山东省潍坊市寿光现代中学2012届高三10月阶段性检测 数学理科试题

寿光现代中学 2009 级高三阶段性检测 高三数学理科试题
2011.10
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. x 1.设全集 U=R,集合 M={x|y= 3 ? 2x },N={x|y=3-2 },则图中阴影部分表示的集合是

3 < x ? 3} 2 3 C. { x | ? x <2} 2
A.{ x | 2.

3 <x<3} 2 3 D. { x | <x<2} 2
B. { x |

?

π 2

0

( x-sin x)dx 等于
π2 B. -1 8
? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 ? ? x ? 6, x ? 0

π2 A. -1 4
3.设函数 f(x)= ?

π2 C. 8

π2 D. +1 8

,则不等式 f(x)< f(-1)的解集是

A.(-3,-1) ? (3,+ ? B. (-3,-1) ? (2,+ ? ) C. (-3, + ? ) D. (- ? ,-3) ? (-1,3) 3 2 4.函数 f(x)=2x -6 x +7 在(0,2)内零点的个数为 A.0 B. 1 C. 2

D. 4

9 2 5.已知命题 p : ?x ? R,x +3x+m>0,则“m< ”是“命题 p 为假命题”的 4
A.充分不必要条件 条件 6.已知 ? ABC 中,a= 2 , b= 3 ,B= 60? ,那么角 A 等于 A. 135? 或 45?
2

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要

B. 150? 或 30?
2

C. 90?

D. 45?

7.已知 p : ?x ?R,mx +2 ? 0, q : ?x ? R,x -2mx+1>0,若 p ? q 为假命题,则实数 m 的取值范 围是 A.[1,+∞)

B.(-∞,-1]

C.( -∞,-2]

D. [-1,1]

8.为了得到函数 y ? sin 2 x ? cos2 x 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x ? cos2 x 的图象

π 个单位长度 4 π C.向左平移 个单位长度 2
A.向左平移

π 个单位长度 4 π D.向右平移 个单位长度 2
B.向右平移

-1-

9.若函数 f(x)=ax +bx +cx+d 有极值,则导函数 f ? (x)的图象不可能是
3 2

10.设偶函数 f(x)对任意 x ? R,都有 f(x+3)=f(107.5) = A. 10 B.

1 ,且当 x ? [-3,-2]时,f(x)=4 x,则 f ( x)

1 10

C.-10

D.-

1 10

11.已知 f(x)= ?

? ?2 x, ( ?1 ? x ? 0) ? ,则下列函数的图象错误的是 ? x , (0 ? x ? 1) ?

12.已知函数 y ? log a ( x ? 1) ? 3(a ? 0 且 a ? 1) 的图象恒过定点 P,若角 ? 的终边经过点 P, 则 sin ? ? sin 2? 的值等于
2

A.

3 13

B.

5 13

C.-

3 13

D.-

5 13

第Ⅱ卷(非选择题
13.若 sin(π ? ? ) ?

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在题中线上.

1 π , ? ? ( ? ,0) ,则 tan ? = 2 2

.

14.如图,为测得河对岸塔 AB 的高,先在河岸上选一点 C,使 C 在底 B 的 正东方向上,测得点 A 的仰角为 60? ,再由点 C 沿北偏东 15? 方向走 10 米 到位置 D,测得 ?BDC ? 45? ,则塔 AB 的高是 米. 15.已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切,则 a 的值为 . 16.下列四个命题: ①命题“若 a=0,则 ab=0”的否命题是“若 a=0,则 ab ? 0” ; ②若命题 p : ?x ?R,x + x +1<0,则 ?p : ?x ? R,x + x +1 ? 0;
2 2

③若命题“ ?p ”与命题“p 或 q”都是真命题,则命题 q 一定是真命题;

-2-

④命题“若 0<a<1,则 loga(a +1)<loga(1+

1 )”是真命题 a

其中正确命题的序号是 .(把所有正确命题序号都填上) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=Asin( ?x ? ? )(其中 A>0, ? ? 0,0 ? ? ? 个交点之间的距离为

π )的图象与 x 轴的交点中,相邻两 2

π 2π ,且图象上一个最低点为 M( ,-2). 2 3

(1)求 f(x)的解析式; (2)当 x ? [

π π , ] 时,求 f(x)的值域. 12 2

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=

ax ? b 1 2 是定义在(-1,1)上的奇函数,且 f ( ) ? . 2 1? x 2 5

(Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)用定义证明 f(x)在(-1,1)上是增函数; (Ⅲ)解不等式 f(t-1)+ f(t)<0.

