辽宁省鞍山一中2012-2013学年高一上学期期中考试数学试题

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2012-2013 学年度上学期期中考试高一数学科试卷
命题学校 :鞍山一中 命题人: 校对人:

一、选择题(每题只有一个答案正确。每题 5 分共 60 分):
1 、设集合U ? ??2, 1, 0,1, 2?,A ? ?1, 2?,B ? ??2, 1, 2?,则A ? C U B)= ? ? ( ( )A.?1?

B.?1, 2?

C.?2?

D.?0,2? 1,
1 8 ),则满足f ( x ) ? 27的x值为 ( ) A.

2、已知幂函数y ? f ( x )的图象经过点( ? 2, ?

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 5
x

3、在同一坐标系中,画出y ? log a x, y ? a , y ? x ? a 的图象可能正确的是(



y

y

1

1 1 x

o
A y

o
B

1

x

1

1 1 x

o
C

o
D

1

x

4、在下列函数中,值域为(0,+?)的是
1





A .y ? 3 2 ? x

1 1? x B. y ? ( ) 3

C. y ?

1 x ( ) ?1 2

D. y ?

1? 2

x

5、f ( x)为奇函数,当x ? ?1, 4?时,f ( x) ? x ? 4 x ? 5, 那么当 ? 4 ? x ? ?1 时,f ( x)最大值为(
2



A. ? 5

B. ? 2

C. ? 1

D.5

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6、设函数f ( x )定义域为R,f ( x )对称轴为x ? 1, 当x ? 1 时,f ( x ) ? lg x则有 (

1 1 A. f ( ) ? f (2) ? f ( ) 3 2 1 1 C. f ( ) ? f ( ) ? f (2) 2 3
3

1 1 B. f ( ) ? f (2) ? f ( ) 2 3 1 1 D. f (2) ? f ( ) ? f ( ) 2 3
( )

7、函数f ( x ) ? ? x ? 3 x ? 5 的零点所在区间为

A. ?1, 2 ?

B. ? ?2, 0 ?

C. ? 0,1?

D. ? ?2,1?

8、如图所示的韦恩图中,A、B是非空集合, 定义A*B表示阴影部分的集合,若x, y ? R, A? x y?

?

2x ? x

2

?,

B ? y y ? 3 , x ? 0 , 则A*B为
x

?

?





A

B

A. ? 0, 2 ?

B. ?1 2 ? ,

C.? 0,1? ? ? 2, ? ? ?

D.? 0,1? ? ? 2, ? ? ?

9、已知实数0 ? b ? a ? 1, 则下列关系式中可能成立的个数为 ①.2 ? 3
a b

②.log 2 a ? log 3 b

③.a ? b
2

3

(

)

A.0
10、函数y ? 2
?x

B.1

C.2

D.3
( )

? m的图象与x轴有交点时,m的取值范围是

A.? ?1, 0 ?
11 f ( x ) ? 、 4
x x

B.? 0,1?
, 则f ( 1 2010 )? f ( 2 2010

C.?1 ? ? ? ,
) ? …+f ( 2009 2010 ) 的值为

D. ? 0,1?

4 ?2

(

)

A.2009
2

B.2010

C.1004

1 2

D.1005


12、若函数f ( x) ? x ? x ? a ? b在区间 ? ??,? 上为减函数,则实数a 的取值范围是( 0

A.a ? 0

B.a ? 0

C.a ? 1

D.a ? 1

二、填空题(每题 5 分共 20 分):

13、已知f ( x ) ? log 2 x, 那么f (8)等于_________.
6

14、方程x ? mx ? m ? 3 ? 0的两个根都在区间 ? 0,2 ?内,则实数m 的取值范围为 ___________ .
2

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15、已知函数f ( x ) ? 1 1? x
2

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( x ? ?1), 则f

?1

1 ( ? ) ? _______ . 3

16、若关于x 的方程 log 2 ( ax ? 2 x ? 2) ? 2在区间
2

?1 ? , 2 上有解,则实数a 的取值范围为______. ?2 ? ? ?

三、解答题: (共 70 分)
17、(10分)①.计算:(log 4 3 ? log 8 3)(log 3 2 ? log 9 2) ? log 1
2 4

32

②.已知

2 lg(3 x ? 2) ? lg x ? lg(3 x ? 2)
3

求 log x

32 的值.

18、(12分)集合A ? x ? x ? 1?? x ? 3? ? 0 , B ? x x ? ? a ? 2 ? x ? 2a ? 0 ,
2

?

?

?

?

集合C ? x x ? bx ? c ? 0
2

?

?

①.若A ? B ? B,求a的取值范围. ②.若A ? C ? R, A ? C ? ?, 求b, c的值.

