江苏省石榴高级中学2009届高三数学第一次月考试题 苏教版

江苏省石榴高级中学 2009 届高三第一次月考数学试题
注意事项: 1.本试卷共 160 分,考试用时 120 分钟. 2.答题前,考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上.考试结束后,交回答题 卡. 一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应 答题线上.) 1.已知 U = {1,2,3,4,5},集合 A={1,2},则 2.函数 f ( x) ? log 1 (4 x ? 3) 的递减区间为___
2

C A=
U



.

_★______.

3.若函数 y

= x2 + (a + 2) x + 3,的图象关于直线 x=1 对称,则 a =



.

4.函数 f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时, 为 ★ .

f ( x) ? x2 ? sin x ,当 x ? 0 时, f ( x) 的表达式
★ 条件. (填写: “充分非必要” 、

5. 已知 p : x ? 1 , q : x ? 2 ,那么 p 是 q 的 的

“必要非充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中的一种情况)

? 1 x ?( ) ? 1( x ? 0) 6.设函数 f ( x) ? ? 2 ,已知 f (a ) ? 1 ,则 a 的取值范围为____★ 1 ? 2 ? x ( x ? 0) 7. 已知命题 p 为“所有负数的平方都是正数”,则命题“非 p ”是 ★
8. 用二分法求函数

_.

.

f ( x) ? 3 ? x ? 4 的一个零点,其参考数据如下:
x

f(1.6000)=0.200 f(1.5625)=0.003
x

f(1.5875)=0.133 f(1.5562)=-0.029

f(1.5750)=0.067 f(1.5500)=-0.060
★ .

据此数据,可得方程 3 ? x ? 4 ? 0 的一个近似解(精确到 0.01)为 9.设偶函数 ★

f ( x) ? loga | x ? b | 在(??,0) 上递增函数,则 f (a ? 1)与f (b ? 2) 的大小关系是
.

10.若函数 f(x)=x - 11.如果幂函数 y

p p ? 在(1,+∞)上是增函数,则实数 p 的取值范围是 x 2
2

★ ★ .

.

= (m2 - 3m + 3) xm - m- 1 的图象不过原点,则 m 的取值是 4 - x2 - kx - 2 = 0 只有一个实根,则实数 k 的取值

12. 若关于 x 的方程 为 ★ .

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13. 定义运算 a ? b

?a?a ? b ? ?? , 例如, 1 ? 2 ? 1 ,则函数 f(x)= 1 ? 2 x 的值域为 ? ? b a ? b ?
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.

14.已知函数

f ( x) ? x2 ? 2ax ? b ( x ? R)

给出下列命题:①f(x)必是偶函数;②f(0)= f(2)
2

时,f(x)的图象必关于直线 x=1 对称;③若 a ? b ? 0 ,则 f(x)在区间 [ a, ??) 上是增函数;④

f(x)有最小值 | a ? b | ,其中正确命题的序号是
2



.

二、解答题:(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15 15.已知函数 f ( x ) ? ?

?cx ? 1 ? ? ?2
? x c2

(0 ? x ? c) (c ≤ x ? 1)

?1

满足 f (c ) ?
2

9 . 8

(1)求常数 c 的值;

(2)解不等式

f ( x) ?

2 ? 1. 8

16.(本小题满分 14 分) 已知集合 A= {x | ( x ? 2)[ x ? (3a ? 1)] ? 0} ,B= {x | (1)当 a=2 时,求 A ? B;

x ? 2a ? 0} x ? (a 2 ? 1)
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(2)求使 B ? A 的实数 a 的取值范围

17.(本题满分 14 分)

x 2 ? 2x ? a , x ? [1, ?) 已知 b 函数 f ( x) ? x
(1) (2) 当 a ? 0 时,判断函数 f(x)的单调性,并证明你的结论; 当a ?

