一元二次函数一般式的图像和性质


一元二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象和性质
例题精解
一、一元二次函数的图象的画法(一般式)

1 2 x ? 4 x ? 6 的图象 2 1 2 1 2 【解】 y ? x ? 4 x ? 6 ? ( x ? 8 x ? 12) 2 2 1 2 1 ? [( x ? 4) 2 - 4] ? ( x 2 ? 4) 2 - 2 2 2 以 x ? ?4 为中间值,取 x 的一些值,列表如下:
【例 1】求作函数 y ?

x
y

-7 -6 5 … 2 0


-5
? 3 2

-4 -2

-3
? 3 2

-2 -1 … 5 0 2 …

【例 2】求作函数 y ? ? x ? 4x ? 3 的图象。
2

【解】

x
y

【点评】画二次函数图象步骤: (1)配方; (2)列表; (3)描点成图; 也可利用图象的对称性,先画出函数的左(右)边部分图象,再利 用对称性描出右(左)部分就可。 二、一元二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的性质
2

【例 3】 求函数 y ? x ? 6 x ? 9 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标, 并写出 y 随 x 的增减
2

情况 【解】

y ? x 2 ? 6x ? 2 ? x 2 ? 6x ? 9 ? 7 ? ( x ? 3) 2 ? 7
, ? 7) ,对称轴为 x ? ?3 ; 由配方结果可知:顶点坐标为 (?3

?1 ? 0

∴当 x ? ?3 时, y min ? ?7

函数在区间 (??, ? 3] 上是减函数,在区间 [?3, ? ?) 上是增函数。 【例 4】求函数 y ? ?5x 2 ? 3x ? 1图象的顶点坐标、对称轴、最值及 y 随 x 的增减情况。

【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、增减情况等性质时,方法有两个: (1) 配方法;如例 3 (2) 公式法: 适用于不容易配方题目(二次项系数为负数或分数)如例 4, 可避免出错。

b 2 4ac ? b 2 ) ? (a ? 0) 任何一个函数都可配方成如下形式: y ? a( x ? 2a 4a
三、二次函数性质的应用 【例 5】求函数 y ? x ? 2 x ? 5 在给定区间 [?1,5] 上的最值。
2

【解】

知识总结
1.函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 叫做一元二次函数。
2

2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3 . 任 何 一 个 二 次 函 数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 都 可 把 它 的 解 析 式 配 方 为 顶 点 式 :
2

b 2 4ac ? b 2 y ? a( x ? ) ? , 2a 4a
性质如下:

(1)图象的顶点坐标为 (? (2)最大(小)值

b 4ac ? b 2 b , ) ,对称轴是直线 x ? ? 。 2a 2a 4a

① 当 a ? 0 ,函数图象开口向上, y 有最小值, y min ?

4ac ? b 2 ,无最大值。 4a
4ac ? b 2 ,无最小值。 4a

② 当 a ? 0 ,函数图象开口向下, y 有最大值, y max ? (3)当 a ? 0 ,函数在区间 ( ?? ,?

b b ) 上是减函数,在 ( ? ,?? ) 上是增函数。 2a 2a b b ,?? ) 是减函数,在 ( ?? ,? ) 上是增函数。 当 a ? 0 ,函数在区间上 ( ? 2a 2a

【说明】1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种:配方法和公式法。 2.无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称 轴; 但我们讨论函数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开口方向。

三、一元二次函数、一元二次方程的关系。
【例 8】求当 k 为何值时,函数 y ? ?2 x ? 4 x ? k 的图象与 x 轴(1)只有一个公共点;(2)
2

有两个公共点;(3)没有公共点. 【解】令 ? 2 x ? 4 x ? k ? 0 ,则 ? 2 x ? x ? k ? 0 的判别式 ? ? b ? 4ac ? 16 ? 8k
2 2 2

(1)当 ? ? 0 ,即 16 ? 8k ? 0 , k ? 2 时,方程有两个相等的实根,这时图象与 x 轴只 有一个公共点; (2) 当 ? ? 0 , 即 16 ? 8k ? 0 ,k ? 2 时, 方程有两个不相等的实根, 这时图象与 x 轴 有两个公共点; (3) 当 ? ? 0 , 即 16 ? 8k ? 0 ,k ? 2 时, 方程有两个不相等的实根, 这时图象与 x 轴 无公共点; 例 9 直接说出下列函数与 x 轴交点情况

y ? ?3x 2 ? 6 x ? 3 ; y ? x 2 ? 2x ? 5 ; y ? ?2 x 2 ? 8x ; y ? 2 x 2 ?4 x ? 3

同步练习:

1.抛物线 y ? 2 x ? 8 ? 3x 与 x 轴有
2

2 个交点,因为其判别式 b ? 4ac ?

2 0,相应二次方程 3x ? 2 x ? 8 ? 0 的根的情况为

. . .

