 AB 上任意一点 Q 坐标为 Q(x,x-3), PQ= x-t 2+ x- 2, 记 f(x)= x-t 2+ x- 2, t+3 2 t- 2 = x- + (1≤x≤4), 2 2 t+3 当 1≤ ≤4 时,即-1≤t≤5 时, 2

t+3 2|t-3| PQmin=f( )= ,
2 2 当

t+3
2

>4,即 t>5 时,f(x)在[1,4]上单调递减,
2

∴PQmin=f(4)= t- +1; t+3 当 <1,即 t<-1 时,f(x)在[1,4]上单调递增, 2

PQmin=f(1)=
综上所述,

t-

2

+4.

3

? ? h(t)=? ? ?

t-

2

+4

t<-1

2|t-3| -1≤t≤5. 2

t-

2

+1 t>5

4


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