19.(本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=2,cosB= (1)若 b=3,求 sinA 的值; (2)若 ? ABC 的面积 S△ABC =3,求 b,c 的值.

4 . 5

20.(本小题满分 12 分) 某商店预备在一个月内分批购入每张价值为 20 元的书桌共 36 台,每批都购入 x 台(x 是正整 数) ,且每批均需付运费 4 元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值 (不含运费)成正比,若每批购入 4 台,则该月需用去运费和保管费共 52 元,现在全月只有 48 元资金可以用于支付运费和保管费. (1)求该月需用去的运费和保管费的总费用 f(x); (2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.

-3-

21.(本小题满分 12 分) 2 已知函数 f(x)= x +aln x. (1)当 a=-2 时,求函数 f(x)的单调区间和极值; (2)若 g(x)= f(x)+

2 在[1, ?? ]上是单调增函数,求实数 a 的取值范围. x

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=

1 3 2 2 x - ax +( a -1)x+b(a,b ? R). 3

(1)若 x=1 为 f(x)的极值点,求 a 的值; (2)若 y= f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为 x+y-3=0,求 f(x)在区间[-2,4]上的 最大值; (3)当 a ? 0 时,若 f(x)在区间(-1,1)上不单调,求 a 的取值范围.

-4-

高三理科数学月段检测参考答案
一、 BBABA DAADB DC 二、13. -

2011.10

3 3

14. 10 6

15. 2

16. ②③

2π ,-2)得,A=2. 3 π T π 2π 2π 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 得, = ,即 T= π ,所以 ? ? ? ? 2 . (3 2 T π 2 2
三、17.解析: (1)由最低点为 M( 分)

2π 2π 4π ,-2)在函数 f(x)的图象上得,2sin(2 ? ? ? )=-2,即 sin( ? ? )=-1. 3 3 3 4π π 11π 故 ( k ? Z). (5 分) ? ? ? 2kπ ? , k ? Z,所以 ? ? 2kπ ? 3 2 6 π π π 又 ? ? (0, ) ,所以 ? ? ,故 f(x)的解析式为 f(x)= 2sin(2 x ? ) . (6 分) 2 6 6 π π π π 7π (2)因为 x ? [ , ] ,所以 2 x ? ? [ , (7 分) ]. 12 2 6 3 6 π π π 当 2 x ? ? ,即 x ? 时,f(x)取得最大值 2; (9 分) 6 2 6 π 7π π 当 2x ? ? ,即 x ? 时,f(x)取得最小值-1. (11 分) 6 6 2
由点 M( 故函数 f(x)的值域为[-1,2]. (12 分) 18.(1)解:? f ( x) 是(-1,1)上的奇函数

? f (0) ? 0
又 f( )?

?b ? 0

(1 分)

1 2 2 5 1 a 2 2 ? ? 1 2 5 1? ( ) 2 x ? f ( x) ? 1 ? x2

?a ? 1

(2 分)

(4 分)

(2)证明:任设 x1、x2 ? (-1,1) ,且 x1 ? x2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

x1 x2 ( x ? x )(1 ? x1 x2 ) ? ? 1 22 2 2 2 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 )
??1 ? x1 x2 ? 1
又 1 ? x1 ? 0,1 ? x2 ? 0
2 2

? ?1 ? x1 ? x2 ? 1

(6 分)

? x1 ? x2 ? 0 ,且 1 ? x1 x2 ? 0

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

-5-

即 f ( x1 ) ? f ( x2 )

(7 分) (8 分)

? f ( x) 在(-1,1)上是增函数
(3)? f ( x) 是奇函数 即 f (t ? 1) ? f ( ?t ) 又 f ( x ) 在(-1,1)上是增函数

?不等式可化为 f (t ? 1) ? ? f (t ) ? f (?t )
(9 分)

? ?1 ? t ? 1 ? 1 1 ? 解之得 O ? t ? ?有 ? ? 1 ? t ? 1 2 ?t ? 1 ? ?t ?