2 2. 函数 y ? mx ? x ? 2m ( m 是常数)的图像与 x 轴的交点个数为 2 3. 二次函数 y ? ? x ? 6 x ? 9 的图像与 x 轴的交点坐标为

2 4. 关 于 x 的 方 程 mx ? mx ? 5 ? m 有 两 个 相 等 的 实 数 根 , 则 相 应 二 次 函 数

y ? mx2 ? mx ? 5 ? m 与 x 轴必然相交于

点,此时 m ?



2 5.函数 y ? (k ? 2) x ? 7 x ? (k ? 5) 的图像与 x 轴只有一个交点,则交点的横坐标

x0 ?



2 6. 已知函数 y ? x ? mx ? m ? 2 .

(1)求证:不论 m 为何实数,此二次函数的图像与 x 轴都有两个不同交点;
5 (2)若函数 y 有最小值 4 ,求函数表达式. ?

2 2 7. 已知二次函数 y ? 2 x ? 4mx ? m .

(1)求证:当 m ? 0 时,二次函数的图像与 x 轴有两个不同交点;

B, (2) 若这个函数的图像与 x 轴交点为 A , 顶点为 C , 且△ ABC 的面积为 4 2 ,
求此二次函数的函数表达式.

同步训练
一.选择题 1.二次函数 y ? x 2 ? 2 x ? 5 那么 y 的取值范围是是( A. [4,  ? ?) B. (4,    ? ?) ) D. (??,   4)

4] C.( ? ?,  

2.如果二次函数 y ? 5x 2 ? mx ? 4 在区间 (??,?1) 上是减函数,在区间 [?1,??) 上是增函 数,则 m ? ( ) A.2 B.-2

C.10

D.-10 )

3. 如果二次函数 y ? x 2 ? mx ? (m ? 3) 有两个不相等的实数根, 则 m 的取值范围是 ( A. (??,?2) ? (6,??) 4.函数 y ? B. (?2,6) ) C.3 ) D. 3 . C. [?2,6) 0 D. {?2,6}

1 2 x ? x ? 3 的最小值是( 2 1 A.-3. B. ? 3 . 2
2

1 2

5.函数 y ? ?2 x ? 4 x ? 2 具有性质( A.开口方向向上,对称轴为 x B.开口方向向上,对称轴为 x C.开口方向向下,对称轴为 x D.开口方向向下,对称轴为 x 6.下列命题正确的是( )
2

? ?1 ,顶点坐标为(-1,0) ? 1 ,顶点坐标为(1,0) ? ?1 ,顶点坐标为(-1,0) ? 1 ,顶点坐标为(1,0)
3 2
B. 函数 y ? ?2 x ? 6 x ? 3 的最小值是
2 2

A. 函数 y ? 2x ? 6x ? 3 的最小值是
2

15 4

C.函数 y ? ? x ? 4x ? 3 的最小值为 7
2 2

D.函数 y ? ? x ? 4x ? 3 的最大值为 7
2

7 .函数( 1 ) y ? 2 x ?4 x ? 3 ; ( 2 ) y ? 2 x ?4 x ? 3 ; ( 3 ) y ? ?3x ? 6 x ? 3 ; (4)

y ? ?3x 2 ? 6 x ? 3 中,对称轴是直线 x ? 1 的是(
A. (1)与(2) B. (2)与(3)
2

) D. (2)与(4)

C. (1)与(3) )

8.对于二次函数 y ? ?2 x ? 8x ,下列结论正确的是( A.当 x ? 2 时, y 有最大值 8 C.当 x ? 2 时, y 有最小值 8

B.当 x ? ?2 时, y 有最大值 8 D.当 x ? ?2 时, y 有最小值 8

二.填空 1.若函数 y ? 2 x ? x ? 1,则函数图像的对称轴是直线
2

2.若函数 y ? 2 x 2 ? bx ? 3 在区间 (??,2] 上是减函数,在区间 (2,??] 是增函数,则 b ? 3.函数 y ? 2x 2 ? 3x ? 9 的图象与 y 轴的交点坐标是 4.已知 y ? 9x 2 ? 6x ? 6 ,则 y 有最 5.已知 y ? ?4 x 2 ? 28x ? 1 ,则 y 有最 三.解答题 1. 已知二次函数 y ? ? x 2 ? 4 x ? 3 , (1) 指出函数图象的开口方向; (2) 当 x 为何值时 y ? 0 ; (3)求函数图象的顶点坐标、对称轴和最值。 值为 值为 ,与 x 轴的交点坐标是 、

2.如果二次函数 f ( x) ? x 2 ? kx ? (k ? 8) 与 x 轴至多有一个交点,求 k 的值。

3.已知二次函数 y ? ? x ? 2(m ?1) ? 2m ? m ,
2 2

(1)如果它的图象经过原点,求 m 的值。 (2)如果它的图象关于 y 轴对称,写出函数的关系式。 (3)如果它的图象关于 y 轴对称,试比较三个点 (?2,a)、 (? 3, b)、 ( 2 , c) 中 a、b、c 的 大小


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