1 时,求函数 f(x)的最值。 2

18.(本题满分 14 分) 随着机构改革开作的深入进行, 各单位要减员增效, 有一家公司现有职员 2a 人 (140<2a<420, 且 a 为偶数 ) ,每人每年可创利 b 万元. 据评估,在经营条件不变的前提下,每裁员 ...1 人,则

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留岗职员每人每年 多创利 0.01b 万元,但公司需付下岗职员每人每年 0.4b 万元的生活费,并 .... 且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的 多少人?

3 ,为获得最大的经济效益,该公司应裁员 4

19.(本题满分 14 分) 设函数 f(x) = (1)求 m 值. (2)求 g(x)的定义域. (3)若 g(x)在[-

1og

1- mx x- 1 a

为奇函数, g(x) = f(x) +

log

(x- 1)(ax + 1) a

( a>1,且 m ? 1 )

5 3 ,- ]上恒正,求 a 的取值范围. 2 2

20.(本小题满分 16 分) 对于定义域为 D 的函数 y ? f ( x) ,若同时满足下列条件: ① f ( x ) 在 D 内单调递增或单调递减; ②存在区间[ a , b ] ? D ,使 f ( x ) 在[ a , b ]上的值域为[ a , b ]; 那么把 y ? f ( x) ( x ? D )叫闭函数 (1)求闭函数

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y ? ? x 3 符合条件②的区间[ a , b ];
用心 爱心 专心

(2)判断函数 f ( x) ? (3)若 y

3 1 x ? ( x ? 0) 是否为闭函数?并说明理由; 4 x

? k ? x ? 2 是闭函数,求实数 k 的取值范围.

江苏省石榴高级中学 2009 届高三第一次月考 数学试题参考答案
一、填空题:1.{3,4,5} 6. 98 7. 48 2. 12 8. 32 13.(0,1] 3. 9. 45 m>1 4. 1 10.23 5.1.2 11.1

12.k<-1 或 k=0 或 k>1 ; 15.略

; 14.③

二、解答题:(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 16.解:(1)当 a=2 时,A=(2,7),B=(4,5)∴ A ? B=(4,5)???4 分 (2)∵ B=(2a,a +1), 当 a<
2

1 时,A=(3a+1,2) 3
? 2a ? 3a ? 1
2 ?a ? 1 ? 2

???????????????6 分

要使 B ? A,必须 ?

,此时 a=-1;??????????? 7 分

1 时,A= ? ,使 B ? A 的 a 不存在;??????????????10 分 3 1 当 a> 时,A=(2,3a+1)????????????????????12 分 3
当 a= 要使 B ? A,必须 ?

? 2a ? 2
2 ? a ? 1 ? 3a ? 1

,此时 1≤a≤3

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?????????13 分

综上可知,使 B ? A 的实数 a 的取值范围为[1,3]∪{-1}??????14 分

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17.解:(1)当 a ? 0 时,函数 f(x)是 [1, ??) 单调增函数。?????1 分 证明:任取 x1,x2 ? [1, ??) 且 x1<x2,则

x12 ? 2 x1 ? a x22 ? 2 x2 ? a ( x1 ? x2 )( x1 x2 ? a) f(x1)-f(x2)= = ???????4 分 x1 x2 x1 x2

? x1,x2 ? [1, ??) 且 x1<x2,a<0?

( x1 ? x2 )( x1 x2 ? a) <0???????????6 分 x1 x2

? f(x1)<f(x2)由单调性定义知 f(x)为 [1, ??) 单调增函数。??????????8 分
(2)当 a ?

1 时, 2

同理可证 f(x)在 [1, ? ) 是增函数,?????????????????10 分

? 当 x=1 时,f(x)的最小值为 f (1) ?
又 f(x)无最大值

7 2

????????????12 分

???????????????????????14 分

? f(x)只存在最小值为

7 2

???????????????????15 分

(若用导数处理则类似给分) 18.解:设裁员 x 人,可获得的经济效益为 y 万元,则

y ? (2a ? x)( b ? 0.01bx ) ? 0.4bx ? ?
依题意

b [ x 2 ? 2(a ? 70) x] ? 2ab 100

????5 分

2a ? x ?

