2016年苏教版高二数学选修2-3同步课件:2.3.2_事件的独立性_图文

2.3.2 事件的独立性 【课标要求】 1.能正确理解事件的独立性,能熟练求相互独立 事件同时发生的概率. 2.能综合运用相互独立、互斥事件概率公式求解 一些综合问题. 【核心扫描】 1.相互独立事件的概念.(重点) 2.相互独立事件同时发生的概率公式及应 用.(难点) 自学导引 事件的独立性 事件 、 独立 (1) 一 般地,若事件 A , B 满足 P(A|B ) =A P (B A ) ,则 P(B) 称 . PA (A与 )P(B B)相互独立,则P(B|A)= (2)若 ,P(AB) =P(A)P(B|A) = . 试一试 求事件A、B独立的充要条件. 提示 若A与B相互独立,则P(AB)=P(A)·P(B), 若P(AB)=P(A)·P(B),则A与B相互独立. (3)若事件A1,A2,?,An相互独立,则有 P(A1·A2·?·An)=P(A1)P(A2)?P(An). 想一想 若 A 与 B 相互独立,则 P(AB) = P(A)P(B) 与P(AB)=P(A|B)·P(B)矛盾吗? 提示 若A与B相互独立,则P(A|B)=P(A),故不 矛盾. 名师点睛 1.判定两个事件相互独立 (1)定义法:如果A、B同时发生的概率等于事件 A发生的概率与事件B发生的概率的积,则事件 A、B为相互独立事件. (2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是 否相互影响.常见的情景有:有放回地摸球、 重复掷同一枚硬币、连续射击(投篮)等. (3) 当 P(A) > 0 时,可用 P(B|A) = P(B) 判断 A 与 B 相互独立. 提醒 不可能事件与任何一个事件相互独立,必 然事件与任何一个事件相互独立. 2.相互独立事件与互斥事件 相互独立事件 一个事件的发生与否 定 对另一个事件发生的 义 概率没有影响 概 率 A与B相互独立等价于 公 P(AB)=P(A)·P(B) 式 互斥事件 两个事件不可能 同时发生即AB= ? 若A与B互斥,则 P(A+B)=P(A)+ P(B)反之不成立 3.事件间的关系 已知两个事件A、B,则A、B至少有一个发生的事件为A∪B; A、B都发生的事件为AB;A、B都不发生的事件为 A B ;A、B 恰有一个发生的事件为( A B)+(A B );A、B至多有一个发生的 事件为( A B)+(A B )+( A B ). 题型一 事件独立性的判断 【例 1】 一 个家庭中有若干个小孩,假定生男孩 和生女孩是等可能的,令A={一个家庭中既有 男孩又有女孩},B={一个家庭中最多有一个女 孩}.对下述两种情形,讨论A与B的独立性: (1)家庭中有两个小孩; (2)家庭中有三个小孩. [思路探索] 利用事件独立性的定义及概率公式 判断. 解 (1)有两个小孩的家庭,男孩、女孩的所有可能情形为Ω= {(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)},它有4个基本事件, 1 由等可能性知概率各为4. 这时A={(男,女),(女,男)}, B={(男,男),(男,女),(女,男)} AB={(男,女),(女,男)} 1 3 1 于是P(A)=2,P(B)=4,P(AB)=2. 由此可知P(AB)≠P(A)P(B), 所以事件A、B不相互独立. (2)有三个小孩的家庭,男孩,女孩的所有可能情形为Ω={(男,男, 男),(男,男,女),(男,女,男),(女,男,男),(男,女,女), (女,男,女),(女,女,男),(女,女,女)}. 1 由等可能性知这8个基本事件的概率为8,这时A中含有6个基本事件, B中含有4个基本事件, AB中含有3个基本事件. 6 3 4 1 3 于是P(A)=8=4,P(B)=8=2,P(AB)=8, 3 显然有P(AB)=8=P(A)P(B)成立. 从而事件A与B相互独立. 规律方法 事件A与B相互独立的充要条件是 P(AB)=P(A)P(B)也可以从事件意义中判断是否 能相互没有影响. 【变式 1】 判断下列各对事件是互斥事件还是相 互独立事件. (1)运动员甲射击1次,“射中9环”与“射中8 环”; (2)甲、乙两运动员各射击1次,“甲射中10环” 与“乙射中9环”; (3)甲、乙两运动员各射击1次,“甲、乙都射 中目标”与“甲、乙都没有射中目标”; (4) 甲、乙两运动员各射击 1 次,“至少有 1 人 射中目标”与“甲射中目标,但乙没有射中目 标”. 解 (1) 甲 射击 1 次,“射中 9 环”与“射中 8 环” 两个事件不可能同时发生,二者是互斥事件. (2) 甲、乙各射击 1 次,“甲射中 10 环”发生与否 对“乙射中 9 环”没有影响,二者是相互独立事 件. (3) 甲、乙各射击 1 次,“甲、乙都射中目标”与 “甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生,二 者是互斥事件. (4)甲、乙各射击1次,“至少有1人射中目标”与 “甲射中目标,但乙没有射中目标”可能同时发 生,二者构不成互斥事件,也不是相互独立事 件. 题型二 相互独立事件的概率 【例2】 甲 、乙两人参加一次英语口语考试,已 知在备选的 10道试题中,甲能答对其中的 6道 题,乙能答对其中的 8 道题.规定每次考试都 从备选题中随机抽出 3 道题进行测试,至少答 对2道题才算合格. (1)分别求甲、乙两人考试合格的概率; (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. [思路探索] 属于相互独立事件间的概率问题. 解 (1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B,则 2 1 C6 C4+C3 60+20 2 6 P(A)= C3 = 120 =3, 10 2 1 C8 C2+C3 56+56 14 8 P(B)= = = . 3 C10 120 15 2 14 ∴甲合格的概率为3,乙合格的概率为15. (2)法一 因为事件A、B相互独立,所以甲、乙两人考试均不合 格的概率为 P( A ? 2? ? 14? 1 B )=

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