(11 分)

1 (12 分) ?不等式的解集为 {t | O ? t ? } 2 4 3 2 19.解析: (1)因为 cos B ? ,且 0 ? B ? π ,所以 sin B ? 1 ? cos B ? . 5 5
分) 由正弦定理 分) (2)因为 S△ABC = 分)

(2

a b a sin B 2 ,得 sin A ? ? ? . sin A sin B b 5 1 1 3 ac sin B ? 3, 所以 ? 2c ? ? 3 .所以 c=5. 2 2 5
2 2 2 2

(6

(9

4 ? 13 .所以 b ? 13 . (12 分) 5 36 20.解析: (1)设题中比例系数为 k,若每批购入 x 台,则共需分 批,每批价值为 20x 元. x 36 由题意,知 f ( x ) ? ? ? k ? x, 4 20 x 16 1 由 x=4 时,y=52 得 k ? (5 分) ? , 80 5 144 (6 分) ? f ( x) ? ? 4 x(0 ? x ? 36, x ? N*). x 144 (2)由(1)知 f ( x ) ? , ? 4 x(0 ? x ? 36, x ? N*) x
由余弦定理, b ? a ? c ? 2ac cos B ? 2 ? 5 ? 2 ? 2 ? 5 ? 得
2

? f ( x) ? 2
当且仅当

144 ? 4 x ? 48 (元). x

(10 分)

144 ? 4x ,即 x=6 时,上式等号成立. x
(12 分) (1 分)

故只需每批购入 6 张书桌,可以使资金够用.

21.解析: (1)易知函数 f ( x ) 的定义域为( 0, ?? ).
-6-

当 a=-2 时, f ( x) ? x 2 ? 2ln x, f ?( x) ? 2 x ?

2 2( x ? 1)( x ?1) . ? x x

当 x 变化时, f ?( x ) 和 f ( x ) 的变化情况如下表:

(4 分) 由上表可知, 函数 f ( x ) 的单调递减区间是 (0, 单调递增区间是 1) (1, ) 极小值是 f (1) ? 1. ?? , ( 6 分) (2)由 g ( x ) ? x ? a ln x ?
2

2 a 2 ,得 g ?( x ) ? 2 x ? ? 2 . x x x

(7 分)

若函数 g ( x ) 为[1, ?? )上的单调增函数,则 g ?( x ) ? 0 在[1, ?? )上恒成立,即不等式

2x ?

2 a 2 ? ? 0 在 [1 , ?? ] 上 恒 成 立 . 也 即 a ? ? 2 x 2 在 [1, ?? ) 上 恒 成 立 . 2 x x x
(9 分)

2 2 ? 2 x 2 ,则 ? ?( x ) ? ? 2 ? 4 x. x x 2 当 x ? [1, ??) 时, ? ?( x ) ? ? 2 ? 4 x ? 0, x 2 ?? ( x ) ? ? 2 x 2 在[1, ?? )上为减函数, x
令 ? ( x) ?

?? ( x) max= ? (1) ? 0.

(10 分) (12 分)

? a ? 0 ,即 a 的取值范围为[0, ?? ).
22.解析: (1) f ?( x ) ? x ? 2ax ? a ? 1
2 2

? x ? 1 是 f ( x ) 的极值点
解得 a ? 0 ,或 a ? 2 . 经检验知都符合题意.

? f ?(1) ? 0, 即 a 2 ? 2a ? 0
(3 分) (4 分)

(2)? (1, f (1)) 在 x ? y ? 3 ? 0 上

? f (1) ? 2

? (1,2) 在 y ? f ( x ) 的图象上,
又 f ?(1) ? ?1

1 ? ? a ? a2 ? 1 ? b ? 2 3

① ②

?1 ? 2a ? a 2 ? 1 ? ?1

由①②解得 a ? 1, b ?

8 3
-7-

1 8 ? f ( x) ? ? x3 ? x 2 ? 3 3
由 f ?( x ) ? x ? 2 x ? 0 知 x ? 0 和 x ? 2 是 f ( x ) 的极值点
2

(7 分)

8 4 ? f (0) ? , f (2) ? , f ( ?2) ? ?4, f (4) ? 8 3 3
? f ( x) 在区间[-2,4]上的最大值为 8.
(3)? f ( x) 在(-1,1)上不单调 (9 分)

? f ?( x ) 在(-1,1)上必存在零点
而 f ?( x ) ? x ? 2ax ? a ? 1 ? [ x ? (a ? 1)][ x ? (a ? 1)] ? 0 的两根为 a ? 1, a ? 1,
2 2

且 (a ? 1) ? (a ? 1) ? 2

?在区间(-1,1)上不可能有两个零点,
? f ?( ?1) f ?(1) ? 0
即 a (a ? 2)(a ? 2) ? 0
2

(12 分)

?a ? 0

?a2 ? 0

?(a ? 2)(a ? 2) ? 0

??2 ? a ? 2 ,且 a ? 0 .

?a 的取值范围为 ( ?2,0) ? (0,2)

(14 分)35

-8-


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