19、(12分)已知函数f

? x? ? ?x

2

? mx ? 2m ? 4

? 0 ? x ? 2 ? , 求f ? x ?的最大值.

20、(12分)某工厂生产的A型商品进入某劝业场(租赁柜台市场)。若劝业场 对A型商品不征收管理费时,A型商品每件定价80元,则每年可销售8万件;若劝 业场对A型商品征收管理费的比率为P%时(即每销售100元时征收P元),则A型商 品的每件价格要提高到 80 1 ? P% 元,而每年销售量将减小0.62P万件。根据上述情况:

( )设劝业场对A型商品征收管理费的比率为P%时,A型商品每年销售为y万元, 1 写出y与P的函数关系式,并指出这个函数的定义域。 (2)若劝业场对A型商品每年征收的管理费不少于16万元,求P的取值范围。

21 、(12分)定义在R上函数f ①.求证f ②.证明f

? x ? 满足f ? x ? y ? ?

f

? x? ?

f

? y ? , 且当x ? 0时f ? x ? ? 0

? x ? 为奇函数. ? x ? 在R上为单调函数.
2

③.若f ? k log 2 t ? ? f ? log 2 t ? log 2 t ? 2 ? ? 0 求实数k的取值范围.

? t ? 0 ? 恒成立,

22、(12分)已知f ①.求f

? x ? ? lg

2x ax ? b

, f ?1? ? 0, 当x ? 0时,恒有f

? x? ?

?1? f ? ? ? lg x ?x?

? x ? 解析式. ? x ? ? lg ? p ? x ?的解集是?,求实数p
的取值范围. 1 x?m

②.若方程f

③.g ? x ? ? log m ? x ? 3m ?

? m ? 0且m ? 1?,h ? x ? ? log m

? x ? m?,

当x ? ? m ? 2, m ? 3?时,恒有 g ? x ? ? h ? x ? ? 1 ,试确定m 的取值范围.
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参考答案及评分标准
一、选择题(每题只有一个答案正确。每题 5 分共 60 分): DBDBC CADCD CA 二、填空题(每题 5 分共 20 分):
1 13、 2
? 7? 14、2, ? ? 3 ? ?

15、-2

?3 ? 16、 , 12 ?2 ? ? ?

三、解答题: (共 70 分)
17、(10分)解:①

? log 4 3 ? log 8 3?? log 3 2 ? log 9 2 ? ? log 1
2

4

32

=

5 6

log 2 3.

? 5? log 3 2 ? ? ? ? 2 ? 4? 3 ……5′

=0
② 由 2 lg(3 x ? 2) ? lg x ? lg(3 x ? 2) 得

? 3x ? 2 ?
2

2

? x ? 3x ? 2 ?

整理得 3x ? 7 x ? 2 ? 0 解得 x ? 1 3 又 3x ? 2 ? 0
3

或 x?2 ?x ? 5 3 1 3 舍去 x ? 2

7

log 2

32 ?

…… ′ 10

18、(12分)解:①

A ? x ? x ? 1?? x ? 3? ? 0 ? ? ?1, 3 ?
2

?

?

B ? x x ? ? a ? 2 ? x ? 2a ? 0 ? x ? x ? 2 ?? x ? a ? ? 0 ? A? B ? B 1)当a ? 2 时 2)当a ? 2 时 ?A? B B ? ? ??, ? a ? ? ? ?2, ?? ? B ? ? ??, ?2 ? ? ? ? a, ?? ? ?1 ? a ? 2

?

? ?

?

符合题意 ……3 ′

则 ? a ? ?1 综上所述 a ?1

……5 ′ …7′

② ? A?C ? R

A?C ? ?
2

由图可知 ? 1 , 3为方程 x ? bx ? c ? 0两根 ? c ? ?3 b ? ?2 …… ′ 12

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19、(12分)解: f m 2 f

m? m ? ? 2m ? 4 ? x? ? ? ? x ? ? ? 2? 4 ?

2

2

2

① 当

? 0 即 m ? 0 时,f ? f ? 0 ? ? 4 ? 2m

? x ? 在 ? 0, 2? 上为减函数
5

? x ?最大
m 2

② 当0 ?

?2即 0?m?4 时 ?m? m ? f ? ? 2m ? 4 ?? 4 ? 2?
2

f

? x ?最大
m 2

……8′

③ 当 f

>2 即 m ? 4 时,f ? f ? 2? ? 0

? x ? 在 ? 0, 2? 上为增函数
……10′

? x ?最大

综上所述 ? 4 ? 2m ? 2 ? m ?? ? 2m ? 4 ? 4 ?0 ? m?0 0?m?4 m?4 12

f

? x ?最大

20、(12分)解: ① ? 劝业场对A 型商品征收管理费的比率为p %时, A 型商品每年销售量为8-0.62p ? 万件 ? ?y ? 80 1 ? p%

? 8 ? 0.62 p ?