3 a ? 2a ? 0 ? x ? . 又140 ? 2a ? 420, 70 ? a ? 210. ??7 分 4 2

a , 即70 ? a ? 140时, x ? a ? 70, y 取到最大值;?????10 分 2 a a 140 ? a ? 210时, x ? , y 取到最大值;????????13 分 (2)当 a ? 70 ? , 即 2 2 答:当 70 < a ? 140,公司应裁员为 a - 70,经济效益取到最大值
(1)当 0 ? a ? 70 ? 当 140 < a < 210,公司应裁员为

a ,经济效益取到最大值?????????15 分 2

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18.(1) f ( x)是奇函数,f ( x)=-f (-x)  loga 1 ? mx ? x ? 1 2 ? , x ? 1 ? (mx) 2 ? 1 x ? 1 1 ? mx ? (m 2 ? 1) x 2 ? 0, 又m ? 1 ?

1 ? mx 1 ? mx ?x ?1 ? ?loga ? loga x ?1 ?x ?1 1 ? mx

? m ? ?1................................................................................................4分 (2)由(1)f ( x)=loga x必须满足 ( x?1)(ax?1)?0 .................................................................6分 ?(x+1)(x-1)>0 x+1 x+1 , g ( x) ? loga ? loga ? ( x ? 1)(ax ? 1) ? x-1 x-1

1   ? x ? ?1或x ?( 1 a>1,- >-1) a ? g ( x)的定义域为{x:x ? ?1或x ? 1}............................ 8分.

3? ? 5 (3) ? a>1,g ( x)在 ?- ,- ? 上恒正, 2? ? 2 即( x ? 1)(ax ? 1) ? 1.........................................................10分 ? ax ? 1 ?
x

1 x ?1

? ax ? ?

?a ? ?

1 x ?1

................................................................11分

x ?1 3? ? 5 ? x ? ?- ,- ? 2? ? 2 ?? 1 x ?1 ?? 1 3

? 2 ? a ? 2........................................................13分

(? ) ?1 2 ? a的取值范围是 ?2,+? ? ..................................................14分

?b ? ?a 3 ? ?a ? ?1 3 3 20 解:(1)由题意, y ? ? x 在[ a , b ]上递减,则 ?a ? ?b 解得 ? ?b ? 1 ?b ? a ?
所以,所求的区间为[-1,1] (2)取 x1

???4 分

??????????????????5 分
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7 76 ? ? f ( x 2 ) ,即 f ( x) 不是 (0,??) 上的减函数 4 10 1 1 3 3 , x2 ? , f ( x1 ) ? ? 10 ? ? 100 ? f ( x 2 ) , 取 x1 ? 10 100 40 400

? 1, x2 ? 10, 则 f ( x1 ) ?

即 f ( x ) 不是 (0,??) 上的增函数 所以,函数在定义域内不单调递增或单调递减,从而该函数不是闭函数 ????9 分
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(3)若 y

? k ? x ? 2 是闭函数,则存在区间[ a , b ],在区间[ a , b ]上,函数 f ( x) 的值域为

? ?a ? k ? a ? 2 ? [ a , b ],即 ?b ? k ? b ? 2 ,? a, b 为方程 x ? k ? x ? 2 的两个实数根, ?
即方程 x
2

? (2k ? 1) x ? k 2 ? 2 ? 0( x ? ?2, x ? k ) 有两个不等的实根 ???11 分
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? ?? ? 0 ? 9 当 k ? ?2 时,有 ? f ( ?2) ? 0 ,解得 ? ? k ? ?2 ????????????13 分 4 ? 2k ? 1 ? ? ?2 ? 2
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? ?? ? 0 ? 当 k ? ?2 时,有 ? f ( k ) ? 0 ,无解 ????????????15 分 ? 2k ? 1 ? ?k ? 2
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综上所述, k ? ( ?

9 ,?2] ?????????????????????? 4
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