?0 ?
80 1 ? p%
2

p ? 100 ?

……6 ′

②依题意

y. p % ? 16 整理得

? 8 ? 0.62 p ? .p % ? 16

?1 ? p % ? 0

31 p ? 410 p ? 100 ? 0 ?0

? 31 p ? 100 ? ? p ? 10 ?
? 100 31 答: p的取值范围为 100 31 ? p ? 10. ? p ? 10

…… ′ 12

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21 、(12分)解:①令x ? y ? 0 则 f ? 0 ? ? f ? 0 ? ? f ? 0 ? 令y ? ? x ? f ??x? ? ? f ?f ? f ?0? ? f ? f ?0? ? 0

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? x? ?

f ??x?

? x?
……4′ ?x ? x2 ? x1 ? 0 f ?? x2 ? x1 ? ? x1 ? ? f ? ?

? x ? 为奇函数 ? x2 ? ? f ? x1 ? ? ? x2 ? x1 ? ? ? x2 ? x1 ? ? x?
?0 ? ?y ? 0 f

②设x1 ? x2 ?y ? f ? f ? f

? x1 ?

? x1 ? ? f ? x1 ?

? x ? 0 时,f ?f

? x ? 在R上为增函数
f ? k log 2 t ? ? f ? log 2 t ? log 2 t ? 2 ?
2

…8′

③原式即 由②知f

? x ? 为R上增函数
2

? k log 2 t ? log 2 t ? log 2 t ? 2 令u ? log 2 t
2

?u ? R ?



u ? ?1 ? k ? u ? 2 ? 0恒成立
2

? ? ? ?1 ? k ? ? 8 ? 0 ? 2 2 ? 1? k ? 2 2 ? 2 2 ?1 ? k ? 2 2 ?1 ……12′

22、(12分)解:① ?当x ? 0 时,f

? x? ?

?1? f ? ? ? lg x恒成立, ?x?

x ? 1 时,f 2x ax ? b

? x? ?
2 bx ? a

?1? f ? ? ? lg x恒成立. ?x? ? lg x

? lg

? lg
2

即? a ? b ? x ? ? a ? b ? x ? 0 ? x ? 0,? 上式若恒成立只能a ? b 又f ?1? ? 0,即a ? b ? 2,从而a ? b ? 1 ?f

? x ? ? lg

2x 1? x

……4′

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②由 lg

2x 1? x

? lg ? p ? x ? 知

? 2x ? p?x 2 ?1 ? x ? ? ? x ? ? p ? 1? x ? p ? 0 , 即 ? ? ? ? 2x ? 0 ? x ? ?1 或 x ? 0 ?1 ? x ?

由于方程的解为?,故有如下两种情况: 1 方程x ? ? p ? 1? x ? p ? 0无解,即? ? 0, 得3 ? 2 2 ? p ? 3 ? 2 2 )
2

2) 方程x ? ? p ? 1? x ? p ? 0有解,两根均在区间? ?1, 0 ?内,
2

令g ? x ? ? x ? ? p ? 1? x ? p, 有
2

?? ? 0 ? g ?1 ? 0 ? ? ? ? ? g ? 0? ? 0 ? 1? p ? ?1 ? ?0 ? ? 2

? ?p ? 3? 2 2 或 p ? 3? 2 2 即? 无解 ?1 ? p ? 3 ?

综合1) 2)可得,p 的取值范围是3 ? 2 2 ? p ? 3 ? 2 2
? x ? 3m ? 0 ③? ? ?x ? m ? 0 ? x ? 3m

……8′

? g ? x ? 与h ? x ? 在x ? ? m ? 2, m ? 3?时均有意义 ? g ? x ? ? h ? x ? ? 1恒成立 ? ?1 ? log m ? x ? 3m ?? x ? m ? ? 1 ? ?? ?0 ? m ? 1 ? ? m ? ? x ? 2m ? ? m ?
2 2

? 3m ? m ? 2, 得0 ? m ? 1

? log m ? x ? 3m ?? x ? m ? ? 1恒成立

1 m

, 令q ? x ? ? ? x ? 2m ? ? m , 其图像对称轴为x ? 2m
2 2

? m ? 2 ? 2 ? 2m,? q ? x ? 于 ? m ? 2, m ? 3? 上单调递增 4 ? 2 ?? 2 ? m ? ? m 2 ? m m? ?q ? m ? 2 ? ? m ? 5 ? ? ? 令? 1 ?? 1 ?? 2 2 9 ? 57 9 ? 57 ?q ? m ? 3? ? ?? 3 ? m ? ? m ? ? m? 或 m ? m ? ? ? 12 12 ?m? 9? 12 但0 ? m ? 1, 则0 ? m ? 9? 12 57 . …12′ 57

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